专题05 利用导函数研究恒成立问题解析版-2024年高考数学复习解答题解题思路训练

专题05利用导函数研究恒成立问题(典型题型归类训练)一、必备秘籍分离参数法用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；步骤：①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需．③求最值.二、典型题型1．（2023·上海崇明·统考一模）若存在实数，对任意实数，使得不等式恒成立，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】不等式等价于即，原命题等价于存在实数，，对任意实数不等式恒成立，等价于存在实数，，不等式成立，记，则，（1）当时，对任意，恒成立，即在上单调递减①当，即时，，②当，即时，，从而当时，，则在上单调递减，在上单调递增，所以；（2）当时，令，解得，在区间上单调递增，在上单调递减，，，，①当时，此时，当即时，，当即时，，从而当时，，则在区间上单调递减，在区间上单调递增,所以；令，则，，记，则，当时，恒成立，即在区间上单调递减，即，即；②当时，此时，当即时，，当即时，，从而当时，，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以；（3）当时，对任意，恒成立，即在上单调递增，①当，即时，，②当，即时，，从而当时，，则在上单调递减，在上单调递增，所以；综上所述，，所以.故选：A【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，则的值域是值域的子集．2．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）若恒成立，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】当时，，则，不符合题意；

当时，，恒成立，即恒成立，设，令，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减.故当时，取得最大值，所以，解得，故选：C．3．（2023·江西九江·统考一模）若对，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由已知得：，由，得即，可得．令，，则，求导得，，解得；，解得，在上单调递增，在上单调递减，且当时；当时，，函数图像如图所示．

，，，由及的图像可知，恒成立，即成立，而，，实数的取值范围是.故选：C．4．（2023·全国·模拟预测）已知函数，若对于任意的，都有，则实数的取值范围是.【答案】【详解】对于任意的，都有，即，令，则，且对于任意的，都有.①当时，，，所以，所以在上单调递减，所以，符合题意；②当时，令，则，令，得.当时，则，所以当时，在上单调递减，所以当时，，即，所以在上单调递增，所以，这与矛盾，不符合题意；当时，则，所以当时，，在上单调递增，所以，即，所以在上单调递减，，符合题意.综上，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】恒成立问题方法指导：方法1：分离参数法求最值(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．(2)恒成立⇔；恒成立⇔；能成立⇔；能成立⇔.方法2：根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解．5．（2023·湖南永州·统考一模）若函数，当时，恒有，则实数t的取值范围．【答案】【详解】因为时，恒有，所以，即恒成立.设，则，且，令，则，所以当时，，在单调递减；当时，，在单调递增；所以，所以在恒成立，故在单调递增，所以恒成立，即，所以恒成立，令，则，，所以当时，，在单调递增；当时，，在单调递减；所以.所以.故答案为：.6．（2023·四川雅安·统考一模）已知函数在时有极小值.曲线在点处的切线方程为.(1)求的值；(2)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意，，在中，，在时有极小值.曲线在点处的切线方程为.∴即，，，当时，在上单调递增.当时，在上单调递减.当时，在时有极小值.故符合题意，即为所求.（2）由题意及（1）得，，在中，，即对任意实数恒成立，设，则.当时，，则，故在上单调递增；当时，，则，故在上单调递减；当时，，则，故时有极小值，也就是的最小值，故即为所求.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的求导，导数法判断函数单调性，导数法解决函数恒成立问题，构造函数法，考查学生的计算能力和逻辑思维能力，具有很强的综合性.7．（2023·四川内江·统考一模）已知函数．(1)当时，求的极值；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)极小值为，无极大值(2)【详解】（1）当时，，则，由，得到，又，当时，，时，，所以在处取到极小值，极小值为，无极大值.（2）由恒成立，得到恒成立，即恒成立，又，所以恒成立，令，则，令，则恒成立，即在区间上单调递减，又，所以当时，，时，，即时，，时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，故，所以，即，所以，实数的取值范围为.【点睛】方法点晴，第（2）问中的恒成立问题，常用的方法，一是直接构造函数，求出函数的最值；二是通过参变分离，再构造函数，通过求函数最值来解决问题.三、专项训练一、单选题1．（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）已知，且恒成立，则k的值不可以是（）A．－2 B．0 C．2 D．4【答案】D【详解】由，知，，则，即，令，则，令，则，函数在上单调递增，于是，即，从而，令，则，则当时，，单调递增，当时，，单调递减，因此在时取得最小值2，即，所以，即可取，不能取4.故选：D2．（2023·江西南昌·江西师大附中校考三模）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】不等式在上恒成立，两边同除得在上恒成立，令，则，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，令，，即在上恒成立，所以只需即可，令，则，令，则在上恒成立，单调递增，又因为，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，即，故选：B3．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知，为实数，不等式在上恒成立，则的最小值为（

）A．－4 B．－3 C．－2 D．－1【答案】C【详解】设，，当时，，函数在上单调递增，此时，在不恒成立，不合题意当时，时，，函数在上单调递增，时，，函数在上单调递减，所以在时取得最大值，由题意不等式在恒成立，只需即，所以，，设，当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增，所以在取得最小值为，所以最小值为，故选：C二、多选题4．（2023·山西·校联考模拟预测）已知，则的可能取值有（

）A． B． C． D．【答案】BD【详解】已知，当时，成立；当时，恒成立或恒成立；即恒成立或恒成立；设单调递减；单调递增；无最大值.设单调递减；单调递增；无最大值.当时，成立或成立；当时，成立或无解；当时，恒成立或恒成立；即恒成立或恒成立；设单调递减；单调递增；无最小值.设单调递减；无最小值.当时，恒成立或成立；当时，成立；或无解；所以.故选：BD.5．（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知函数，若恒成立，则实数的可能的值为（

）A． B． C． D．【答案】AD【详解】，故恒成立，转化成恒成立，记，则在单调递增，故由得，故恒成立，记，故当时，单调递减，当时，单调递增，故当时，取最大值，故由恒成立，即,故，故选：AD6．（2023·海南·模拟预测）若时，关于的不等式恒成立，则实数的值可以为（

）（附：）A． B． C． D．【答案】BD【详解】由题意知：当时，恒成立；令，则，令，则，当时，恒成立，即恒成立，在上单调递增，，，即实数的取值范围为.，，，.故选：BD.三、填空题7．（2023上·河北保定·高三定州市第二中学校考阶段练习）已知函数，若对恒成立，则实数a的取值范围是．【答案】【详解】易知，由可得，即，则有，设，易知在上单调递增，故，所以，即，设，令，，故在上单调递减，在上单调递增，所以，则有，解之得．故答案为：.8．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知函数，，若时，恒成立，则实数的取值范围是.【答案】【详解】，则，则时，，单调递增.时，恒成立，即恒成立，则在上恒成立，则即在上恒成立，令，，则则当时，，单调递减；当时，，单调递增.则当时取得最小值，则则实数的取值范围是故答案为：四、问答题9．（2023·全国·模拟预测）已知函数（其中为自然对数的底数）．(1)当时，讨论函数在上的单调性；(2)若对一切，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增(2)【详解】（1）当时，则．记，则．令，得．当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增，即在上单调递减，在上单调递增．又，，，所以当时，；当时，．所以函数在上单调递减，在上单调递增．（2）当时，恒成立，即恒成立．①当时，，此时．②当时，，即记，，则．当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增，故，所以，综上可知，实数m的取值范围为．10．（2023·全国·模拟预测）已知函数．(1)若曲线在处的切线方程为，求实数a，b的值；(2)若，对任意的，且，不等式恒成立，求m的取值范围．【答案】(1)，；(2).【详解】（1）函数的定义域为，求导得，由曲线在处的切线方程为，得，解得，，所以，.（2）当时，函数，求导得，当时，，即函数在上单调递减，不妨设，则，，不等式恒成立，即恒成立，则恒成立，设，于是，恒成立则在上单调递增，于是在上恒成立，即在上恒成立，，当且仅当时取等号，因此，所以m的取值范围为．11．（2023下·安徽合肥·高二统考期末）已知函数．(1)当时，讨论在区间上的单调性；(2)若当时，，求的取值范围．【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减(2)【详解】（1）当时，，，当时，；当时，．所以在上单调递增，在上单调递减.（2）设，由题意知当时，．求导得．设，则，令，则，当当故函数在单调递增，在单调递减，所以；令，可得，故在单调递增时，．所以当时，．故在上单调递增，当时，，且当时，．若，则，函数在上单调递增，因此，，符合条件．若，则存在，使得，即，当时，，则在上单调递减，此时，不符合条件．综上，实数的取值范围是．12．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）已知函数．(1)当时，求的零点；(2)讨论在上的最大值；(3)是否存在实数，使得对任意，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)答案见解析(3)存在，