特色题型专练08 三大运动-平移（解析版）（江苏专用）

中考特色题型专练之三大运动——平移几何篇题型一、与三角形结合1．如图，把放在平面直角坐标系内，其中，，点、的坐标分别为、，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了一次函数的综合应用，平移的性质，勾股定理，平行四边形的面积等知识，明确线段扫过的面积为平行四边形的面积是解题关键．根据题意，线段扫过的面积为平行四边形的面积，先利用勾股定理求出，再根据平移的性质得到，即点的纵坐标为4，进而求出其横坐标为5，得到，从而得到，即可求出平行四边形面积得到答案．【详解】解：如图所示，线段扫过的面积为平行四边形的面积，点A、B的坐标分别为、，，，，，，点的纵坐标为4，点在直线上，，解得：，即，，，即线段扫过的面积为16，故选：C．2．如图，将线段平移得到线段，连接，，点在上，连接，平分交于点，若，，则的度数为（

）度A．60 B．70 C．80 D．65【答案】C【分析】本题主要考查了平移的性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质，设，，则，由平移的性质得到，进而推出，，由三角形外角的性质得到，即，再求出，则由三角形内角和定理可得，解方程即可得到答案．【详解】解：设，，则，由平移的性质可得，∴，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故选C．3．如图，中，，，，为半圆的直径，将沿射线方向平移得到，当与半圆相切于点时，阴影部分的面积为．【答案】【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了平移的性质、勾股定理，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．连接，根据相切的性质得，根据勾股定理得，根据三角形的面积公式得，可得，即可求出阴影部分的面积．【详解】解：如图，连接，当与半圆相切于点，，，，，，沿射线方向平移，当与半圆相切于点，得，，，，，，，，阴影部分的面积为．故答案为：．4．如图，抛物线与轴交于点（点在点的左边），与轴交于点，抛物线由抛物线向右平移后得到，与轴交于点（点在点的左边），且交抛物线于点，若为等腰直角三角形，则抛物线的函数解析式为．【答案】【分析】本题考查了二次函数图象的平移，等腰三角形的性质，待定系数法求函数解析式等知识；设直线交y轴于点M，过F作轴于N；由可求得与x轴的两个交点坐标，由为等腰直角三角形，则可得点M的坐标，从而求出直线解析式，联立直线解析式与解析式可求得点F的坐标，则可求得点E的坐标，由二次函数图像的平移则可求得的解析式．【详解】解：如图，设直线交y轴于点M，过F作轴于N；令，解得：，即，∴；∵为等腰直角三角形，轴，∴，，∵，∴，∴，∴；设直线解析式为，把A、M的坐标分别代入得：，解得：，∴直线解析式为；联立直线解析式与解析式得，解得：（舍去），当时，，∴点F的坐标为，∴，，∴点E的坐标为；∵抛物线由抛物线向右平移后得到，抛物线顶点的纵坐标不变，∴，把点E坐标代入得：，解得：，，即或；当时，，，即点F不在图像上，不符合题意，∴，即．故答案为：．5．嘉淇做数学探究实验，如图，已知：均为直角三角形，其中，现以为边作四边形，且，，点在一条直线上．第一步，如图1，将的顶点与点重合，在上；第二步，如图2，将绕点逆时针方向旋转，每秒旋转分别与边交于点；第三步，如图3，当旋转到点落在上时停止旋转，此时点恰好在上；第四步，如图4，在第三步的基础上，点带动立即沿边从点向点平移，每秒个单位长度，当点与点重合时停止运动，设整个过程中的运动时间为ts．(1)如图1，①______；②点到直线的距离是______；(2)如图2，求证；(3)如图3，当从初始位置到点落在上时，求的长度；(4)当点落在四边形的边上时，直接写出对应的值．【答案】(1)①=；②2；(2)见解析；(3)；(4)7或．【分析】对于（1），根据勾股定理解答即可；对于（2），根据“两角相等的两个三角形相似”证明即可；对于（3），如图，连接，并说明，可求出，再求出，然后证明可得，进而得出，再根据勾股定理求，可根据特殊角的三角函数求出，然后根据勾股定理，得，最后根据求出答案．【详解】（1）①；②2．根据勾股定理，得．根据题意，可知，∴，，∴，解得，所以点A到的距离是2．故答案为：，2；（2）根据题意可知，∴，；（3）如图，连接，，则．，．，则．∵，，，∴．又．又根据勾股定理，得，，根据勾股定理，得，．（4）7或．由（3）知，当从初始位置旋转到点落在上时，，则旋转所用时间为；当平移到点落在上时，如图2，连接，由（3）知，，，在取点，使得，．设，则，由，得，解得∴点平移的距离为，平移所用的时间为，故当平移到点落在上时，所运动的总时间为．综上所述，的值为7或．【点睛】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定，全等三角形的性质和判定，平移和旋转，等腰三角形的性质和判定，画出旋转和平移的图形并构造辅助线是解题的关键．6．我们学习了平移、旋转、轴对称等图形变换，这些图形变换不仅可以应用到精美的图案设计上，还可以解决生活实际问题．如图1，在平面直角坐标系中，，，．(1)【图案设计】作出关于轴的对称图形，并标注出点，，；(2)【拓展应用】如图1，点是轴上一动点，并且满足的值最小，请在图中找出点的位置（保留作图痕迹），并直接写出的最小值为____________．(3)【实际应用】如图2，某地有一块三角形空地，已知，是内一点，连接后测得米，现当地政府欲在三角形空地中修一个三角形花坛，点，分别是，边上的任意一点（不与各边顶点重合），请问的周长最少约多少米？（保留整数）（，）【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，勾股定理，轴对称最短路径问题：（1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同找到A、B、C对应点D、E、F的位置，再顺次连接D、E、F即可；（2）作点A关于x轴的对称点G，连接交x轴于P，点P即为所求，利用勾股定理求出的长即可得到答案；（3）如图所示，作点关于、的对称点、，连接，由轴对称的性质可得，，，，，，可推出当四点共线时，有最小值，即此时的周长，证明，求出最小周长为．【详解】（1）解：如图所示，即为所求，（2）解：如图所示，作点A关于x轴的对称点G，连接交x轴于P，点P即为所求，由轴对称的性质可得，则，∴当三点共线时，最小，即此时最小，最小值为，∵，∴，又∵，∴，∴的最小值为；（3）解：如图所示，作点关于、的对称点、，连接，由轴对称的性质可得，，，，，，∴的周长，∴当四点共线时，有最小值，即此时的周长，，，最小周长为．题型二、与四边形结合1．如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线：上．将正方形沿轴正方向向右平移（）个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为（）A．5 B． C． D．2【答案】B【分析】过作于，过作于，根据“”定理证得，，根据全等三角形的性质求出点的坐标为，由待定系数法求出直线的解析式为，设平移后点的坐标为，代入解析式即可求出．【详解】解：过作于，过作于，如下图，∴，∵四边形是正方形，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，，∴，∴，∴，同理可证，∴，，∴，∴，∵点在直线：上，∴，∴，∴直线的解析式为，设正方形沿轴向右平移个单位长度后点的坐标为，∵点在直线上，∴，解得．故选：B．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、一次函数的应用、坐标与图形等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．2．如图①，在菱形中，垂直于的直线（直线与菱形的两边分别交于E、F两点，且点在点的上方）沿方向从点出发到点停止运动，设直线平移距离为，的面积为，若与之间的函数图象如图②所示，则的值为（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【分析】本题主要考查对动点问题的函数图象，三角形的面积，一次函数的图象，菱形的性质等知识点的理解和掌握．作，，由图②知，利用三角形面积公式求得，即，再利用待定系数法求得图②中线段的解析式，据此求解即可．【详解】解：作，，垂足分别为，，由图②知，当F点与重合时，，∴，∴，∵四边形是菱形，∴，当F点与重合时，，∴，∴，即，设图②中线段的解析式为，∴，解得，∴图②中线段的解析式为，当时，，∴．故选：A．3．综合实践课上，小聪把一张长方形纸片沿着虚线剪开，如图①所示，纸片较小锐角的顶点在上，较长直角边与斜边分别交边于点，且为初始位置，把沿着方向平移，当点到达点后立刻绕点逆时针旋转，如图③，直到点与点重合停止．为了探求与之间的变化关系，设，请用含的代数式表示．（1）在平移过程中，，（2）在旋转过程中，．【答案】【分析】（1）推出，由相似三角形的性质即可求解；（2）证明，推出，作交于点，在中，由勾股定理求得，据此即可求解．【详解】解：（）根据题意知，，∵，∴，，∴，∴，∴；（）根据题意知，又∵，∴，∴，∴，作交于点，∴四边形是矩形，∴，在中，，∴，即，∴；故答案为：；．【点睛】本题考查了考查矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．4．在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得平移后的抛物线（如图），点A在平移后的抛物线上运动，过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为．

【答案】8【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，矩形的性质，根据平移的规律得到平移后的函数解析式，再根据矩形的性质得，由于的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，从而得到的最小值．【详解】∵，∴将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得平移后的抛物线，∴抛物线的顶点坐标为，∵四边形为矩形，∴，而轴，∴的长等于点A的纵坐标，当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为8，∴对角线的最小值为8．故答案为：8．5．如下图，在平面直角坐标系中，已知点，将点A向右平移2个单位长度得到点B，连接，将线段再向下平移4个单位长度，得到线段，点A的对应点为点C．

(1)请直接写出四边形的面积；(2)点P为y轴正半轴上一点，点P的纵坐标为t，连接、，若的面积为S，用含t的式子表示S；

(3)在（2）的条件下，若将四边形的面积分成两部分时，求出点P的坐标．

【答案】(1)四边形的面积(2)(3)点P的坐标为或【分析】对于（1），根据点A向右平移2个单位长度得到点B可知，根据线段再向下平移4个单位长度，得到线段，点A的对应点为点C可知，利用四边形是矩形和矩形面积公式计算四边形的面积；对于（2），以为底，则高的长度为点P与点C的纵坐标之差，由此计算的面积即可；对于（3），分与和相交两种情况分类讨论，求出与或的交点，再用待定系数法求出直线的解析式，进而求出点P的坐标．【详解】（1）四边形的面积是8，理由如下：∵点A向右平移3个单位长度得到点B，，∴，．又∵线段再向下平移4个单位长度，得到线段，点A的对应点为点C，∴四边形是矩形，，，，∴四边形的面积；（2）∵点A向右平移2个单位长度得到点B，∴轴．∵四边形是矩形，∴，轴．∵点P的纵坐标为t，∴点P与点C的纵坐标之差为：，∴．（3）①当与相交时，如图3所示，设与相交于点Q，∵将四边形的面积分成两部分，∴．又∵，∴，∴．设的解析式为，将点Q，点D的坐标代入得：，解得：，∴直线的解析式为：，∴点P的坐标为；②当与相交时，如图所示，设与相交于点Q，∵将四边形的面积分成两部分，∴．又∵，∴，∴．设的解析式为，将点Q，点D的坐标代入得：，解得：，∴直线的解析式为：，∴点P的坐标为．综上所述：点P的坐标为或．【点睛】本题主要考查了矩形和三角形的面积，直角坐标系中的平移，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象与坐标轴的交点等知识，掌握三角形的面积公式和分类讨论是解题的关键．6．如图，在平面直角坐标系中，点，，且满足．现同时将点A、B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，分别得到点A、B的对应点C、D．连接、、．

(1)写出点C、D的坐标并求出四边形的面积；(2)在y轴上是否存在一点E，使得的面积是面积的2倍？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点F是射线上一个动点，连接、，请直接写出、、之间的数量关系．【答案】(1)，，(2)存在，点E的坐标为或(3)或【分析】（1）根据非负数的性质求出a，b，可得点A，B的坐标，再根据平移的性质得出点C，D的坐标，证明四边形是平行四边形，从而可求得面积；（2）设，分两种情况：①当点E在y轴正半轴时，如图1，过点D作轴于H，则，②当点E在y轴负半轴时，如图2，分别表示出和，再根据的面积是面积的2倍列方程求出x即可；（3）分两种情况：当点F在线段上时；当点F在线段的延长线上；分别利用平行线的性质得出相等的角，再根据角的和差关系等量代换得出结论．【详解】（1）解：∵，∴，，∴，，∴，，∴，，∴，，即，且轴，即，∴四边形是平行四边形，∴四边形的面积；（2）存在；设，①当点E在y轴正半轴时，如图1，过点D作轴于H，则，

∵，∴，∴，，∵的面积是面积的2倍，∴，解得：或（舍去），∴此时点E的坐标为；②当点E在y轴负半轴时，如图2，

则，，∵的面积是面积的2倍，∴，解得：，∴此时点E的坐标为；综上，点E的坐标为或；（3）当点F在线段上时，作，如图3，

∵，∴，∴，，∴；当点F在线段的延长线上时，作，如图4，

∵，∴，∴，，∴；综上，若点F是射线上一个动点，则或．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，非负数的性质，平移的性质，平行四边形的判定和性质，平行线的性质等知识，画出图形，正确分类讨论是解题的关键．题型三、与圆结合1．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（

）A．1 B．1或5 C．3 D．5【答案】B【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，分圆心在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况，根据半径等于圆心到直线的距离写出答案即可，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径，注意分类讨论．【详解】解：当位于y轴的左侧且与y轴相切时，此时圆心P到y轴的距离是2，P的坐标为，所以平移的距离为；当位于y轴的右侧且与y轴相切时，此时圆心P到y轴的距离是2，P的坐标为，所以平移的距离为，故选：B．2．如图，在中，，，，半径为1的在内平移（可以与该三角形的边相切），则点到上的点的距离的最大值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，根据正切的定义求出，根据切线长定理得到，根据含角的直角三角形的性质、勾股定理计算得到答案．【详解】当与、都相切时，连接并延长交于点，则为点到上的点的距离的最大值，设与、的切点分别为、，连接、，则，，，，，，，，，，，故选：．【点睛】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、切线长定理，根据题意得出为点到上点的距离的最大值是解题的关键．3．如图，将半径为的扇形O沿西北方向平移，得到扇形，若，则阴影部分的面积为．【答案】【分析】设分别与交于F、E，延长交于G，根据进行求解即可．【详解】解：设分别与交于F、E，延长交于G，由题意得，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了求不规则图形的面积，平移的性质，正确理解题意得到是解题的关键．4．已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m，半圆的直径为6m，则圆心O所经过的路线长是m．（结果用π表示）【答案】（3π+50）/（50+3π）【分析】根据题意得到圆心总共走过的路程为圆周长的一半，即半圆的弧长加上50，计算即可；【详解】解：如图所示，圆心先向前走的长度即圆的周长，然后沿着弧旋转圆的周长，最后向右平移50米，∴圆心总共走过的路程为圆周长的一半，即半圆的弧长加上50，由已知可得圆的半径为3，设半圆形的弧长为，则半圆形的弧长为，故圆心O所经过的路线长；故答案是（3π+50）．【点睛】本题主要考查了旋转的性质和弧长计算，准确计算是解题的关键．5．在矩形中，已知，连接，，点O是边上的一动点，的半径为定值r．(1)如下图，当经过点C时，恰好与相切，求的半径r；(2)如下图，点M是上的一动点，求三角形面积的最大值：(3)若从B出发，沿BC方向以每秒一个单位长度向C点运动，同时，动点E，F分别从点A，点C出发，其中点E沿着AD方向向点D运动，速度为每秒1个单位长度，点F沿着射线方向运动，速度为每秒2个单位长度，连接，如下图所示，当平移至点C（圆心O与点C重合）时停止运动，点E，F也随之停止运动．设运动时间为t（秒）．在运动过程中，是否存在某一时间t，使与相切，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）连接，，根据矩形的性质及得，进而可得，再利用解直角三角形即可求解．（2）过点作并延长，交于，交于，当点运动到点位置时，此时三角形面积有最大值，利用矩形的性质及三角形的面积公式即可求解．（3）分类讨论：①在的左侧时，②在的右侧侧时，利用相似三角形的判定及性质和勾股定理即可求解．【详解】（1）解：连接，，如图：四边形是矩形，，在中，，，，，与对角线相切于点，，在和中，，，，，的半径．（2）过点作并延长，交于，交于，如图：由（1）得：，，，四边形是矩形，且，，当点运动到点位置时，此时三角形面积有最大值，．（3）在整个运动过程中，存在某一时刻，与相切，此时的值为或，理由：由（1）得，①在的左侧时，设与相切于点，连接，，如图：由题意得：，，，四边形为矩形，，，，四边形为矩形，，，与相切于点，，，，，，，，，，或（不合题意舍去），②在的右侧侧时，设与相切于点，连接，，如图：由题意得：，，，四边形为矩形，，，，四边形为矩形，，，与相切于点，，，，，，，，，，或（不合题意舍去），综上所述，t的值为或．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质、矩形的性质、解直角三角形、切线的性质、勾股定理，熟练掌握相关判定及性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．6．如图1，在中，，，，点O在边AB上，且，以点O为圆心，2为半径在AB的上方作半圆O，交AB于点D，E，交AC于点P．将半圆O沿AB向右平移，设点D平移的距离为．(1)在图1中，劣弧的长为________；(2)当半圆O平移到与边AC相切时，如图2所示．①求x的值；②已知M，N分别是边BC与上的动点，连接MN，求MN的最小值和最大值之和；(3)在半圆O沿边AB向右平移的过程中，当半圆O与的重叠部分是半圆O时，直接写出x的取值范围．【答案】(1)(2)①；②MN的最小值和最大值之和为(3)半圆O与的重叠部分是半圆O时，x的取值范围是【分析】（1）本题主要考查利用扇形弧长公式计算劣弧长度，找到劣弧所对的圆心角是解决问题的关键，在利用公式求解．（2）本题主要考查利用切线的性质求x的值，其次利用点到直线距离求MN的最小值，由于M，N两点都是自由点，故可以直接算出MN的最大值，即当点M与点B重合时，点N与点D重合时，此时MN最大（3）本题主要考查圆完全在三角形内部时的临界状态，即圆与三角形两条直角边分别相切时，即可求出x的取值范围．【详解】（1）解：如下图，连接；∵，；∴；∴劣弧．（2）①连接PO，∵边AC与半圆O相切；∴；∵，；∴；∴；②如下图，当时，OM与弧DE交于点N，此时MN最小；∵；∴；∵；∴；∵，，∴，∴，∴根据勾股定理可得，∴；如图2，当点M与点B重合时，点N与点D重合时，此时MN最大，；∴MN的最小值和最大值之和为．（3）解：x的取值范围是；如图3，半圆O与BC相切，连接OP，∴，∴，∴，∴；根据勾股定理可得，解得.∵；∴；∴半圆O与的重叠部分是半圆O时，x的取值范围是.题型四、与相似有关1．如图，在中，，，．点F是中点，连接，把线段沿射线方向平移到，点D在上．则线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长和面积分别是(

)

A．16，6 B．18，18 C．16.12 D．12，16【答案】C【分析】先论证四边形是平行四边形，再分别求出、、，继而用平行四边形的周长公式和面积公式求解即可．【详解】由平移的性质可知：，∴四边形是平行四边形，在中，，，，∴在中，，，点F是中点∴∵，点F是中点∴，，∴点D是的中点，∴∵D是的中点，点F是中点，∴是的中位线，∴∴四边形的周长为：，四边形的面积为：．故选：C．【点睛】本题考查平移的性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行线分线段成比例，三角形中位线定理等知识，推导四边形是平行四边形和是的中位线是解题的关键．2．如图，在菱形中，连接，，，垂直于的直线从点出发，按的方向平移，移动过程中，直线分别交，，于点，，，直到点与点重合，记直线的平移距离为，的面积为，则随变化的函数图象大致为()A． B．C． D．【答案】A【分析】连结交于，勾股定理得出，分两种情况，①当在左侧时，②当在右侧时，由三角形的面积公式列出关于的函数解析式即可，【详解】解：连结交于，，是菱形的对角线，，，，①当在左侧时，如图所示：，，，，，，当时，图象是开口向上的抛物线，且随的增大而增大；②当在右侧时，如图所示：，，，，，，，当时，图象是开口向下的抛物线，且随的增大而增大．故选：A．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是根据三角形的面积公式列出函数解析式．3．如图，在中，，，是边上的中线，将沿方向平移得到，与交于点E，连接并延长交于点F，若点E为的中点，则的长为．

【答案】【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平移的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．先证明得出，进而得出，，再证明，根据相似三角形的性质求解即可．【详解】解：∵平移，∴，，∴，∵E为的中点，∴，∵，∴，∴，∴，∵是边上的中线，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴．故答案为：．4．如图，在菱形中，，为的中点，点在上，，，将沿方向平移，使点落在上，则平移的距离为．【答案】【分析】连接交于点O，过点F作交于点G，根据菱形四边相等得到，根据中点定义得到，根据勾股定理得到，根据菱形对角线互相垂直证明，求出，根据菱形对角线互相平分得到，根据平行线分线段成比例得到，即得平移的距离．【详解】解：如图，连接，交于点O，过点F作，交于点G，

∵四边形是菱形，∴，∵为的中点，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴将沿方向平移，使点落在上时，平移的距离为6．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了菱形，勾股定理，三角形中位线等，解决问题的关键是熟练掌握菱形边和对角线的性质，线段中点定义和垂直定义，勾股定理解直角三角形，三角形中位线定理等．5．如图，将线段平移得到，使与对应，与对应，连接，．(1)求证：；(2)点在的延长线上，点与关于直线对称，直线交的延长线于点．点在线段上，且．①设，求的度数（用含α的代数式表示）；②证明：．【答案】(1)证明见解析(2)①；②证明见解析【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，平移的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）根据平移的性质可知，，再利用平行线的性质可知；（2）①根据平行线的性质及对称的性质可知，进而可知；②根据对称的性质可知的面积与的面积相等，再利用等面积法可知．【详解】（1）证明：将线段平移得到，使与对应，与对应，∴由平移性质知，，∴，，∴；（2）①解：∵由（1）知，∴，∵，∴，∵，，∴，由对称性质知，，∴，∴，∴，∵，，∴；

②证明：过作于，于，并连接，∴由对称性质知，的面积与的面积相等，，∵，，∴，∵，∴，过点作于点，则，∴．6．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点，与直线交于点．

(1)直线的函数表达式为___________；(2)过点C作轴于点D．将沿射线平移得到的三角形记为，点A．C．D的对应点分别为，，，若与重叠部分的面积为S，平移的距离，当点与点B重合时停止运动．①若直线交直线于点E，则线段的长为_______（用含有m的代数式表示）；②当时，S与m的关系式为_______；③当时，m的值为_______．【答案】(1)(2)①；②；③2或【分析】（1）把坐标代入可得直线的函数表达式为；（2）①在中，求出，知是等腰直角三角形，故将沿射线平移得到，相当于将向左平移个单位，再向上平移个单位得到，可得，由得直线解析式为，即得，从而；②当在直线上时，可得，故当时，在直线下方，此时到的距离为，即得；③分两种情况：当在直线下方时，，得的值为2；当在上方时，设交轴于F，求出，证明，可得，知，故，即．【详解】（1）解：把坐标代入得：解得：，∴直线的函数表达式为；故答案为：；（2）①在中，令得，∴，∵，∴是等腰直角三角形，将沿射线平移得到，相当于将向左平移个单位，再向上平移个单位得到，∴，由得直线解析式为，在中，令得，∴，∴，故答案为：；②当在直线上时，，解得，∴当时，在直线下方，此时到的距离为，∴；故答案为：；③当在直线下方时，，解得或(舍去)；∴的值为2；当在上方时，设交轴于，如图：根据平移性质可知，∵轴，∴，即，，即故答案为：2或．

【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，平移变换，三角形面积等知识，解题的关键是用含m的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．函数篇题型一、与一次函数结合1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，沿x轴向右平移后得到，且点A的对应点在直线上一点，则点B与其对应点间的距离（）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．根据平移的性质知．由一次函数图象上点的坐标特征可以求得点的坐标，所以根据两点间的距离公式可以求得线段的长度，即的长度．【详解】解：如图，连接、．∵点的坐标为，沿轴向右平移后得到，∴点的纵坐标是3．又∵点在直线上一点，∴，解得．∴点的坐标是，∴．∴根据平移的性质知．故选：D．2．在平面直角坐标系中，直线（m为常数）与x轴交于点A，将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后，与x轴交于点．若点与A关于原点O对称，则m的值为（

）A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6【答案】B【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，根据平移的规律求得平移后的直线解析式，然后根据x轴上点的坐标特征求得A、的坐标，由题意可知，解得．【详解】解：∵直线（m为常数）与x轴交于点A，∴，将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后，得到，∵将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后，与x轴交于点，∴，∵点与A关于原点O对称，∴，解得，故选：B．3．如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点A，将正比例函数的图象向右平移个单位长度后，交反比例函数的图象于点B，交x轴于点C，如果，那么k的值为．【答案】12【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点，函数图象的平移，相似三角形的判定和性质，联立正比例函数和反比例函数可得点A坐标，作轴，轴，可证，进而可得点B的坐标，列出方程，求解即可得到答案．【详解】解：联立与得，，正比例函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数解析式为，作轴，轴，则，，，，，，代入，得，，交反比例函数的图象于点B，，解得．故答案为：12．4．图象法是函数的表示方法之一，下面我们就一类特殊的函数图像展开探究．画函数的图象，经历列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示：探究发现：函数的图象是由向右平移个单位得到；函数的图象是由向上平移个单位得到．（1）函数的最小值为；（2）函数在中有最小值，则的值是．【答案】或【分析】本题考查一次函数的图象及性质；（1）画出的图象，通过观察图象可得（2）分三种情况讨论求得即可．【详解】解：（1）如图所示，函数的图象是由向上平移3个单位得到．根据函数图象可得函数的最小值为，故答案为：．（2）若，当时，有最小值，，（舍），或若，当时，有最小值，不符合题意，舍去．若，当时，有最小值，，（舍），或综上所述，或．故答案为：或．5．如图1，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，直线分别交轴、轴于，两点，且．(1)求一次函数的解析式；(2)如图2，的坐标为，将线段沿轴向上（或向下）平移得线段，在移动过程中，是否存在某个位置使的值最小？若存在，求出的最小值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，将直线沿轴平移，平移过程中在第一象限交的图象于点（可与重合），交轴于点．在平移过程中，是否存在某个位置使以，，和平面内某一点为顶点的四边形为菱形且以为菱形的边？若存在，请直接写出的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，，(3)存在，点的坐标为或或或【分析】（1）求出，两点坐标，利用待定系数法可得结论；（2）作点关于轴的对称点，作，且，连接交轴于点，此时的值最小，求出直线的解析式，可得结论；（3）分三种情形：如图，当点在点的左侧时，．如图，当时，如图，当点在点的右侧时，，分别构建方程求解即可．【详解】（1）解：直线与轴交于点，，，，，，，，把代入，得到，直线的解析式为；（2）由，解得或，，，作点关于轴的对称点，作，且，连接交轴于点，此时的值最小，，，的值最小为，直线的解析式为，；（3）①如图，当点在点的左侧时，，过点作轴于点，，可以设，，则，，，，，解得，此时或．②如图，当时，此时同①可知，，，解得，此时．如图，当点在点的右侧时，，此时同①可知，，，解得（负根已经舍弃），可得综上所述，满足条件的点的坐标为或或或．【点睛】本题属于反比例函数综合题、考查了运用待定系数法求函数解析式、一次函数的应用、轴对称最短问题、菱形的性质，解直角三角形，等腰三角形性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．6．如图1，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．(1)_____________；_____________；(2)点是线段上一点（不与重合），过点作轴的平行线与该反比例函数的图象交于点，连接，当四边形的面积等于24时，求点的坐标；(3)在（2）的前提下，将沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点的对应点恰好落在该反比例函数图象上，是否在此反比例函数图像上存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)(3)的坐标为或【分析】（1）将点分别代入和得：，，求出、的值即可；（2）设，则，则，利用可得，解方程即可得出答案；（3）分两种情况：当点位于内部时，作于，延长交反比例函数于；当点位于外部时，作于，连接，分别求解即可．【详解】（1）解：把点分别代入和得：，，解得：，，故答案为：，；（2）解：设，则，，，，整理得：，解得：，，经检验：，是原方程的解，，，此时，；（3）解：由平移可得：，直线的解析式为：，联立，解得：或（不符合题意，舍去），，点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到，由（2）可得：，，，，，如图，当点位于内部时，作于，延长交反比例函数于，，，，，，为的中点，，即，设直线的解析式为：，将，代入可得：，解得：，直线的解析式为：，联立，解得：或（不符合题意，舍去），；如图，当点位于外部时，作于，连接，，，，，，，、关于对称，，设直线的解析式为：，将，代入得：，解得：，直线的解析式为：，设，则、的中点在直线上，在直线上，，，，，，整理得：，解得：，，或，经检验，当时，直线不垂直，故不符合题意，，设直线的解析式为：，将，代入得：，解得：，直线的解析式为：，联立，解得：或（不符合题意，舍去），；综上所述，的坐标为或．【点睛】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用、平移的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程解决问题，学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，属于中考常考题型．题型二、与反比例函数结合1．如图，将直线向下平移m（m＞0）个单位长度后得到直线l，直线l与反比例函数的图像在第一象限内相交于点A，与x轴相交于点B，则（

）A．16 B．12 C．8 D．6【答案】B【分析】本此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数的平移规律，平移后解析式是，代入求出与x轴交点B的坐标是，设A的坐标是，求出，代入求出即可．【详解】解：∵平移后解析式是，代入得：，即，与x轴交点B的坐标是，，设A的坐标是，∴故选：B．2．如图，矩形的顶点A、B、C的坐标分别为．将矩形向右平移m个单位，若平移后的矩形与函数的图像有公共点，则m的取值范围是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出，再根据平移方式求出平移后点B和点D的对应点坐标分别为，，再求出反比例函数恰好经过点和点时m的值即可得到答案.【详解】解：∵矩形的顶点A、B、C的坐标分别为，∴，，∴，∴平移后点B和点D的对应点坐标分别为，，当反比例函数恰好经过点时，则，解得（已检验是原方程的解）；当反比例函数恰好经过点时，则，解得（已检验是原方程的解）；∴若平移后的矩形与函数的图像有公共点，则m的取值范围是，故选：B．【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，坐标与图形变化平移等等，根据题意求出反比例函数经过平移后点D和点B对应点时m的值是解题的关键．3．菱形在平面直角坐标系中如图1所示，已知，轴，点C的横坐标为．直线向左平移m个单位，在平移过程中，被菱形截得的线段长为n，n与m之间的函数关系如图2所示，则过点B的反比例函数表达式为．

【答案】【分析】观察所给图象可知，当时，平移后图象经过点C，由此求出点C的坐标；当平移后图象在点B和点D之间时，被菱形截得的线段长，由此求出菱形边长，由此可解．【详解】解：直线向左平移m个单位后的解析式为，当平移后图象经过点B时如下图所示，直线与交于点E，过点B作于点F，

由图2知，当时，平移后图象经过点C，即直线经过点C，点C的横坐标为，，点C的坐标为．由图2知，当平移后图象在点B和点D之间时，被菱形截得的线段长，即，轴，直线与的夹角，又菱形中，，，是等腰直角三角形，，，，，是等腰直角三角形，，点B的坐标为，即设过点B的反比例函数表达式为，将代入，得：，点B的反比例函数表达式为，故答案为：．【点睛】本题考查菱形的性质，坐标与图象，一次函数图象的平移，求反比例函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质等，解题的关键是求出菱形边长和点C的坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，将直线向上平移若干个单位长度得到直线，直线分别与反比例的图象和轴交于B，C两点，若，四边形的面积为18，则k的值是．

【答案】【分析】连接、，作轴于，轴于，则，根据题意得出，通过证得，得出，根据反比例函数系数的几何意义得出，进而得出，从而求得的值．【详解】解：连接、，作轴于，轴于，则，

∵，，∴，∵四边形的面积为18，即：，∴，∵，，则，，∴，∴，由反比例函数可知，，∴，∵，则，∴，∵，∴．故答案为：．【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了平行线间的距离相等，三角形的面积，反比例函数系数的几何意义，求得，进而得出是解题的关键．5．某同学根据学习函数的经验，在平面直角坐标系中画了函数的图象，如图1．(1)下列关于函数图象的表述，正确的有________（填序号）；①图象与轴没有交点；②的图象可以看作由的图象向右平移1个单位长度得到；③当时，．(2)如图2，已知直线经过且与的图象的一个交点的横坐标等于4，求另一个交点的坐标；(3)在（2）的条件下，直接写出不等式的解集是________．【答案】(1)①②(2)(3)或【分析】本题主要考查了反比例函数的性质和图象，反比例函数与不等式的关系，对于（1），根据题意可知的图象是由平移得到的，再逐项判断即可；对于（2），先求出第一个交点坐标，再根据对称性得出另一个交点坐标；对于（3），根据交点横坐标，再结合图象的位置可得答案．【详解】（1）根据题意可知函数的图象是由向右平移1个单位长度平移得到，与x没有交点，当时，，当时，，所以正确的有①②．故答案为：①②；（2）当时，，∴交点坐标为，可知点关于点对称的点的坐标是；（3）当时，；当时，．所以的解集是或．故答案为：或．6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴交于点，与y轴交于点E．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)F为反比例函数第四象限上一点，过点F作轴于点Q，使与相似，求满足条件的F点坐标；(3)将直线平移，与反比例函数图象交于M，N两点，若，求直线的解析式．【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为；(2)或(3)或【分析】本题考查待反比例函数与一次函数的综合应用，待定系数法求解析式，相似三角形的应用，一次函数与反比例函数交点问题；（1）将点代入求解即可得到答案；（2）设出点的坐标，分类讨论直角的两对应边成比例求解即可得到答案；（3）设出平移后的解析式，根据两交点距离列式求解即可得到答案；【详解】（1）解：将，代入得，，，解得：，，∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为；（2）解：∵轴，∴，设，当时，，∴，当时，，解得：，（不符合题意舍去），∴，当时，，解得：，（不符合题意舍去），∴，综上所述：满足的坐标为：或；（3）解：设平移后的解析式为：，联立反比例函数得，，即：，设两个交点为，，∴，，∴，，∵，∴，即：，，解得：或，∴或．题型三、与二次函数结合1．将抛物线沿x轴向右平移m（）个单位得到一条新抛物线，若点，在新抛物线上，且，则m的值可以是（）A．3 B．4 C．8 D．9【答案】D【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质得到关于m的不等式是解题的关键．根据平移规律得到新抛物线为，即可得到抛物线开口向上，对称轴为直线，由点，在新抛物线上，且，即可得到关于m的不等式，解不等式即可．【详解】解：∵，∴将抛物线向右平移m（）个单位得到一条新抛物线为，∴抛物线开口向上，对称轴为直线，∵点，在新抛物线上，且，∴，∴，故选：D．2．已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示：2116①抛物线的对称轴为直线；②抛物线