湖南省湘潭市桂花中学高三数学文模拟试题含解析

湖南省湘潭市桂花中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数y=tanx+sinx﹣|tanx﹣sinx|在区间内的图象是(

)A． B． C． D．参考答案：D【考点】正切函数的图象；分段函数的解析式求法及其图象的作法；三角函数值的符号；正弦函数的图象；余弦函数的图象．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】本题的解题关键是分析正弦函数与正切函数在区间上的符号，但因为已知区间即包含第II象限内的角，也包含第III象限内的角，因此要进行分类讨论．【解答】解：函数，分段画出函数图象如D图示，故选D．【点评】准确记忆三角函数在不同象限内的符号是解决本题的关键，其口决是“第一象限全为正，第二象限负余弦，第三象限负正切，第四象限负正弦．”2.一个多面体的三视图分别是正方形．等腰三角形和矩形，其尺寸如图，则该多面体的体积为9

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A略3.设与（且≠2）具有不同的单调性，则与的大小关系是（

）

A．M<NB．M=NC．M>ND．M≤N参考答案：C略4.已知A、B分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，P为双曲线上一点，且△ABP为等腰三角形，若双曲线的离心率为，则∠ABP的度数为（）A．30° B．60° C．120° D．30°或120°参考答案：D【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】双曲线的离心率为，则a=b，双曲线方程为x2﹣y2=a2，利用△ABP为等腰三角形，分类讨论，即可求出∠ABP的度数．【解答】解：双曲线的离心率为，则a=b，双曲线方程为x2﹣y2=a2，若|AB|=|BP|=2a，设P（m，n），则，∴m=2a，∴∠PBx=60°，∴∠ABP=120°；若|AB|=|AP|=2a，设P（m，n），则，∴m=﹣2a，∴∠PAB=120°，∴∠ABP=30°，故选D．5.若x，y满足则x＋2y的最大值为A．

B．6

C．11

D．10参考答案：C6.已知一容器中有A、B两种菌，且在任何时刻A、B两种菌的个数乘积为定值。为了简单起见，科学家用来记录A菌个数的资料，其中为A菌的个数。则下列判断中正确的个数为 （

）①；②假设科学家将B菌的个数控制为5万个，则此时5<<5.5③若今天的值比昨天的值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多了10个 A．0 B．1 C．2 D．3

参考答案：略7.已知f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的xR，都有f（2+x）=－f（x），且当时x∈[0，1]时，则方程在[－1，5]的所有实根之和为

A．0

B．2

C．4

D．8参考答案：D略8.已知参考答案：A略9.函数的最小正周期为π，则该函数图象

A．关于直线对称

B．关于直线对称

C．关于点对称

D．关于点对称参考答案：D10.已知函数f(x)=ln+sinx，则关于a的不等式f（a﹣2）+f（a2﹣4）＜0的解集是（）A．（，2）B．（﹣3，2） C．（1，2） D．（，）参考答案：A【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据已知中的函数解析式，先分析函数的单调性和奇偶性，进而根据函数的性质及定义域，可将不等式f（a﹣2）+f（a2﹣4）＜0化为1＞a﹣2＞4﹣a2＞﹣1，解不等式组可得答案．【解答】解：函数的定义域为（﹣1，1）∵f（﹣x）=﹣sinx=﹣f（x）∴函数f（x）为奇函数又∵f′（x）=+cosx＞0，∴函数在区间（﹣1，1）上为减函数，则不等式f（a﹣2）+f（a2﹣4）＜0可化为：f（a﹣2）＜﹣f（a2﹣4）即f（a﹣2）＜f（4﹣a2），即1＞a﹣2＞4﹣a2＞﹣1解得＜a＜2故关于a的不等式f（a﹣2）+f（a2﹣4）＜0的解集是（，2）．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线与曲线相切，则的值为

．参考答案：12.设

则__________.参考答案：13.右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽

米.14.参考答案：.

设水面与桥的一个交点为A，如图建立直角坐标系则，A的坐标为（2，-2）.设抛物线方程为，带入点A得，设水位下降1米后水面与桥的交点坐标为，则，所以水面宽度为.14.定义在上的函数满足.若当时，,则当时,=_____________________；参考答案：15.已知函数在区间[1,e]上取得最小值4，则

▲

．参考答案：－3e16.已知函数的最大值为3，的图象与轴的交点坐标为，其相邻两条对称轴间的距离为2，则

参考答案：4030【知识点】二倍角的余弦；余弦函数的图象．C3C6解析：∵函数f（x）=Acos2（ωx+φ）+1=A?+1=cos（2ωx+2φ）+1+（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为3，∴+1+=3，∴A=2．根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即=4，∴ω=．再根据f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），可得cos（2φ）+1+1=2，∴cos2φ=0，2φ=，∴φ=．故函数的解析式为f（x）=cos（x+）+2=﹣sinx+2，∴f（1）+f（2）+…+f（2014）+f（2015）=﹣（sin+sin+sin+…+sin+sin）+2×2015=503×0﹣sin﹣sin﹣sin+4030=0+4030=4030，故答案为：4030．【思路点拨】由条件利用二倍角的余弦公式可得f（x）=cos（2ωx+2φ）+1+，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式，再利用函数的周期性求得所求式子的值．17.已知球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，O在CD上，若三棱锥A-BCD的体积的最大值为，则该球O的表面积为

．参考答案：16π由题意知，为该球的直径，由此易知，当顶点在底面的射影为球心时，且底面为等腰直角三角形时，三棱锥体积最大，所以，解得，故所求球的表面积为.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）在正三角形ABC中,E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点,且满足===(如图(1)),将△AEF沿EF折起到△EF的位置,使二面角EFB成直二面角,连接B、P(如图(2)).(1)求证:E⊥平面BEP;(2)求直线E与平面BP所成角的大小.参考答案：19.已知函数（其中）.（1）讨论的单调性；（2）若对任意的，关于x的不等式恒成立，求a的取值范围.参考答案：解：（1）的定义域为（i）若，则.由得或；由得在上单调递增，在上单调递减；（ii）若，则在上单调递增；（iii）若，则，由得或；由得在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）知，（i）若，当时，即时，在上单调递增，在上单调递减.，故对不恒成立；当时，即时，在上单调递增，（ii）若在上单调递增，则，故；综上所述，的取值范围为.

20.将圆x2+y2﹣2x=0向左平移一个单位长度，再把所得曲线上每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍得到曲线C．（1）写出曲线C的参数方程；（2）以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，若A，B分别为曲线C及直线l上的动点，求|AB|的最小值．参考答案：【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）将圆方程转化成标准方程，根据坐标变换，即可求得曲线C的方程，即可求得参数方程；（2）由直线l的极坐标方程求得直角坐标方程，利用点到直线的距离公式，辅助角公式及正弦函数的性质，即可求得|AB|的最小值．【解答】解：（1）圆x2+y2﹣2x=0的标准方程为（x﹣1）2+y2=1，向左平移一个单位后，所得曲线的方程为x2+y2=1，把曲线x2+y2=1上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到曲线C的方程为+y2=1，故曲线C的参数方程为（α为参数）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由ρsin（θ+）=，得ρcosθ+ρsinθ=3，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得直线l的直角坐标方程为x+y﹣3=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以曲线C上的点到直线l的距离d=═≥=，所以丨AB丨≥，即当α=时，丨AB丨取得最小值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21.已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），g（x）=﹣x2﹣3，且f（x）+g（x）为奇函数．（Ⅰ）求a+c的值．（Ⅱ）当x∈[﹣1，2]时f（x）的最小值为1，求函数f（x）的解析式．参考答案：【考点】二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）化简h（x）=g（x）+f（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，由奇函数可得a﹣1=0，c﹣3=0，从而求解；（Ⅱ）根据二次函数的性质，讨论对称轴所在的位置，从而确定f（x）的最小值在何时取得，从而求f（x）的解析式【解答】解：（Ⅰ）h（x）=f（x）+g（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，∵h（x）为奇函数，∴a﹣1=0，c﹣3=0，∴a=1，c=3，∴a+c=4．（Ⅱ）f（x）=x2+bx+3，其图象对称轴为x=﹣，当﹣≤﹣1，即b≥2时，f（x）min=f（﹣1）=4﹣b=1，∴b=3；当﹣2＜≤2，即﹣4≤b＜2时，f（x）min=f（﹣）==1，解得b=﹣2或b=2（舍）；当﹣＞2，即b＜﹣4时，f（x）min=f（2）=7+2b=1，∴b=﹣3（舍），∴f（x）=x2+3x+3或f（x）=x2﹣2x+3．【点评】本题考查了函数的奇偶性的应用与及二次函数的最值的求法，属于中档题．22.在单调递增数列{an}中，a1=2，a2=4，且a2n﹣1，a2n，a2n+1成等差数列，a2n，a2n+1，a2n+2成等比数列，n=1，2，3，…．（Ⅰ）（ⅰ）求证：数列为等差数列；（ⅱ）求数列{an}的通项公式．（Ⅱ）设数列的前n项和为Sn，证明：Sn＞，n∈N*．参考答案：【考点】数列的求和；等差关系的确定；等差数列的性质．【分析】（Ⅰ）（ⅰ）通过题意可知2a2n=a2n﹣1+a2n+1、，化简即得结论；（ⅱ）通过计算可知数列的首项及公差，进而可得结论；（2）通过（ii）、放缩、裂项可知＞4（﹣），进而并项相