第02讲 绝对值和相反数（知识解读+真题演练+课后巩固）-2023-2024学年七年级数学上册（苏科版）

第第页第02讲绝对值和相反数1.理解相反数的概念，能正确求出一个数的相反数；2.掌握相反数的性质，并能进行多重符号的化简；3.理解绝对值的概念，能掌握绝对值的代数意义和几何意义；4.通过已知绝对值求这个数，初步培养学生逆向思维的数学思想方法。知识点1：相反数（1）概念代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。（0的相反数是0）几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。（2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数。两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。（3）多重符号的化简多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数（注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号）知识点2:绝对值（1）几何意义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。一个正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）（2）代数意义一个负数的绝对值是它的相反数0的绝对值是0（3）代数符号意义：a＞0，|a|=a反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≦0a=0，|a|=0a＜0，|a|=‐注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。（4）性质：绝对值是a(a＞0)的数有2个，他们互为相反数。即±a。（5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝01.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。（6）比较大小2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。【题型1相反数的概念和表示】【典例1】（2023•舟山模拟）2023的相反数是（）A．2023 B．﹣2023 C． D．±2023【答案】B【解答】解：2023的相反数是﹣2023；故选：B．【变式1-1】（2023•商河县二模）﹣4的相反数是（）A．±4 B．﹣4 C．4 D．【答案】C【解答】解：﹣4的相反数是4．故选：C．【变式1-2】（2023•武汉模拟）数a的相反数为﹣5，则a的值为（）A．﹣5 B． C． D．5【答案】D【解答】解：数a的相反数为﹣5，则a的值为5．故选：D．【变式1-3】（2022秋•荔湾区期末）下列两数互为相反数的一组是（）A．+20和﹣（﹣20） B．+（﹣0.1）和﹣（﹣） C．﹣0.3和﹣（+0.3） D．2.5和﹣[+（﹣）]【答案】B【解答】解：A、+20和﹣（﹣20）＝20相等，故A不符合题意；B、+（﹣0.1）＝﹣0.1和﹣（﹣）＝0.1互为相反数，故B符合题意；C、﹣0.3和﹣（+0.3）＝﹣0.3相等，故C不符合题意；D、2.5和﹣[+（﹣）]＝2.5相等，故D不符合题意．故选：B．【题型2相反数的性质运用】【典例2】（2021秋•绥棱县校级期末）若m，n互为相反数，则（m+n）2021＝0．【答案】0．【解答】解：∵m，n互为相反数，∴m+n＝0，∴（m+n）2021＝02021＝0．故答案为：0．【变式2-1】（2022秋•长沙月考）已知a+2与2﹣b互为相反数，则a﹣b的值为﹣4．【答案】﹣4．【解答】解：∵a+2与2﹣b互为相反数，∴a+2+（2﹣b）＝0，∴a﹣b＝﹣4．故答案为：﹣4．【变式2-2】（2022秋•东平县校级期末）若x﹣1与2﹣y互为相反数，则（x﹣y）2022＝1．【答案】1．【解答】解：∵x﹣1与2﹣y互为相反数，∴x﹣1+2﹣y＝0，∴x﹣y＝﹣1，∴原式＝（﹣1）2022＝1．故答案为：1【题型3绝对值的定义】【典例3】（2023•西华县二模）﹣3的绝对值是（）A．3 B．﹣3 C． D．【答案】A【解答】解：﹣3的绝对值是3；故选：A．【变式3-1】（2023•市北区二模）下列各数中，绝对值等于的数是（）A．2 B．﹣2 C． D．【答案】C【解答】解：A．2的绝对值是2，故此选项不合题意；B．﹣2的绝对值是2，故此选项不合题意；C．﹣的绝对值是，故此选项符合题意；D．（﹣）﹣1＝﹣2的绝对值是2，故此选项不合题意．故选：C．【变式3-2】（2022秋•邢台期末）若|﹣7|＝﹣a，则a的值是（）A．7 B．﹣7 C． D．【答案】B【解答】解：∵|﹣7|＝7，|﹣7|＝﹣a，∴﹣a＝7，即a＝﹣7．故选：B．【变式3-3】（2022秋•榆阳区校级期末）已知2x﹣3的绝对值与x+6的绝对值相等，则x的相反数为（）A．9 B．1 C．1或﹣9 D．9或﹣1【答案】C【解答】解：∵|2x﹣3|＝|x+6|，∴2x﹣3＝x+6，或2x﹣3＝﹣（x+6），∴x＝9或x＝﹣1，∴x的相反数是﹣9或1．故选：C．【题型4绝对值的性质与化简】【典例4】（2022秋•新市区校级期末）已知a、b、c的大致位置如图所示：化简|a﹣c|﹣|b﹣c|+|a+b|的结果是（）A．﹣2a B．2a C．2a+2b﹣2c D．﹣2a+2b﹣2c【答案】A【解答】解：由数轴可得：a﹣c＜0，b﹣c＜0，a+b＜0，则原式＝﹣（a﹣c）+（b﹣c）﹣（a+b）＝﹣a+c+b﹣c﹣a﹣b＝﹣2a．故选：A．【变式4-1】（2022秋•市北区校级期末）当|a|＝5，|b|＝7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（）A．﹣12 B．﹣2或﹣12 C．2 D．﹣2【答案】B【解答】解：∵|a|＝5，|b|＝7，∴a＝±5，b＝±7∵|a+b|＝a+b，∴a+b≥0，∴a＝±5．b＝7，当a＝5，b＝7时，a﹣b＝﹣2；当a＝﹣5，b＝7时，a﹣b＝﹣12；故a﹣b的值为﹣2或﹣12．故选：B．【变式4-2】（2021秋•梅县区校级期末）若3＜a＜5，则化简|3﹣a|﹣|5+a|结果为（）A．2a+2 B．﹣2a﹣2 C．﹣8 D．8【答案】C【解答】解：∵3＜a＜5，∴3﹣a＜0，5+a＞0，∴|3﹣a|﹣|5+a|＝a﹣3﹣5﹣a＝﹣8．故选：C．【变式4-3】（2022秋•吉安期末）已知有理数m，n满足mn≠0，则＝﹣1或3．【答案】﹣1或3．【解答】解：当m和n同号，且m＜0，n＜0时，，∴；当m和n同号，且m＞0，n＞0时，，∴；当m和n异号，且m＞0，n＜0时，，∴；当m和n异号，且m＜0，n＞0时，，∴．综上可知，的值为﹣1或3．故答案为：﹣1或3．【题型5绝对值分非负性】【典例5】（2022秋•海港区期末）若|x﹣1|+（y−3）2＝0，则y﹣x＝2．【答案】2．【解答】解：由题意得，x﹣1＝0，y﹣3＝0，解得x＝1，y＝3，所以，y﹣x＝3﹣1＝2．故答案为：2．【变式5-1】（2022秋•叙州区期末）如果|a+3|+|b﹣2|＝0，那么（a+b）2022等于（）A．1 B．﹣1 C．2022 D．﹣2022【答案】A【解答】解：由题意得：a+3＝0，b﹣2＝0，解得：a＝﹣3，b＝2，（a+b）2022＝（﹣1）2022＝1．故选：A．【变式5-2】（2022秋•锡山区校级月考）若|a﹣1|+|b+3|＝0，则a×b﹣的值是（）A．﹣ B．﹣3 C．﹣1 D．2【答案】B【解答】解：∵|a﹣1|+|b+3|＝0，∴a﹣1＝0，b+3＝0，解得：a＝1，b＝﹣3，则a×b﹣＝1×（﹣3）﹣＝﹣3﹣＝﹣3．故选：B．【变式5-3】（2022秋•增城区期中）已知|a﹣2|+|b+3|＝0，则（a+b）2021的值为（）A．1 B．﹣1 C．2021 D．﹣2021【答案】B【解答】解：∵|a﹣2|+|b+3|＝0，∴a﹣2＝0，b+3＝0，解得：a＝2，b＝﹣3，则原式＝（﹣3+2）2021＝（﹣1）2021＝﹣1，故选：B．【变式5-4】（2022秋•利州区校级期末）若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为3．【答案】3．【解答】解：由题意得：|a﹣1|+|b﹣2|＝0．∵|a﹣1|≥0，|b﹣2|≥0，∴a﹣1＝0，b﹣2＝0．∴a＝1，b＝2．∴a+b＝1+2＝3．故答案为：3．【题型6绝对值的几何意义】【典例6】（2022秋•紫金县期中）同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：（1）求|4﹣（﹣2）|＝6；（2）若|x﹣2|＝5，则x＝7或﹣3；（3）请你找出所有符合条件的整数x，使得|1﹣x|+|x+2|＝3．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原式＝6；（2）∵|x﹣2|＝5，∴x﹣2＝±5，∴x＝7或﹣3；（3）由题意可知：|1﹣x|+|x+2|表示数x到1和﹣2的距离之和，∴﹣2≤x≤1，∴x＝﹣2或﹣1或0或1．故答案为（1）6；（2）7或﹣3；【变式6-1】（2021秋•花山区校级期中）下列语句：①一个数的绝对值一定是正数；②﹣a一定是一个负数；③没有绝对值为﹣3的数；④若|a|＝a，则a是一个正数；⑤在原点左边离原点越远的数就越小；正确的有（）个．A．0 B．3 C．2 D．4【答案】C【解答】解：①一个数的绝对值一定是正数，错误，因为有可能是0；②﹣a一定是一个负数，错误，a若小于0，则是正数；③没有绝对值为﹣3的数，正确；④若|a|＝a，则a是一个正数或0，故此选项错误；⑤在原点左边离原点越远的数就越小，正确；故选：C．【变式6-2】（2022秋•涟水县校级月考）大家知道|5|＝|5﹣0|，它在数轴上的意义是表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6﹣3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．数轴上表示x与﹣2的两点之间的距离为5，则x的值是3或﹣7．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意，得：|x﹣（﹣2）|＝5，|x+2|＝5，解得：x＝3或﹣7，故答案为：3或﹣7．【变式6-3】（2022秋•定远县期中）同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索（1）求|5﹣（﹣2）|＝7；（2）同样道理|x+1008|＝|x﹣1005|表示数轴上有理数x所对点到﹣1008和1005所对的两点距离相等，则x＝﹣1.5（3）类似的|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对点到﹣5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，这样的整数是﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2．（4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）|5﹣（﹣2）|＝7；（2）（﹣1008+1005）÷2＝﹣1.5；（3）式子|x+5|+|x﹣2|＝7理解为：在数轴上，某点到﹣5所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为7，所以满足条件的整数x可为﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；（4）有，最小值为﹣3﹣（﹣6）＝3．故答案为：7；﹣1.5；﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2．【题型7利用法则比较有理数大小】【典例7】（2022秋•平舆县期中）如图，数轴上点A，B，C，D，E表示的数分别为﹣4，﹣2.5，﹣1，0.5，2．（1）将点A，B，C，D，E表示的数用“＜”连接起来；（2）若将原点改在点C，则点A，B，C，D，E表示的数分别为多少，将这些数也用“＜”连接起来．【答案】（1）﹣4＜﹣2.5＜﹣1＜0.5＜2；（2）点A表示﹣3，点B表示﹣1.5，点C表示0，点D表示1.5，点E表示3，﹣3＜﹣1.5＜0＜1.5＜3．【解答】解：（1）由各数在数轴上的位置可知，﹣4＜﹣2.5＜﹣1＜0.5＜2；（2）若将原点改在点C，则点A表示﹣3，点B表示﹣1.5，点C表示0，点D表示1.5，点E表示3，故﹣3＜﹣1.5＜0＜1.5＜3．【变式7-1】（2022秋•万州区月考）画一条数轴，解答下列问题：（1）用数轴上的点把下列有理数0，﹣（﹣3），﹣3，+3表示出来，并用“＜”把它们连接起来．（2）求出将数轴上表示+3的点沿数轴平移5个单位长度后到原点的距离．【答案】（1）在数轴上表示见解答；；（2）或．【解答】解：（1）如图所示：故；（2）将数轴上表示+3的点沿数轴平移5个单位长度后到原点的距离为或．【变式7-2】（2022秋•南海区期中）已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3．（1）a＝2，b＝﹣3．（2）写出大于﹣的所有负整数；（3）在数轴上标出表示﹣，0，﹣|﹣1|，﹣b的点，并用“＜“连接起来．【答案】（1）2，﹣3；（2）﹣2，﹣1；（3）﹣＜﹣|﹣1|＜0＜﹣b．【解答】解：（1）∵数a在数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3，∴a＝2，b＝0﹣3＝﹣3，故答案为：2，﹣3；（2）大于﹣的所有负整数是﹣2，﹣1；（3）﹣|﹣1|＝﹣1，﹣b＝3，﹣＜﹣|﹣1|＜0＜﹣b．【题型8利用特殊值法比较有理数大小】【典例8】（2022秋•建邺区校级月考）若0＜a＜1，则a，﹣a，的大小关系是．【答案】＞a＞﹣a．【解答】解：∵0＜a＜1，∴a＝，则﹣a＝﹣，＝10，∵10＞＞﹣，∴＞a＞﹣a．故答案为：＞a＞﹣a．【变式8-1】（2022秋•隆安县期中）若0＜a＜1，则a，a2，按从小到大排列是．【答案】a2＜a＜．【解答】解：∵0＜a＜1，∴取a＝，∴a2＝，＝2，∴a2＜a＜，故答案为：a2＜a＜．【变式8-2】（2020秋•新抚区校级期中）若：﹣1＞a＞0，则a2，a3，a4，a5的大小关系是（）A．a2＞a3＞a4＞a5 B．a2＞a4＞a5＞a3 C．a2＜a3＜a4＜a5 D．a4＞a2＞a5＞a3【答案】B【解答】解：∵﹣1＞a＞0，∴a²＞a4＞a5＞a3，故选：B．【题型9利用数轴比较有理数大小】【典例9】（2022秋•福田区校级期中）如图所示，在数轴上标出了有理数a，b，c的位置其中0是原点，则，，，大小顺序是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：＜c＜a＜0＜1＜b，∴可以取a＝﹣、b＝2、c＝﹣，∴＝﹣3，＝，＝∴＞＞．故选：C．【变式9-1】（2022秋•汝阳县期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若b+c＝0，则a，b，c三个数中绝对值最大的数是（）A．a B．b C．c D．无法确定【答案】A【解答】解：∵b+c＝0，∴原点在b，c中间位置，∴a距离原点最远，∴a，b，c三个数中绝对值最大的数是a．故选：A．【变式9-2】（2022秋•崇川区期末）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则数a，b，﹣a，﹣b的大小关系为（）﹣a＜﹣b＜b＜a B．﹣a＜b＜a＜﹣b C．﹣a＜b＜﹣b＜a D．﹣a＜﹣b＜a＜b【答案】C【解答】解：将﹣a，﹣b在数轴上表示为：∴﹣a＜b＜﹣b＜a．故选：C．【变式9-3】（2021秋•肥西县月考）如图，点A，B在数轴上原点的两侧，分别表示的数为a，2，OA＞OB，则a＜（填＞、＜或＝）．【答案】＜．【解答】解：根据题意可知OA＝﹣a，OB＝2，∵OA＞OB，∴﹣a＞2，∴a＜﹣2，∵，∴，∴，故答案为：＜．1．（2022•钢城区）﹣7的相反数是（）A．﹣7 B．﹣ C．7 D．【答案】C【解答】解：﹣7的相反数为7，故选：C．2．（2022•陕西）﹣21的绝对值为（）A．21 B．﹣21 C． D．﹣【答案】A【解答】解：﹣21的绝对值为21，故选：A．3．（2022•阜新）在有理数﹣1，﹣2，0，2中，最小的是（）A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．2【答案】B【解答】解：有理数﹣1，﹣2，0，2中，最小的是﹣2，故选：B．4．（2022•荆门）如果|x|＝2，那么x＝（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．2或【答案】C【解答】解：∵|±2|＝2，∴x＝±2．故选：C．5．（2022•南充）下列计算结果为5的是（）A．﹣（+5） B．+（﹣5） C．﹣（﹣5） D．﹣|﹣5|【答案】C【解答】解：A选项，原式＝﹣5，故该选项不符合题意；B选项，原式＝﹣5，故该选项不符合题意；C选项，原式＝5，故该选项符合题意；D选项，原式＝﹣5，故该选项不符合题意；故选：C．6．（2021•淄博）下表是几种液体在标准大气压下的沸点，则沸点最高的液体是（）液体名称液态氧液态氢液态氮液态氦沸点/℃﹣183﹣253﹣196﹣268.9A．液态氧 B．液态氢 C．液态氮 D．液态氦【答案】A【解答】解：∵|﹣268.9|＞|﹣253|＞|﹣196|＞|﹣183|，∴﹣268.9＜﹣253＜﹣196＜﹣183，∴沸点最高的液体是液态氧．故选：A．7．（2021•大庆）下列说法正确的是（）A．|x|＜x B．若|x﹣1|+2取最小值，则x＝0 C．若x＞1＞y＞﹣1，则|x|＜|y| D．若|x+1|≤0，则x＝﹣1【答案】D【解答】解：A、当x＝0时，|x|＝x，故此选项错误，不符合题意；B、∵|x﹣1|≥0，∴当x＝1时，|x﹣1|+2取最小值，故此选项错误，不符合题意；C、∵x＞1＞y＞﹣1，∴|x|＞1，|y|＜1，∴|x|＞|y|，故此选项错误，不符合题意；D、∵|x+1|≤0，|x+1|≥0，∴x+1＝0，∴x＝﹣1，故此选项正确，符合题意．故选：D．8．（2021•永州）﹣|﹣2021|的相反数为（）A．﹣2021 B．2021 C．﹣ D．【答案】B【解答】解：∵﹣|﹣2021|＝﹣2021，∴﹣2021的相反数为2021．故选：B．9．（2021•南充）数轴上表示数m和m+2的点到原点的距离相等，则m为（）A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1【答案】D【解答】解：由题意得：|m|＝|m+2|，∴m＝m+2或m＝﹣（m+2），∴m＝﹣1．故选：D．1．（2023•乌鲁木齐二模）的相反数是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：的相反数是﹣．故选：B．2．（2023•唐山一模）如图，能够表示﹣2的相反数的点是（）A．M B．N C．P D．Q【答案】D【解答】解：﹣2的相反数是2，故选：D．3．（2022秋•襄都区校级期末）如果|a+1|＝0，那么a2023的值是（）A．﹣2023 B．2023 C．﹣1 D．1【答案】C【解答】解：∵|a+1|＝0，∴a＝﹣1，∴a2023＝（﹣1）2023＝﹣1．故选：C．4．（2022秋•榆阳区校级期末）已知2x﹣3的绝对值与x+6的绝对值相等，则x的相反数为（）A．9 B．1 C．1或﹣9 D．9或﹣1【答案】C【解答】解：∵|2x﹣3|＝|x+6|，∴2x﹣3＝x+6，或2x﹣3＝﹣（x+6），∴x＝9或x＝﹣1，∴x的相反数是﹣9或1．故选：C．5．（2022秋•忠县期末）若，，，d＝﹣2，则绝对值最大的数是（）A．a B．b C．c D．d【答案】D【解答】解：数a的绝对值为：|﹣|＝，数b的绝对值为：|﹣|＝，数c的绝对值为：||＝，数d的绝对值为：|﹣2|＝2，由于2＞＞，所以绝对值最大的数是d＝﹣2，故选：D．6．（2022秋•光泽县期中）若|a﹣5|+|b+6|＝0，则﹣b+a﹣1的值是（）A．﹣11 B．10 C．﹣2 D．2【答案】B【解答】解：因为|a﹣5|+|b+6|＝0，所以a﹣5＝0，b+6＝0，即a＝5，b＝﹣6，所以﹣b+a﹣1＝﹣（﹣6）+5﹣1＝10．故选：B7.（2023•桐乡市一模）﹣6是6的（）A．倒数 B．绝对值 C．相反数 D．负倒数【答案】C【解答】解：根据相反数的意义，﹣6是6的相反数；故选：C．8．（2021秋•西城区校级期中）下列说法正确的是（）A．符号相反的两个数互为相反数 B．一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右 C．一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越近 D．当a≠0时，|a|总是大于0【答案】D【解答】解：A、符号相反的两个数互为相反数，例如，3与﹣5不是相反数，错误；B、一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远，不一定越靠右，错误；C、一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远，错误；D、a≠0，不论a为正数还是负数，|a|都大于0，正确；故选：D．故选：D．9．（秋•宽城区期末）如图，数轴上O是原点，A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．根据图中各点的位置，下列比较大小正确的是（）A．a＞﹣c B．a＜﹣b C．b＞﹣c D．﹣b＜c【答案】B【解答】解