第10题共焦点的椭圆离心率问题 2024年高中数学三轮复习之一题多解

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页第10题共焦点的椭圆离心率问题【2024上·湖北武汉·高三统考期末】．如图，椭圆和有相同的焦点，离心率分别为为椭圆的上顶点，三点共线且垂足在椭圆上，则的最大值是______．设，，利用椭圆的定义及勾股定理得，结合基本不等式计算即可.设，在椭圆中有，即．在三角形中有，故，即，解得，所以的最大值是，在时取得．（23-24高三上·河北·期末）1．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是（

）A． B． C． D．（2024·广东深圳·二模）2．P是椭圆C：（）上一点，、是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为（

）A． B． C． D．设，结合线段关系表示，根据辅助角公式及三角函数的有界性计算即可.，，，在时取最大值．（23-24高三上·湖北荆州·阶段练习）3．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（

）A． B．C． D．（23-24高三上·山东青岛·期末）4．直线与椭圆交于A、B两点（点在第一象限），过点作轴的垂线，垂足为E，AE的中点为，设直线与椭圆的另一交点为，若，则椭圆的离心率为（

）A． B．C． D．（23-24高二上·贵州铜仁·期末）5．已知椭圆：（）与双曲线：（）共焦点，，过引直线与双曲线左、右两支分别交于点，，过作，垂足为，且（为坐标原点），若，则与的离心率之和为（

）A． B． C． D．（23-24高二上·山东济宁·阶段练习）6．设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．（2023·湖北咸宁·模拟预测）7．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，为两曲线的一个公共点，且（为坐标原点）．若，则的取值范围是．9．如图，在中，已知，其内切圆与AC边相切于点D，且，延长BA到E，使，连接CE，设以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为，以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为，则的取值范围是．（2023·湖北襄阳·模拟预测）10．如图，已知有公共焦点、的椭圆和双曲线相交于A、B、C、D四个点，且满足，直线AB与x轴交于点P，直线CP与双曲线交于点Q，记直线AC、AQ的斜率分别为、，若，则椭圆的离心率为.（22-23高三上·上海浦东新·期末）11．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别是，，这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是．（2023·四川凉山·一模）12．如图，已知椭圆，．若由椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向椭圆引切线和，若两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．A【分析】设出椭圆的长半轴长，双曲线的实半轴长为，然后根据焦点三角形顶角的余弦定理求解出的关系式，最后通过“1”的妙用求解出最小值.【详解】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义得：，，设，则在中，由余弦定理得，，化简得，即，则，当且仅当，即时等号成立，故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆、双曲线的离心率的相关计算，涉及到焦点三角形、基本不等式求最值等问题，对学生的计算能力要求较高，难度较大.解答本题的关键点有两个：（1）运用两个曲线的定义，找到离心率之间的关系；（2）在已知条件等式的情况下，活用“1”的妙用求最值.2．C【分析】设，，由题意得出是等腰直角三角形，列方程组得到含的齐次方程求解离心率即可.【详解】如图，设，，延长交于A，由题意知，O为的中点，故为中点，又，即，则，又由，则是等腰直角三角形，故有，化简得，即，代入得，即，由所以，所以，.故选：C.3．A【分析】根据双曲线以及椭圆的定义可得，，进而在焦点三角形中运用余弦定理即可得，再结合均值不等式即可求解.【详解】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义，得，，所以，，设，，则在△中由余弦定理，得，化简得：，即，又，，，则，当且仅当，即时，等号成立，所以椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为．故选：A.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用椭圆与双曲线的定义得到，，从而利用余弦定理构造得关于的齐次方程，由此得解.4．A【分析】设，根据向量数量积运算，三点共线，由点差法即可求解.【详解】设，则，，，，①，三点共线，，②，在椭圆上，，两式相减可得，③将①②代入③可得，，，所以椭圆的离心率.故选：A【点睛】方法点睛：点差法是解决圆锥曲线与直线的关系中常用到的一种方法.当直线与圆锥曲线相交的问题涉及到相交弦的中点或与中点坐标相关的条件时，宜应用点差法求解，即将直线被圆锥曲线截得的弦的两端点坐标代入圆锥曲线方程，得到两个等式，再将两个等式作差，转化得到弦的中点坐标与直线斜率的关系，进而解决问题.在解答圆锥曲线的某些问题时，若果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程.5．B【分析】由双曲线方程可得焦点坐标，故可得椭圆离心率，点作于点，结合题目所给条件，可由、表示出、，结合双曲线定义即可得双曲线离心率.【详解】由可得，故焦点坐标为、，则椭圆的离心率为，由，，则，过点作于点，由为中点，故，，由，故，则，，由双曲线定义可知，，故，则离心率为，故与的离心率之和为.故选：B.【点睛】关键点睛：本题关键点在作出，方可将题目所给条件结合起来，得出、，结合双曲线定义求出双曲线离心率.6．C【分析】设，由椭圆定义和勾股定理得到，换元后得到，根据二次函数单调性求出，得到离心率的取值范围.【详解】设，，由椭圆的定义可得，，可设，可得，即有，①由，可得，即为，②由，可得，令，可得，即有，由，可得，即，则时，取得最小值；或4时，取得最大值.即有，得.故选：C【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率或离心率的取值范围，常见有三种方法：①求出，代入公式；②根据条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围；③由题目条件得到离心率关于变量的函数，结合变量的取值范围得到离心率的取值范围.7．B【分析】根据等腰三角形三边关系可构造不等式求得的范围，根据双曲线和椭圆定义可利用表示出，从而得到，结合的范围可得结果.【详解】设椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆长半轴为，双曲线实半轴为，，，是以为底边的等腰三角形，点在第一象限内，，即，，且，，，，解得：．在双曲线中，，；在椭圆中，，；；，，则，，可得：，的取值范围为.故选：B.8．【分析】设出半焦距c，用表示出椭圆的长半轴长、双曲线的实半轴长，由可得为直角三角形，由此建立关系即可计算作答,【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，它们的半焦距为c，于是得，，由椭圆及双曲线的对称性知，不妨令焦点和在x轴上，点P在y轴右侧，由椭圆及双曲线定义得：，解得，，因，即，而O是线段的中点，因此有，则有，即，整理得：，从而有，即有，又，则有，即，解得，所以的取值范围是.故答案为：【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：①定义法：通过已知条件列出方程组，求得值，根据离心率的定义求解离心率；②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.9．【分析】设分别是与圆的切点，设，利用椭圆，双曲线的定义分切求出的表达式，进而可得的表达式，然后求出的取值范围即可的解.【详解】如图以的中点为原点直角坐标系，设分别是与圆的切点，由圆的切线性质得，设，所以，，在中，，以为焦点经过点的双曲线的离心率为，以为焦点经过点的椭圆的离心率为，则，在中，设，所以，，由余弦定理可得，所以，所以，得，由对勾函数的单调性可得函数在上单调递增，所以.故答案为：.【点睛】关键点点睛：根据圆锥曲线的定义结合条件表示出，然后根据余弦定理结合条件求出参数的取值范围是解出此题的关键.10．##【分析】设椭圆的方程为，双曲线的方程为，联立方程组求的坐标，再求点的坐标，由条件列方程求椭圆的离心率.【详解】设椭圆的方程为，双曲线的方程为，因为椭圆和双曲线有公共焦点、，所以，因为，联立，可得，所以，所以点的坐标分别为，，，，所以直线的斜率，直线的方程为，所以点的坐标为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，联立，消得，，设点的坐标为，则，所以，，所以直线的斜率，又，，所以，又，所以，因为点，，所以，故，故所以.故答案为：.【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．11．【分析】根据椭圆和双曲线的定义、椭圆和双曲线的离心率公式，结合等腰三角形的性质，从而可得，进而可得到关于的表达式，构造函数，再根据函数在上的单调情况即可解得的取值范围．【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为，，，，由于是以为底边的等腰三角形，由，即有，，由椭圆的定义可得，由