专题06 三角形（全等、相似）（2大易错点分析+19个易错点+易错题通关）-备战2024年中考数学考试易错题（江苏专用）（原卷版）

试卷第=page22页，共=sectionpages2727页专题06三角形（全等、相似）三角形（全等、等腰、直角）专题易错点：1.三角形的概念：对于三角形的定义、性质及分类理解不够深入，容易混淆等腰三角形、等边三角形、直角三角形等概念。2.三角形的边和角：对于三角形的三边关系（如任意两边之和大于第三边）和三角形内角和等于180度的性质理解不透彻，导致在解题时出错。3.三角形的全等：对于三角形全等的判定条件（如SAS、ASA、AAS、SSS等）掌握不熟练，容易在判定过程中出错。4.三角形的相似：对于三角形相似的判定条件（如AA、SAS、SSS等）理解不够深入，容易混淆相似和全等的概念。5.三角形的面积：对于三角形面积的计算公式（如底乘高除以2）掌握不熟练，容易在计算过程中出现错误。6.三角形的中位线：对于三角形中位线的性质（如中位线平行于第三边且等于第三边的一半）理解不够深入，导致在解题时出错。7.三角形的角平分线：对于三角形角平分线的性质（如角平分线将相对边分为两段，这两段与该角两边的比例相等）掌握不熟练，容易在解题时出错。易错点1：三角形的垂心例：在中，是的垂心，若与的面积分别为，则（

）A． B． C． D．变式1：如图，在中，，两条高交于点O，连接，则．变式2：（1）在正方形方格纸中，我们把顶点都在“格点”上的三角形称为“格点三角形”，如图，△ABC是一个格点三角形，点A的坐标为（－2，2）．①△ABC的面积为______；②在所给的方格纸中，请你以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半；（仅用直尺完成作图）③在（2）中，若P（a，b）为线段AC上的任一点，则缩小后点P的对应点P1的坐标为______．（2）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹：我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图．①如图1，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F．②如图2，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH．易错点2：三角形的重心例：如图，点G是的重心，过点G作分别交于点M，N，过点N作交于点D，则四边形与的面积之比是（

）A． B． C． D．变式1：如图，在中，，点是的重心，连结，如果，那么的正切值为．变式2：【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2

如图，中，D、E分别是边、的中点，、相交于G．求证：．证明

连结，根据教材内容，结合图①，给出例2的完整证明过程．【结论概括】如果在图①中，取的中点F，假设与交于，如图②，那么我们同理有，所以有，即两图中的点G与是重合的．于是，我们有以下结论：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的_______．【结论应用】如图③所示，在中，已知点D，E，F分别是，，的中点，、相较于点O，且，则四边形的面积值为_______．易错点3：三角形的外心例：如图，已知是的外心，分别是、的中点，连接、交于点，若，，，则的面积为（

）A． B． C． D．变式1：如图，点是的内心，也是的外心．若，则．变式2：如图，在锐角三角形中，，是的外接圆，连接，，延长交于点D．(1)求证：平分；(2)若的半径为5，，求的长．(3)若，求的值（用含m的代数式表示）．易错点4：三角形的内心例：如图，若是的内切圆，且，则的度数为（）

A． B． C． D．变式1：如图，点I是的内心，，，，则的面积为．变式2：阅读与思考阅读下列材料，并完成相应的任务．在某科技杂志上有这样一道题：如图1，在中，三边分别为是的内切圆，切点分别为．求的半径．思路分析：如图1．连接，则存，，设．于是有，∴．（其中S表示的面积，p表示的周长的一半）用语言叙述：三角形的内切圆的半径．若已知的三边长，如何求的面积呢？我国南宋时期数学家秦九韶（约1202～1261），曾提出利用三角形的三边长求它的面积的秦九韶公式：若则秦九韶公式为．例如：在中，若，利用秦九韶公式求的面积．解：，……任务：(1)请完成材料中利用秦九韶公式求面积的剩余步骤，并求出的内切圆的半径．(2)如图2，在中，为它的内切圆，则的长为______．易错点5：倍长中线法例：如图，在中，已知与的面积相等，如果，，那么的取值范围是（

）A． B．C． D．变式1：已知中，，，是的边上的中线，则中线的范围是．变式2：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是．方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．(2)如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并加以证明；(3)如图3，在中，D，E在边上，且．求证：．易错点6：等腰三角形的新定义例：经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形．如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”，如图，线段是的“和谐分割线”，为等腰三角形，和相似，，则的度数为（）A． B． C．或 D．或变式1：定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．若是“倍角三角形”，，，则的面积为．变式2：定义：如果三角形中，两边的平方和等于第三边平方的2倍，那么这个三角形叫“完美三角形”．(1)下列三角形一定是“完美三角形”的是．A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形(2)如图1，是“完美三角形”，且．若正方形和正方形的面积分别是7和25，则正方形的面积是．(3)如图2，在四边形中，，．E是四边形外一点，且，．求证：是“完美三角形”．(4)若是“完美三角形”，且一条直角边长为，求斜边长．易错点7：两圆一线画等腰例：在平面直角坐标系中，已知，在坐标轴上确定一点P使得为等腰三角形，则满足条件的点可以画出（

）A．4个 B．6个 C．8个 D．7个变式1：在平面直角坐标系中，已知点，点Q在坐标轴上，是等腰三角形，则满足条件的点Q共有个．变式2：如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒．(1)出发2秒后，求线段的长．(2)问为何值时，为等腰三角形？(3)另有一点，从点开始，技的路径运动，且速度为每秒，若两点同时出发，当中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？易错点8：两线一圆画直角例：如图，中，，，，，若动点以的速度从点出发，沿着的方向运动，设点的运动时间为秒，连接，当是直角三角形时，t的值最多有（

）个

A．1 B．2 C．3 D．4变式1：如图，若的顶点在射线上，且，动点从点出发，以每秒个单位沿射线运动．（1）当运动时间是秒时，是直角三角形．（2）当运动时间的取值范围是秒时，是钝角三角形．变式2：综合与探究如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点B的坐标是，点C的坐标是，M是抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式．(2)P为线段上的一个动点，过点P作轴于点D，D点坐标为，的面积为S．①求的面积S的最大值．②在上是否存在点P，使为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．易错点9：秦九韶——海伦公式例：阅读材料：希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为．如图，在中，，，，则边上的高为．

变式1：我国南宋时期的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式，也叫三斜求积公式．即：若一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该三角形的面积为，现已知三边长分别为2，3，，则的面积是．变式2：平面几何图形的许多问题，如长度、周长、面积、角度等问题，最后都转化到三角形中解决古人对任意形状的三角形，探究出若已知三边，便可以求出其面积具体如下：设一个三角形的三边长分别为、、，则有下列面积公式：（海伦公式）；（秦九韶公式）．(1)一个三角形边长依次为、、，利用两个公式，可以求出这个三角形的面积是______．(2)学完勾股定理，已知任意形状的三角形三边长也能求出其面积如图，在中，，，，求的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．作于，设，用含的代数式表示，则______；请根据勾股定理，利用作为“桥梁”建立方程，并求出的值；求的面积．三角形相似专题易错点：1.对应边和对应角的混淆：这是最常见的错误。在相似三角形中，对应边和对应角必须正确配对。例如，如果一个三角形的某个角与另一个三角形的某个角是对应角，那么这两个角所对的边也必须是对应边。2.比例关系的误解：在相似三角形中，对应边之间的比例关系是固定的。如果一个三角形的对应边是另一个三角形的两倍，那么所有对应边都是这样的比例关系。但是，学生们可能会误解这个比例关系，导致计算错误。3.相似与全等的混淆：全等三角形和相似三角形是两个不同的概念。全等三角形是指两个三角形能够完全重合，而相似三角形是指两个三角形的形状相同但大小可能不同。学生们可能会混淆这两个概念，导致解题错误。4.判定定理的误用：在判断两个三角形是否相似时，有几种不同的判定定理可以使用。但是，学生们可能会误用这些定理，导致判断错误。例如，他们可能会错误地认为如果两个三角形的两组对应角相等，那么这两个三角形就是相似的，而实际上这只是一个必要条件，不是充分条件。易错点1：黄金分割例：如图，在正方形中，为中点，连结，延长至点，使得，以为边作正方形，《几何原本》中按此方法找到线段的黄金分割点．现连结并延长，分别交，于点，，若：的面积与的面积之差为，则线段的长为（

）

A． B． C． D．变式1：20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，．已知为2米，则线段的长为米．变式2：【综合与实践】【认识研究对象】教材121页给出了如下定义：如图1，如果点把线段分成两条线段和，且，则我们称点为线段的黄金分割点．类似，我们可以定义：如果一个三角形中，其最长边的长度和最短边的长度的乘积等于第三边长度的平方，那么就称该三角形为“类黄金三角形”．如图2，已知是“类黄金三角形”，且．若，，求的长．【探索研究方法】如图3，已知是“类黄金三角形”，且．若，小滨同学过点作于点，发现了两个结论：①；②点是边的黄金分割点；请给出证明．【尝试问题解决】小滨同学经历以上探索过程发现：类似问题，可以通过构造相似三角形等方法解决．于是开展新的探究，请解决以下问题：如图4，已知是“类黄金三角形”，且．若，，求的长．易错点2：平行辅助线例：如图是的中线，E是上一点，且，的延长线交于点F，若，则的值为（

）A．6 B．5 C．4.5 D．5.5变式1：如图，的角平分线与中线相交于点，若，，，则的长为．变式2：【教材呈现】华师版九年级上册63页例1．如图，在中，点是边的三等分点，，，求的长．

【应用拓展】（1）如图①，在中，点是边的中点，点为延长线上一点，连接交于点，若，，，则的长为．（2）如图②，在中，点为边延长线上一点，点为上一点，连接交于点，若点为的中点，，的面积为4，则（阴影部分）面积为．

易错点3：相似中的比值例：如图，四边形中，、交于点E，，，，，则（

）A． B． C． D．变式1：已知：中，是中线，点在上，且，．则=．变式2：【探究】如图①，在矩形中，点E在边上，连接，过点D作于点G，交边于点F．若，，求的值；【应用】（1）如图②，在中，，点为边的中点，连结，过点作于点，交边于点D．若，则的值为；（2）如图③，在，点为的中点，连结，过点作于点，交边于点F，若，则的值为．易错点4：相似中的动点例：如图（1）所示，为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是秒．设P、Q同时出发秒时，的面积为．已知与的函数关系图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②；③当时，；④当秒时，；其中正确的结论是（

）A．①②④ B．②③ C．①③④ D．②④变式1：

如图，中，，，，点、分别为、上的动点，将沿折叠，使点们对应点恰好落在边上，当与相似时，的长为．

变式2：如图，在中，，动点P从点A出发，以的速度沿方向向终点B运动，当点P不与点A重合时，过点P作于点D，，过点D作，与相交于点E．设点P的运动时间为t．(1)线段的长；（用含t的代数式表示）(2)当点E落在边上时，求t的值；(3)设与重叠部分的面积为．求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．易错点5：相似与反比例函数例：如图所示，已知在平面直角坐标系中，的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数的图象经过的中点C，交于点D，连接．若的面积是2，则k的值是（）A． B． C． D．4变式1：如图，在等腰中，，点为反比例函数（其中）图象上的一点，点在轴正半轴上，过点作，交反比例函数的图象于点，连接交于，若面积为1，则的值为．变式2：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点．与坐标轴交于C、D两点，连接、，已知，的面积为1．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)P是线段的中点，直线向上平移个单位长度后，将的面积分成两部分，求b的值；(3)我们把只有一组邻边相等，且只有一组对角为直角的四边形，叫作“直角等补形”；设M为y轴负半轴上一点，N为平面内一点，当四边形是直角等补形时，求点M的坐标．易错点6：相似与圆例：如图，在中，，以为直径作圆，交于点D，延长交圆于点E，连接，交于点F．若，则的值为（

）A． B． C． D．变式1：如图，是圆内接三角形，点是圆上一点，连结，，与交于点，且满足，．若，，则．变式2：如图，在中，点在斜边上，以为圆心，为半径作圆，分别与、相交于点、，连接，已知．(1)求证：是的切线；(2)若，，求劣弧与弦所围图形的面积．(3)若，，求的长．易错点7：相似与三角函数例：如图，在矩形中，，，的顶点E在边上，且，，，则的值为（）A． B． C． D．变式1：如图，在矩形中，，，点是的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，连接，则．变式2：如图，在，，，点与在同一个平面内，连接，将绕点逆时针旋转得到点，连接、．(1)如图①，当点在边上时，求证：；(2)如图②，当点在边上时，连接，若，，则____________；(3)如图③，当点在边的下方时，，交于点，当，时，的面积为____________．易错点8：相似与二次函数例：如图，已知二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，连接、，若平分，则的值为(

）A． B． C． D．变式1：给出定义：抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接、，若满足，则称这样的抛物线称为“相似抛物线”，如图，二次函数的图象是“相似抛物线”，且，则此抛物线的对称轴为．变式2：如图，二次函数的图象与x轴交于点A和点，以为边在x轴上方作正方形，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，同时动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，设运动时间为t秒，连接，过点P作P的垂线与y轴交于点E．

(1)求二次函数的解析式及点A的坐标；(2)当点P在线段(点P不与A、O重合)上运动至何处时，的面积的最小值，并求出这个最小值；(3)在P，Q运动过程中，当时，求t的值；(4)在P，Q运动过程中，是否存在t，使度，若存在请求出t的值，若不存在，请说明理由．易错点9：相似的新定义例：