湖南省长沙市三仙坳中学 高三数学理上学期摸底试题含解析

湖南省长沙市三仙坳中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是圆的直径，点为直线上任意一点，则的最小值是（

）A．1

B．0

C．

D．参考答案：A2.函数在点处的切线斜率是（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：C知识点：利用导数研究曲线上某点切线方程解析：由得，∴．故选：C．【思路点拨】求出原函数的导函数，然后直接取得在点处的导数值，即切线的斜率．

3.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A.45 B.54 C.57 D.63参考答案：B【分析】由三视图得，该几何体是棱长为3的正方体截去一个棱长为1的正方体得到的组合体.【详解】由三视图得，该几何体是棱长为3的正方体截去一个棱长为1的正方体，如图所示，所以该几何体的表面积与棱长为3的正方体的表面积相等，即所求表面积为．故选：B．【点睛】本题考查了正方体的三视图，结构特征与表面积的计算问题，属于基础题．4.若关于x的不等式的解集为，且函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A略5.如图所示，已知正方形的边长为，点从点出发，按字母顺序沿线段，，运动到点，在此过程中的最大值是()A．

B．

C．

D．参考答案：A【知识点】数量积的定义【试题解析】因为图中与夹角为钝角，所以当在的射影的绝对值最小时，有最大值，所以，当与垂直时，的最大值是0.

故答案为：A6.已知函数是周期为2的周期函数，且当时，，则函数的零点个数是A.9

B.10

C.11

D.12参考答案：B7.在平面直角坐标平面上，，且与在直线上的射影长度相等，直线的倾斜角为锐角，则的斜率为

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B略8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(

)A．1440 B．1200 C．960 D．720参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为20，8，9，砍去一个角的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为20，8，8，砍去一个三棱锥（长方体的一个角）的几何体．如图：∴该几何体的体积V=20×9×8﹣=1200．故选：B．【点评】本题考查空间几何体的三视图的应用，由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．9.已知向量与关于x轴对称，，则满足不等式的点Z(x,y)的集合用阴影表示为（

）参考答案：C略10.已知集合，则集合N的真子集个数为（

）A．3；B．4C．7D．8参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数，则的取值范围是

。参考答案：12.已知等差数列{an}，若a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78，则S20=

．参考答案：180【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由条件a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78可得到a1+a20=18，再由等差数列的前20项和的式子可得到答案．【解答】解：∵a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78∴a1+a20+a2+a19+a3+a18=54=3（a1+a20）∴a1+a20=18∴S20=（a1+a20）=180故答案为：180【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式的应用．考查等差数列的性质．比较基础．13.已知某圆锥体的底面半径，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是．参考答案：14.已知是定义在上的奇函数，且当时,，则不等式的解集是

；参考答案：略15.已知椭圆的焦点重合，则该椭圆的离心率是

．参考答案：略16.已知点在曲线上移动，若经过点的曲线的切线的倾斜角为，则的取值范围是

.参考答案：17.在四面体ABCD中，若AB=CD=，AC=BD=2，AD=BC=，则四面体ABCD的外接球的表面积为__________．参考答案：

6π三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)某班名学生在一次百米测试中，成绩全部介于秒与秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）若成绩大于或等于秒且小于秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；（2）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于的概率.

参考答案：解：（1）由频率分布直方图知，成绩在内的人数为：（人）…3分所以该班成绩良好的人数为人.

………

5分（2）由频率分布直方图知，成绩在的人数为人，设为、；…6分成绩在的人数为人，设为、、、

……

7分若时，有种情况；

………

8分若时，有种情况；

……………

9分若分别在和内时，

ABCDxxAxBxCxDyyAyByCyD共有种情况.

………

10分所以基本事件总数为种，事件“”所包含的基本事件个数有种.∴（）.

………

12分略19.已知为等差数列，且，。（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若等比数列满足，，求的前n项和公式参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）设等比数列的公比为，因为所以

即=3所以的前项和公式为略20.（12分）某高校在2012年的自主招生考试中随机抽取了100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第一组[160,165），第二组[165,170），第三组[170,175），第四组[175,180），第五组[180,185）得到的频率分布直方图如图所示。（1）求第三、四、五组的频率；（2）为了以选拔出最优秀的学生，学校决定在笔试成绩高的第三、四、五组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第三、四、五组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试。（3）在（2）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第四组至少有一名学生被甲考官面试的概率。参考答案：（1）由题设可知，第三组的频率为0.06×5=0.3第四组的频率为0.04×5=0.2

第五组的频率为0.02×5=0.1（3分）（2）第三组的人数为0.3×100=30第四组的人数为0.2×100=20第五组的人数为0.1×100=10因为第三、四、五组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组抽到的人数分别为：第三组第四组第五组，所以第三、四、五组分别抽取3人，2人，1人。（6分）（3）设第三组的3位同学为，第四组的2为同学为,第五组的1为同学为C1，则从6为同学中抽2位同学有：共15种可能…………（9分）其中第四组的2为同学中至少1为同学入选有，共9种可能。所以第四组至少有1位同学被甲考官面试的概率为。（12分）21.已知圆内接四边形ABCD的边(1)求角C的大小和BD的长；(2)求四边形ABCD的面积及外接圆的半径.参考答案：解：(I)连结BD，由题设及余弦定理得①②由①②得故(2)四边形ABCD的面积，四边形ABCD的外接圆半径略22.（本题满分12分）已知函数，且周期为.（I）求的值；（II）当[]时，求的最大值及取得最大值时的值.参考答案：【知识点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．C3C7（I）;（II），取得最大值为解析：（I）∵.....（2分）

=..................................................................（4分）∵且，

故......................................................................（6分）（II）

由(1)知∵

∴................................................................................（7分）∴.∴...........