湖南省张家界市市永定区罗水中学高三数学理上学期摸底试题含解析

湖南省张家界市市永定区罗水中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知a,b为非零向量，，若，当且仅当t=时，|m取得最小值，则向量a,b的夹角为A.

B.

C.

D.参考答案：C略2.设集合，则 （

）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．Ｄ．参考答案：B3.下列函数中，周期为π的奇函数是（）A．y=sin2x B．y=tan2xC．y=sin2x+cos2x D．y=sinxcosx参考答案：D【考点】三角函数的周期性及其求法；函数奇偶性的判断；函数的周期性．【分析】根据题意，依次分析选项，求出函数的周期与奇偶性，分析即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、y=sin2x=，为偶函数，周期为=π，不符合题意；对于B、y=tan2x，为奇函数，其周期为，不符合题意；对于C、y=sin2x+cos2x=sin（2x+），为非奇非偶函数，不符合题意；对于D、y=sinxcosx=sin2x，为奇函数，且其周期为=π，符合题意；故选：D．4.集合，，若，则实数的取值范围是（

）A．

参考答案：D5.将函数y=2x的图像按向量平移后得到函数y=2x+6的图像,给出以下四个命题:①的坐标可以是(-3.0)；

②的坐标可以是(0,6)；③的坐标可以是(-3,0)或(0,6)；④的坐标可以有无数种情况；其中真命题的个数是

（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：D6.设集合，则＝（

）A．

B．

C．

D．R参考答案：B7.定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有，则()A．f(3)＜f(－2)＜f(1)

B．f(1)＜f(－2)＜f(3)C．f(－2)＜f(1)＜f(3)

D．f(3)＜f(1)＜f(－2)参考答案：A8.某校高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息，可确定被抽测的人数及分数在[90,100]内的人数分别为（）A.20，2 B.24，4 C.25，2 D.25，4参考答案：C由频率分布直方图可知，组距为的频率为，由茎叶图可知的人数为2，设参加本次考试的总人数为，则所以，根据频率分布直方图可知内的人数与的人数一样，都是，故选C.9.已知正项等比数列满足，若存在两项使得，则的最小值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B10.为继续实施区域发展总体战略，加大对革命老区、民族地区、边疆地区、贫困地区扶持力度，某市教育局再次号召本市重点中学教师和领导自愿到观阁、广兴、天池、龙滩四个边远山区中学支教，得到了积极响应，统计得知各边区学校教师需求情况如下表：边区学校教师需求情况观阁中学3名（其中需1名数学教师）广兴中学2名天池中学3名（其中需2名英语教师）龙滩中学3名（均为物理教师）

现从大量报名者中选出语文教师2名（包含1名干部），数学教师3名，英语教师3名(包含2名干部）、物理教师3名(包含1名干部），要求向每个学校各派一名干部任组长.则不同派遣方案的种数有(A)24种

（B)28种

（C)36种

（D)48种参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设变量x，y满足，则z=x+y的最大值是

．参考答案：3考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：画出约束条件不是的可行域，判断目标函数经过的点，求出最大值．解答： 解：由约束条件画出可行域如图所示，，可得则目标函数z=x+y在点A（2，1）取得最大值，代入得x+y=3，故x+y的最大值为3．故答案为：3．点评：本题考查线性规划的应用，画出约束条件的可行域以及找出目标函数经过的点是解题关键．12.如果（x2﹣1）+（x﹣1）i是纯虚数，那么实数x=．参考答案：﹣1【考点】复数的基本概念．【分析】直接由实部为0且虚部不为0列式求解．【解答】解：∵（x2﹣1）+（x﹣1）i是纯虚数，∴，解得：x=﹣1．故答案为：﹣1．13.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，则球O的表面积为______参考答案：36π【分析】直三棱柱中，底面是直角三角形，可以补成长方体，求出长方体的对角线，就可以求出外接球的直径，最后求出球的表面积。【详解】直三棱柱中，底面是直角三角形，可以补成长方体，如下图所示：,所以球的直径为6，球的表面积为。【点睛】本题考查了利用补形法求直三棱柱外接球的表面积。14.（6分）（2015?嘉兴一模）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a4+a9=24，则S9=，?的最大值为．参考答案：72，64。【考点】：等差数列的前n项和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由a2+a4+a9=24结合等差数列的通项公式求得a5，代入等差数列的前n项和公式得答案；直接由等差数列的前n项和把?转化为含有d的代数式求得最大值．解：在等差数列{an}中，由a2+a4+a9=24，得3a1+12d=24，即a1+4d=8，a5=8．∴S9=9a5=9×8=72；?====．故答案为：72；64．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是中档题．15.椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：D略16.已知数列对任意的有，若,则

.参考答案：4036令m=1,则可知∴为等差数列，首项和公差均为2。∴，∴17.将标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子，每个盒子至少有一个球，则一共有__________种放法。参考答案：150【知识点】排列、组合及简单计数问题．J1J2把编号为1，2，3，4，5的五个球，分成3组：①1，1，3分法，共有种；②1，2，2分法，共有种，故共有25种方法；再放入编号为1，2，3的三个盒子中，有种方法根据乘法原理，可得不同放法的总数是25×6=150种故答案为150．【思路点拨】把编号为1，2，3，4，5的五个球，分成3组，再放入编号为1，2，3的三个盒子中，根据乘法原理，即可得到结论．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点间的距离为.(Ⅰ)求的解析式；

(Ⅱ)若，求的值.

参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）解析：(Ⅰ)因为为偶函数，故，从而.再由图象上相邻的一个最高点和最低点间的距离为，知，从而，故.

所以.(Ⅱ)原式.由条件知，平方得，从而.【思路点拨】（1）函数f（x）=sin（ωx+?）（ω＞0，0≤?≤π）为偶函数，其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离，确定函数的周期，求出ω，确定?的值，求出f（x）的解析式；（2）把上一问求出的结果代入函数的解析式，得到角的正弦与余弦的和，用诱导公式和二倍角公式把所给的式子进行整理，根据同角的三角函数之间的关系得到结果．

略19.已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx，（a∈R）（1）当a=1时，求函数y=在点（1，0）处的切线方程；（2）若在[1，+∞）上不等式xf（x﹣1）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）当a=1时，求导数，求出切线的斜率，即可求函数y=在点（1，0）处的切线方程；（2）设函数G（x）=a（x2﹣x）﹣lnx，且G（1）=0，分类讨论，即可，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，函数y==，∴y′=，∴x=1时，y′=1，∴函数y=在点（1，0）处的切线方程为y=x﹣1；（2）设函数G（x）=a（x2﹣x）﹣lnx，且G（1）=0．G′（x）=①当a≤0时，有G（2）=2a﹣ln2＜0，不成立，②当a＜0时，（i）a≥1时，G′（x）=，当x≥1时，G′（x）≥0所以G（x）在（0，+∞）上是单调增函数，所以G（x）≥G（1）=0（ii）0＜a＜1时，设h（x）=2ax2﹣ax﹣1，h（1）=a﹣1＜0，所以存在x0，使得x∈（1，0）时，h（x）＜0，∴G′（x）＜0，G（x）＜G（1）=0不成立综上所述a≥1．20.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S6=S3+14，a6=10﹣a4，a4＞a3．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）数列{bn}中，bn=log2an，求数列{an?bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）根据递推公式，即可求数列{an}的通项公式；（II）求得数列{bn}的通项，再利用错位相减法，即可求得数列{bn}的前n项的和Tn【解答】解：（Ⅰ）由已知a4+a5+a6=14，∴a5=4，又数列{an}成等比，设公比q，则+4q=10，∴q=2或（与a4＞a3矛盾，舍弃），∴q=2，an=4×2n﹣5=2n﹣3；（Ⅱ）bn=n﹣3，∴an?bn=（n﹣3）×2n﹣3，Tn=﹣2×2﹣2﹣1×2﹣1+0+…+（n﹣3）×2n﹣3，2Tn=﹣2×2﹣1﹣1×20+0+…+（n﹣3）×2n﹣2，相减得Tn=2×2﹣2﹣（2﹣1+20+…+2n﹣3）+（n﹣3）×2n﹣2=﹣（2n﹣2﹣）+（n﹣3）×2n﹣2=（n﹣4）×2n﹣2+1，21.已知向量．(1)求向量长度的最大值；(2)设，求cos的值．参考答案：(1)解法一：b＋c＝(cosβ－1，sinβ)，则|b＋c|2＝(cosβ－1)2＋sin2β＝2(1－cosβ)，∵－1≤cosβ≤1，∴0≤|b＋c|2≤4，即0≤|b＋c|≤2.当cosβ＝－1时，有|b＋c|＝2，所以向量b＋c的长度的最大值为2.解法二：∵|b|＝1，|c|＝1，|b＋c|≤|b|＋|c|＝2.当cosβ＝－1时，有b＋c＝(－2，0)，即|b＋c|＝2，所以向量b＋c的长度的最大值为2.(2)解法一：由已知可得b＋c＝(cosβ－1，sinβ)a·(b＋c)＝cosαcosβ＋sinαsinβ－cosα＝cos(α－β)－cosα.∵a⊥(b＋c)，∴a·(b＋c)＝0，即cos(α－β)＝cosα.由α＝，得cos＝cos，即β－＝2kπ±(k∈Z)，∴β＝2kπ＋或β＝2kπ，k∈Z，于是cosβ＝0或cosβ＝1.解法二：若α＝，则a＝.又由b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1，0)得a·(b＋c)＝·(cosβ－1，sinβ)＝cosβ＋sinβ－.∵a⊥(b＋c)，∴a·(b＋c)＝0，即cosβ＋sinβ＝1.∴sinβ＝1－cosβ，平方后化简得cosβ(cosβ－1)＝0，解得cosβ＝0或cosβ＝1.经检验，cosβ＝0或cosβ＝1即为所求22.已知椭圆C：的离心率为，直线交椭圆C于A、B两点，椭圆C的右顶点为P，且满足.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线与