湖南省株洲市平水中学高三数学理期末试题含解析

湖南省株洲市平水中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量的最小值是A. B. C. D.参考答案：B2.已知集合M={x|0＜x＜1}，N={x|x=t2+2t+3}，则（?NM）∩N=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|x＞1} C．{x|x≥2} D．{x|1＜x＜2}参考答案：C【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】求出N中x的范围确定出N，找出M补集与N的交集即可．【解答】解：集合M={x|0＜x＜1}，∴?RM={x|x≤0或x≥1}，由N中x=t2+2t+3=（t+1）2+2≥2，得到N={x|x≥2}，则（?RM）∩N={x|x≥2}，故选：C．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3..已知函数（e为自然对数的底），若方程有且仅有四个不同的解，则实数的取值范围是（

）．A. B. C. D.参考答案：D【分析】首先需要根据方程特点构造函数,将方程根的问题转化为函数零点问题，并根据函数的奇偶性判断出函数在上的零点个数，再转化成方程解的问题，最后利用数形结合思想，构造两个函数，转化成求切线斜率问题，从而根据斜率的几何意义得到解.【详解】因为函数是偶函数，，所以零点成对出现，依题意，方程有两个不同的正根，又当时，，所以方程可以化为：，即，记，，设直线与图像相切时的切点为，则切线方程为，过点，所以或（舍弃），所以切线的斜率为，由图像可以得.选D.【点睛】本题考查函数的奇偶性、函数零点、导数的几何意义，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想，突显了直观想象、数学抽象、逻辑推理的考查.属中档题.4.已知则的取值范围是(A)

(B)

(C)

(D)

参考答案：【知识点】对数函数的性质.B7D

解析：由可转化为，当时，解不等式得；当时，解不等式得，综上所述：的取值范围是，故选D.【思路点拨】利用对数函数的性质，对a进行分类讨论即可。5.设，，若，，

，则

A．

B．

C．

D．参考答案：C略6.若，则A．

B．

C．

D．参考答案：B7.某棱锥的三视图如下图所示,则该棱锥的外接球的表面积为（

）A．11π

B．12π

C.13π

D．14π参考答案：A由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥，外接球球心在过中点且垂直于平面的直线上，又点到距离相等，∴点又在线段的垂直平分面上，故是直线与面的交点，可知是直线与直线的交点（分别是左侧正方体对棱的中点）∴，，

故三棱锥外接球的半径，表面积为

14.已知正方形ABCD的边长为1.记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、.若i,j,k,l∈且i≠j,k≠l，则·的最小值是

.参考答案：-59.执行如图的程序框图，如果输入的的值是6，那么输出的的值是

A．15

B．105

C．120

D．720参考答案：B10.若函数且时，，则方程在上的零点个数为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在等比数列{an}中，a1=8，a4=a3?a5，则a7=．参考答案：【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a1=8，a4=a3?a5，∴8q3=8q2?8q4，化为（2q）3=1，解得q=．∴a7==．故答案为：．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．12.若，则的最小值为

．参考答案：1解析：本题主要考查复数的几何意义.表示以（1，0）为圆心，2为半径的圆,表示到点（1，3）的距离.结合图象解决.13.已知定义在区间上的函数的图像如图所示，对于满足的任意、，给出下列结论：①

；②

；③

．其中正确结论的序号是．（把所有正确结论的序号都填上）参考答案：答案：②③14.已知三棱锥，底面是边长为2的正三角形，底面，＝2，是中点，则异面直线所成角的大小为（用反三角函数表示）．参考答案：答案:（等）15.一空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 .参考答案：16.中，，，于，设圆是以为直径的圆，且此圆交分别于两点，则

．参考答案：17.如图P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P2，

然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P3，P4，…，Pn，…，

记纸板Pn的面积为Sn，则Sn＝_____参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=（x+a）ln（x+a），g（x）=﹣+ax．（1）函数h（x）=f（ex﹣a）+g'（ex），x∈，求函数h（x）的最小值；（2）对任意x∈[2，+∞）上h'（x）≥0，h（x）递增，h（x）的最小值为．参考答案：②当﹣1＜a﹣1＜1即0＜a＜2时，在x∈上h'（x）≤0，h（x）为减函数，在在x∈上h'（x）≥0，h（x）为增函数．∴h（x）的最小值为h（a﹣1）=﹣ea﹣1+a．③当a﹣1≥1即a≥2时，在上h'（x）≤0，h（x）递减，h（x）的最小值为h（1）=（1﹣a）e+a．综上所述，当a≤0时h（x）的最小值为，当0＜a＜2时h（x）的最小值为﹣ea﹣1+a，当a≥2时，h（x）最小值为（1﹣a）e+a．（II）设，F'（x）=ln（x﹣1）+1+a（x﹣1）（x≥2）．①当a≥0时，在x∈[2，+∞）上F'（x）＞0，F（x）在x∈[2，+∞）递增，F（x）的最小值为F（2）=0，不可能有f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0．②当a≤﹣1时，令，解得：，此时∴．∴F'（x）在[2，+∞）上递减．∵F'（x）的最大值为F'（2）=a+1≤0，∴F（x）递减．∴F（x）的最大值为F（2）=0，即f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0成立．③当﹣1＜a＜0时，此时，当时，F''（x）＞0，F'（x）递增，当时，F''（x）＜0，F'（x）递减．∴=﹣ln（﹣a）＞0，又由于F'（2）=a+1＞0，∴在上F'（x）＞0，F（x）递增，又∵F（2）=0，所以在上F（x）＞0，显然不合题意．综上所述：a≤﹣1．19.在△ABC中，，点D在AC边上，且.（1）若，求；（2）若，求△ABC的周长.参考答案：解法一：如图，已知，，所以，则.在△中，根据余弦定理，，所以.（1）在△中，，，，由余弦定理，所以，解得，所以，在△中，由正弦定理，所以，，由，，，在△中，由，得

，故，所以，所以（2）设，则，从而，故．在△中，由余弦定理得，因为，所以，解得．所以．故△周长为．解法二：如图，已知，，所以，则.……1分在△中，根据余弦定理，，所以.（1）在△中，，，，由余弦定理，所以，解得，由余弦定理，又因为，所以．所以，所以．（2）同解法一．

20.如图，直四棱柱，底面为平行四边形，且，,.（1）求证：.（2）求四面体的体积.参考答案：(1)连结BD、AC相交于O.因为四边形ABCD为平行四边形,且AB=AD,所以四边形ABCD为菱形,则AC⊥BD……………….2分由直四棱柱ABCD－A1B1C1D1,所以BB1⊥平面ABCD,可知BB1⊥AC,…………….4分则AC⊥平面BB1D1D，又BD1平面BB1D1D，则AC⊥BD1…………………6分(2)=21.已知函数，（1）求证：；（2）若在上恒成立，求的最大值与的最小值.

参考答案：22.（本小题满分12分）已知函数的最小正周期为，且．（1）求的表达式；（2）设，，，求的值．参考答案：（1）（2）

【知识点】三角函数的图像与性质;三角恒等变形C3C7解析：(1)依题意得，∴，

……2分由f(2π)=2，得，即，∴A=4，……4分∴.

……5分(2)由，得，即，∴，

……6分又∵，