湖北省荆州市石首博雅高级中学高三数学理模拟试卷含解析

湖北省荆州市石首博雅高级中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，，则复数的模是(

)A．2

B．3

C．4

D．5参考答案：D2.已知α、β是三次函数f(x)＝x3＋ax2＋2bx的两个极值点，且α∈(0,1)，β∈(1,2)，则的取值范围是()A．

B．

C．

D．参考答案：A3.为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是A.药物A、B对该疾病均没有预防效果B.药物A、B对该疾病均有显著的预防效果C.药物A的预防效果优于药物B的预防效果D.药物B的预防效果优于药物A的预防效果参考答案：C4.函数的最小正周期为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C5.已知函数的部分图象如图所示，则下面结论错误的是(

)A.函数的最小正周期为B.函数的图象可由的图象向左平移个单位得到C.函数的图象关于直线对称D.函数在区间上单调递增参考答案：C6.i是虚数单位，若复数z满足zi=﹣1+i，则复数z的实部与虚部的和是（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的乘法求出复数z，然后求解结果即可．【解答】解：复数z满足zi=﹣1+i，可得z===1+i．复数z的实部与虚部的和是：1+1=2．故选：C．【点评】本题考查复数的基本运算以及基本概念，考查计算能力．7.设向量和的长度分别为4和3，夹角为60°，则|+|的值为（

）

A.37

B.

C.13

D.参考答案：B略8.顶点在同一球面上的正四棱柱中，，面距离为(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：B9.函数图象的对称轴方程可能是（

）A． B．

C．

D．参考答案：D略10.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度（的单位：，的单位：）行驶至停止。在此期间汽车继续行驶的距离（单位;）是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C令，则。汽车刹车的距离是，故选C。【相关知识点】定积分在实际问题中的应用二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.汽车的最佳使用年限是使年均消耗费用最低的年限（年均消耗费用＝年均成本费用＋年均维修费），设某种汽车的购车的总费用为50000元;使用中每年的保险费、养路费及汽油费合计为6000元；前年的总维修费满足,已知第一年的总维修费为1000元,前两年的总维修费为3000元,则这种汽车的最佳使用年限为

年.参考答案：10略12.若从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K的概率为（结果用最简分数表示）．参考答案：【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n=52×52，再求出两张牌都是K包含的基本事件个数m=13×13，由此能求出两张牌都是K的概率．【解答】解：从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，在放回抽取的情形下，基本事件总数n=52×52，两张牌都是K包含的基本事件个数m=13×13，∴两张牌都是K的概率为p===．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归转化思想，是基础题．13.一副扑克牌(有四色，同一色有13张不同牌)共52张．现随机抽取3张牌，则抽出的3张牌有且仅有2张花色相同的概率为(用数值作答)．参考答案：14.设集合，则=_________.参考答案：15.圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，为底面中心，为的中点，动点在圆锥底面内（包括圆周），若，则点形成的轨迹的长度为

．参考答案：以所在直线为轴，以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，设，于是有，，因为，所以，即，此为点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为．16.在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角的大小为

．参考答案：45°【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】连接AC，BD交于点O，连接OE，OP，先证明∠PAO即为PA与面ABCD所成的角，即可得出结论．【解答】解：连接AC，BD交于点O，连接OE，OP因为E为PC中点，所以OE∥PA，所以∠OEB即为异面直线PA与BE所成的角．因为四棱锥P﹣ABCD为正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，所以AO为PA在面ABCD内的射影，所以∠PAO即为PA与面ABCD所成的角，即∠PAO=60°，因为PA=2，所以OA=OB=1，OE=1．△PBC中，PB=PC=2，BC=，∴2（4+2）=4+4BE2，∴BE=，∴OE2+OB2=BE2，所以在直角三角形EOB中∠OEB=45°，即面直线PA与BE所成的角为45°．故答案为为45°．17.在平面直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为是参数，）和是参数），它们的交点坐标为_______.参考答案：它们的交点坐标为_______

解得：交点坐标为三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=lnx﹣ax2，且函数f（x）在点（2，f（2））处的切线的一个方向向量是（2，﹣3）．（1）若关于x的方程f（x）+x2=3x﹣b在区间[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（2）证明：（）2＞（n∈N*，且n≥2）参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．【专题】转化思想；分析法；导数的概念及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）求出函数的导数，求得切线的斜率，解方程可得a的值，由题意可得lnx+x2﹣3x=﹣b在[，2]上恰有两个不相等的实数根，即为g（x）=lnx+x2﹣3x和直线y=﹣b在[，2]上有两个交点，求得g（x）的导数，可得单调区间，即可得到所求b的范围；（2）可得当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有lnx﹣x2＜﹣，即为lnx＜（x2﹣1），即有＞=﹣，可令x=2，3，…，n，累加即可得证．【解答】解：（1）函数f（x）=lnx﹣ax2的导数为f′（x）=﹣2ax，由题意可得在点（2，f（2））处的切线斜率为﹣4a=﹣，解得a=，即有f（x）=lnx﹣x2，由题意可得lnx+x2﹣3x=﹣b在[，2]上恰有两个不相等的实数根，即为g（x）=lnx+x2﹣3x和直线y=﹣b在[，2]上有两个交点，由g（x）的导数为g′（x）=+2x﹣3=，当＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递减；当1＜x＜2时，g′（x）＞0，g（x）递增．则有g（1）＜﹣b≤g（），即为﹣2＜﹣b≤﹣ln2﹣，解得ln2+≤b＜2；（2）证明：由f（x）=lnx﹣x2的导数为f′（x）=﹣x=，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有lnx﹣x2＜﹣，即为lnx＜（x2﹣1），即有＞=﹣，则有++…+＞1﹣+﹣+…+﹣+﹣=1+﹣﹣===（3+）?＞．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查函数方程的转化思想和不等式的证明，注意运用函数的单调性和累加法，考查运算能力，属于中档题．19.已知函数f（x）=在点（e，f（e））处切线与直线e2x﹣y+e=0垂直．（注：e为自然对数的底数）（1）求a的值；（2）若函数f（x）在区间（m，m+1）上存在极值，求实数m的取值范围；（3）求证：当x＞1时，f（x）＞恒成立．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出，由题意得，由此得到a=1．（2）由，（x＞0），得到当x∈（0，1）时，f（x）为增函数，当x∈（1，+∞）时，f（x）为减函数，从而当x=1时，f（x）取得极大值f（1），再由函数f（x）在区间（m，m+1）上存在极值，能求出实数m的取值范围．（3）当x＞1时，，令g（x）=，则g′（x）=，再令φ（x）=x﹣lnx，则φ′（x）=1﹣，由导数性质得g（x）在区间（1，+∞）上是增函数，由此能证明当x＞1时，f（x）＞恒成立．【解答】解：（1）∵f（x）=，∴，由题意得，∴﹣=﹣，解得a=1．（2）由（1）得，（x＞0），当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，∴当x=1时，f（x）取得极大值f（1），∵函数f（x）在区间（m，m+1）上存在极值，∴m＜1＜m+1，解得0＜m＜1，∴实数m的取值范围是（0，1）．（3）当x＞1时，＞，∴，令g（x）=，则=，再令φ（x）=x﹣lnx，则φ′（x）=1﹣，∵x＞1，∴φ′（x）＞0，∴φ（x）在（1，+∞）上是增函数，∵φ（1）=1，∴当x＞1时，g′（x）＞0，∴g（x）在区间（1，+∞）上是增函数，∴当x＞1时，g（x）＞g（1），又g（1）=2，∴g（x）＞2恒成立，∴当x＞1时，f（x）＞恒成立．【点评】本题考查导数的性质及应用、考查不等式性质及证明等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．20.（本小题满分12分）已知p：x∈R,2x＞m(x2＋1)，q：x0∈R，x＋2x0－m－1＝0，且p∧q为真，求实数m的取值范围．参考答案：21.（本小题满分14分）已知椭圆()的短轴长为2，离心率为．过点M（2,0）的直线与椭圆相交于、两点,为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求的取值范围；（Ⅲ）若点关于轴的对称点是，证明：直线恒过一定点.参考答案：（Ⅰ）易知，得,故.故方程为. （3分）（Ⅱ）证明：设：，与椭圆的方程联立,消去得.由△＞0得.设,则.∴=，∴，故所求范围是. （8分）（Ⅲ）由对称性可知N，定点在轴上.直线AN：，令得:,∴直线过定点. （13分）22.（本题共14分）如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2，，°,平面PAB平面ABC，D、E分别为AB、AC中点.（Ⅰ）求证：DE‖平面PBC;（Ⅱ）求证：ABPE；（Ⅲ）求二面角A-PB-E的大小.参考答案：解：（Ⅰ）

D、E分别为AB、AC中点，

\DE//BC．

DE?平面PBC，BCì平面PBC，

\DE//平面PBC．…………4分（Ⅱ）连结PD，

PA=PB，

PD

AB．

…………….5分

，BC

AB，

DE

AB．...........................................................................................................6分

又

，

AB平面PDE．......................................................................................................8分

PEì平面PDE，

ABPE．

..........................................................................................................9分（Ⅲ）平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PD

AB，

PD平面ABC．................................................................................................10分

如图,以D为原点建立空间直角坐标系

B(1,