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文档简介
概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
基本概念、公式及方法是数学解题的基础工具和基本技能,为此作为临考前的高三学生,务必首先要
掌握高中数学中的概念、公式及基本解题方法,其次要熟悉一些基本题型,明确解题中的易误点,还应了
解一些常用结论,最后还要掌握一些的应试技巧。本资料对高中数学所涉及到的概念、公式、常见题型、
常用方法和结论及解题中的易误点,按章节进行了系统的整理,最后阐述了考试中的一些常用技巧,相信
通过对本资料的认真研读,•定能大幅度地提升高考数学成绩。
集合与简易逻辑
集合元素具有确定性、无序性和互异性.在求有关集合问题时,尤其要注意元素的互异
性,如
(1)设P、Q为两个非空实数集合,定义集合P+Q={a+blaeP力eQ},若尸={0,2,5},
Q={1,2,6},则P+Q中元素的有个。
(答:8)
(2)设U={(x,y)IxeeA},A={(x,y)12x—y+机>0},B={(x,y)Ix+y-n<0},
那么点P(2,3)eAn(C,8)的充要条件是
(答:m>-l,n<5);
⑶非空集合S三{l,2,3,4,5},且满足“若aeS,则6-aeS",这样的S共有个
(答:7)
遇到AnB=0时,你是否注意到“极端”情况:4=0或5=0;同样当AqB时,你
是否忘记A=0的情形?要注意到0是任何集合的子集,是任何非空集合的董子集。如
集合A={xlax-l=0},B={xlx2-3x+2=0},且AUB=B,则实数a=—.
(答:a=0,l,-)
2
三.对于含有“个元素的有限集合“,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次
为2",2"-1,2"-1,2"-2.如
满足{1,2}括Mq{1,2,3,4,5}集合M有个。
(答:7)
四.集合的运算性质:
(DAUB=A0B±A;
(2)AnB=BoB=A;
⑶A=8=廨江“B;
(4)API“8=00
(5)QAU8=U=A=B;
(6)Cv(AnB)=CvAUClJB;
(7)CU(A(JB)^CUAQCL,B.
如:设全集U={123,4,5},若AH8={2},(C")n8={4},(C;A)n(G*)={l,5},则
A=,B=—.
(答:A={2,3},B={2,4})
五.研究集合问题,一定要理解集合的意义一一抓住集合的代表元素。如:{xly=lgx}—函
数的定义域;{yly=lgx}—函数的值域;{(x,y)Iy=Igx}—函数图象上的点集,如
(1)设集合M={xly=Jx—2},集合N={yly=x2,xeA/},则MP)N=___
(答:[4,+oo));
(2)设集合M={ZlZ=(l,2)+〃3,4),/leR},N={£I£=(2,3)+4(4,5),ZeR},则
MnN=
(^:{(-2,-2)))
六.数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具,在具体计算时不要忘了集合本身和空
集这两种特殊情况,补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如:
已知函数/(x)=4x2—2(p-2)x-2p2-p+l在区间[—1」上至少存在一个实数c,使
/(c)〉0,求实数p的取值范围。
(答:(-3,))
2
七.复合命题真假的判断。“或命题”的真假特点是“一真即真,要假全假”;“且命题”的真
假特点是“一假即假,要真全真”;“非命题”的真假特点是“真假相反二如:
在下列说法中:⑴“p且q”为真是“p或4”为真的充分不必要条件;
⑵“p月为假是“p或q”为真的充分不必要条件;
⑶“p或q”为真是“非p”为假的必要不充分条件;
(4)“非p”为真是“p月为假的必要不充分条件。
其中正确的是
(答:(1)(3))
八.四种命题及其相互关系。若原命题是“若p则q”,则逆命题为“若q则p";否命题为“若
-p则「q”;逆否命题为“若「q则「p”。
提醒:
(1)互为逆否关系的命题是等价命题,即原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同
真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价;
(2)在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时,要注意“非或即且,非且即或”;
(3)要注意区别“否命题”与“命题的否定”:否命题要对命题的条件和结论都否定,而命
题的否定仅对命题的结论否定;
(4)对于条件或结论是不等关系或否定式的命题,一般利用等价关系“AnBoRnN”判断
其真假,这也是反证法的理论依据。
(5)哪些命题宜用反证法?
如:
(1)”在aABC中,若NC=90°,则NA、NB都是锐角”的否命题为
(答:在A48C中,若NCH90°,则NA,不都是锐角);
(2)已知函数/@)=/+匕,。>1,证明方程〃x)=o没有负数根。
X+1
九.充要条件。关键是分清条件和结论(划主谓宾),由条件可推出结论,条件是结论成立的
充分条件;由结论可推出条件,则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释,若A=
则A是B的充分条件;若BqA,则A是B的必要条件;若人=8,则A是B的充要条
件。如:
(1)给出下列命题:
①实数”0是直线ax-2y=1与22y=3平行的充要条件;
②若a,bGR,ab=0是同+网=1成立的充要条件;
(3)已知若xy=0,则x=0或y=0”的逆否命题是“若x。0或y/0则
孙。0”;
④“若。和b都是偶数,贝Ua+b是偶数”的否命题是假命题。
其中正确命题的序号是
(答:①④);
(2)设命题p:14x-3K1;命题q:厂-(2。+l)x+若np是~iq的必要而不
充分的条件,则实数。的取值范围是___________
(答:[0,J)
十.一元一次不等式的解法:通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为公>8的
Ah
形式,若。>0,贝ijx〉一;若。<0,则xv—;若a=0,贝U当<0时,x£R;当。20时,xe0o
aa
如
已知关于x的不等式(a+/0x+(2a-3b)<0的解集为(-oo,-l),则关于x的不等式
(a-3b)x+(。-2a)>0的解集为
(答:{xlx<-3})
十一.一元二次不等式的解集(联系图象)。尤其当△=()和△<()时的解集你会正确表示吗?
设〃>0,玉,工2是方程尔+以+。=0的两实根,且玉<々,则其解集如下表:
ax2+bx+c<0
ax1+bx+c>0ax2+Z?x+c>0ax2+hx+c<0
A>0{x\x<x或{x\x<x或{xlXj<x<x]
{x[x\x]<x<x2}2
x>x2}x>x2}
A=0,b、{xlx=—勺
{tx1Xw---}R。
2a
A<()R
R。。
2
如解关于x的不等式:ax-(a+l)x+1<0o
(答:当a=0时,x>1;当。<0时,x>]j^x<—;当0<a<l时,l<x<,;当a=l时,xe0;
aa
当a>l时,—<x<l)
a
十二.对于方程。/+以+。=0有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数a是否为0,其次
若则一定有△=从-4四20。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含
有参数时,你是否注意到同样的情形?
如:(1)(a-2)x2+2(a-2)x-1<0对一切xeR恒成立,贝〜的取值范围是一
(答:(1,2]);
(2)关于x的方程/(x)=k有解的条件是什么?(答:keD,其中。为/(x)的值域),特别
地,若在。刍内有两个不等的实根满足等式cos2x+6sin2x=A+l,则实数女的范围是
2
(答:。1))
十三.一元二次方程根的分布理论。方程/(x)=ax2+6x+c=0(a>0)在化+oo)上有两根、在
(孙〃)上有两根、在(-8,左)和(女,+8)上各有一根的充要条件分别是什么?
A>0
A>0/(m)>0
(<f(k)>0、f(n)>0/伏)<0)。根的分布理论成立的前提是开
hh
—->ktn<-—<n
.2a、2a
区间,若在闭区间[见〃]讨论方程/(x)=0有实数解的情况,可先利用在开区间(孙〃)上实根
分布的情况,得出结果,再令x=〃和》=加检查端点的情况.
如实系数方程/+仪+2。=0的一根大于0且小于1,另一根大于1且小于2,则B的取值
a-\
范围是________
(答:(L1))
4
十四.二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗?二次方程如2+以+。=0的两
个根即为二次不等式分2+8x+c>0(<0)的解集的端点值,也是二次函数y="2+bx+c
的图象与x轴的交点的横坐标。
如(1)不等式«>ax+g的解集是(4)),则。=__________
(答:」);
8
(2)若关于X的不等式a/+Z?x+cV0的解集为(-8,〃2)U(〃,+00),其中机<〃<0,则关于X
的不等式C—一匕X+Q<0的解集为
(答:(-00,---)U(--,4-oo));
mn
(3)不等式3/一2加:+1<0对尤1,2]恒成立,则实数b的取值范围是
(答:0)。
概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
函数
映射了:ArB的概念。在理解映射概念时要注意:㈠中元素必须都有象且唯一;㈡B中
元素不一定都有原象,但原象不一定唯一。如:
(1)设fN是集合M到N的映射,下列说法正确的是A、M中每一个元素在N
中必有象B、N中每一个元素在M中必有原象C、N中每一个元素在M中的原象是
唯一的D、N是M中所在元素的象的集合
(答:A);
(2)点(凡加在映射了的作用下的象是。+6),则在/作用下点(3,1)的原象为点
(答(2,-1));
(3)若4={1,2,3,4},B={a,b,c},a,b,cGR,则A到8的映射有个,5到A的映
射有一个,A到8的函数有个
(答:81,64,81);
(4)设集合M={-l,0,l},N={l,2,3,4,5},映射fN满足条件“对任意的xeM,
x+f(x)是奇数”,这样的映射f有一个
(答:⑵;
(5)设是集合A到集合B的映射,若8={1,2},则AC5一定是
(答:0或{1}).
二.函数/:A-B是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集!据此可知函数图
像与x轴的垂线至多有一个公共点,但与y轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个。
如:
(1)已知函数/(x),xeF,那么集合{(x,y)及=f(x),xwF}n{(x,y)lx=l}中所含元素
的个数有个
(答:0或1);
(2)若函数y=gx2-2x+4的定义域、值域都是闭区间[2,2切,则匕=
(答:2)
三.同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域,值域和对应法则。而值域可由定义域和
对应法则唯确定,因此当两个函数的定义域和对应法则相同时,它们一定为同一函数。
如
若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“天一函数”,
那么解析式为y=/,值域为{4,1}的''天一函数"共有个
(答:9)
四.求函数定义域的常用方法(在研究函数问题时要树立定义域优先的原则):
1.根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零,分母不能为零,对数log“x中x>0,a>0
且三角形中0<A(",最大角N三,最小角《乙等。如
33
(1)函数y=屈三2的定义域是一
lg(x-3)-
(答:(0,2)U(2,3)U(3,4));
(2)若函数y=—,—的定义域为R,则ke________
h2+4丘+3
(答:0,£|);
(3)函数/(x)的定义域是国,句,b>-a>Q,则函数F(x)=/(x)+/(-x)的定义域是
(答:
(4)设函数/(x)=lg(Qx2+2x+D,①若f(x)的定义域是R,求实数。的取值范围;②
若/(X)的值域是R,求实数。的取值范围
(答:①。>1;®0<«<l)
2.根据实际问题的要求确定自变量的范围。
3.复合函数的定义域:若已知/")的定义域为[a,切,其复合函数〃g(x)]的定义域由不
等式a4g(x)4沙解出即可;若已知〃g(x)]的定义域为"勿,求/(x)的定义域,相当于当
时,求g(x)的值域(即/(x)的定义域)。如
(1)若函数y=/(x)的定义域为,则/(10g2X)的定义域为
(答:IV2<x<41);
(2)若函数/(f+l)的定义域为[—2,1),则函数/(x)的定义域为
(答:口,5]).
五.求函数值域(最值)的方法:
1.配方法一一二次函数(二次函数在给出区间上的最值有两类:一是求闭区间[孙〃]上的最
值;二是求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。求二次函数的最值问题,勿忘数
形结合,注意“两看”:一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系),如
(1)求函数y=求-2x+5,无G[T,2]的值域
(答:[4,8]);
(2)当XG(0,2]时,函数/(外=。/+45+1)X一3在兀=2时取得最大值,则a的取值范
围是一
(答:a>-■-);
2
(3)已知f(x)=3""(24x44)的图象过点(2,1),则歹(x)="T(x)F-f3/)的值域为
(答:[2,5])
2.换元法一一通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数,其函数特征是函数解
析式含有根式或三角函数公式模型,如
(1)y=2sii?x-3cosx-l的值域为____
(答:[-4,?);
(2)y=2x+l+VT1的值域为
(答:(3,+oo))
(3)y=sinx+cosx+sinxcosx的值域为
(答:[―1,—+"^2]);
2
(4)y=x+4+,9-x2的值域为
(答:[1,372+4]);
3.函数有界性法一一直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定所求
函数的值域,最常用的就是三角函数的有界性,如
2sin8-l3,2sin8-lA4/七上p
求函数y-------,y—-----,y-------的值域
1+sinB------1+3V1+cos6
iQ
(答:(-0,1].(0,1)、(-oo,-]);
22
4.单调性法一一利用一次函数,反比例函数,指数函数,对数函数等函数的单调性,如
求y=x-,(l<x<9),y=sii?x+—y=2*-5+log377^1的值域
x1+sinx
(答:(0,苧、[y,9]>[2,10]);
5.数形结合法一一函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离、直线斜率、等等,
如
(1)已知点P(x,y)在圆f+y2=1上,求上及y-2x的取值范围
x+2
(答:[一理]、[一石,向);
(2)求函数的值域
(答:[10,+00));
(3)求函数y=7x2-6x+13+y/x2+4x+5及y=Vx2-6x+13-G+4x+5的值域
(答:[匹,+oo)、(-726,726))
注意:求两点距离之和时,要将函数式变形,使两定点在x轴的两侧,而求两点距离之
差时,则要使两定点在x轴的同侧。
6.判别式法一一对分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可
以用其它方法进行求解,不必拘泥在判别式法上,也可先通过部分分式后,再利用均值不
等式:
①y=一:型,可直接用不等式性质,如
求y=_:的值域
2+x
(答:(0,])
2
②y一型,先化简,再用均值不等式,如
x4-mx+n
(1)求y的值域
-1+x2
(答:(-00,-1]);
2
(2)求函数>=叵1的值域
%+3
(答:呜])
③yJ""""'型,通常用判别式法;如
x+mx+n
已知函数y=log3如丁"+"的定义域为域值域为[0,2],求常数叽〃的值
X+1
(答:加=〃=5)
④y=)+〃'"〃’型,可用判别式法或均值不等式法,如
mx+n
求的值域
X+1
(答:(-co,-3]Ufl,+℃))
7.不等式法一一利用基本不等式疝(“1eR+)求函数的最值,其题型特征解析式是
和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边
平方等技巧。如
设x,q,a,,y成等差数列,匕4,区,p成等比数列,则回士"的取值范围是
姑2
(答:(fo,0]U[4,+oo)
8.导数法---般适用于高次多项式函数,如
求函数/(x)=2X3+4X2-40x,xe[-3,3]的最小值。
(答:-48)
提醒:(1)求函数的定义域、值域时,你按要求写成集合形式了吗?
(2)函数的最值与值域之间有何关系?
六.分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上,分别用几个不同的式子来表示
对应关系的函数,它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值/(%)时,一定首先要判断
即属于定义域的哪个子集,然后再代相应的关系式;分段函数的值域应是其定义域内不
同子集上各关系式的取值范围的并集.如
(1)设函数〃x)=,则使得/(x)21的自变量x的取值范围是—
4-Vx^l.(x>l)
(答:(-co,-2]U[0,10]);
(2)已知/(x)=F(A-0),则不等式x+(x+2)/(x+2)45的解集_____
-1(x<0)
3
(答:(-00,-])
2
七.求函数解析式的常用方法:
1.待定系数法一一已知所求函数的类型(二次函数的表达形式有三种:一般式:
22
/(x)=ax+bx+c;顶点式:/(x)=a(x-m)+n;零点式:f(x)=a(x-xj(x-x2),要会
根据已知条件的特点,灵活地选用二次函数的表达形式)。如
已知/(x)为二次函数,且/(%-2)=/(-%-2),且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长
为2VL求/(幻的解析式。
(答:/(x)--^x2+2.X+1)
2.代换(配凑)法——已知形如/(g(x))的表达式,求/(x)的表达式。如
(1)已知/(1-cosx)=sin?x,求一位)的解析式
(答:/(x2)=-x4+2x2,xe[-V2,V2J);
(2)若/(x—工)=/+3,则函数/。一1)=_____
XX
(答:X?-2x+3);
(3)若函数/(x)是定义在R上的奇函数,且当xe(0,+oo)H寸,/(x)=x(l+V%)»那么当
xe(-oo,0)时,f(x)=
(答:X(l—yfx)).
这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性,即/(X)的定义域应是g(x)的值域。
3.方程的思想一一已知条件是含有/(x)及另外一个函数的等式,可抓住等式的特征对等式
的进行赋值,从而得到关于/(x)及另外一个函数的方程组。如
(1)已知/(x)+2/(—x)=3x—2,求/(x)的解析式
(答:f(x)=-3x--);
(2)已知/(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且/(x)+gO)=—,则/(x)=
A.反函数:
1.存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个y值,都有唯一的x值与之对应,故单
调函数一定存在反函数,但反之不成立;偶函数只有/(X)=0(XG{0})有反函数;周期函
数一定不存在反函数。如
函数y=》2—2ax-3在区间[1,2]上存在反函数的充要条件是
A、a6B、ae[2,+oo)C>ae[1,2JD、aeU[2,+oo)
(答:D)
2.求反函数的步骤:①反求x;②互换X、y;③注明反函数的定义域(原来函数的值域)。
注意函数y=f(x+l)的反函数不是y=_T'(x+l),而是y=/T(x)-l。如
设/*)=(匕1)2(x>0).求/(X)的反函数尸(X)
X
3.反函数的性质:
①反函数的定义域是原来函数的值域,反函数的值域是原来函数的定义域。如
单调递增函数/(x)满足条件/(办+3)=x,其中0,若/(x)的反函数/T(X)的定
义域为『,2],则“X)的定义域是
aa
(答:[4,7]).
②函数y=/(x)的图象与其反函数y=/T(x)的图象关于直线y=X对称,注意函数
y=/(x)的图象与x=/T(y)的图象相同。如
(1)已知函数y=/(x)的图象过点(1,1),那么“4-X)的反函数的图象一定经过点_
(答:(1,3));
(2)已知函数/(幻=生艺,若函数卜=8(幻与),=广1(》+1)的图象关于直线y=x对称,
x-1
求g(3)的值
(答:工);
2
@f(a)=b^f-'(b)=a0如
(1)已知函数/(x)=log3(3+2),则方程广1*)=4的解x=___
X
(答:1);
(2)设函数段)的图象关于点(1,2)对称,且存在反函数尸(x),/(4)=0,则尸(4)=
(答:一2)
④互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。如
已知/,(X)是R上的增函数,点8(1,3)在它的图象上,.尸(x)是它的反函数,那么
不等式|/-(log2x)|<1的解集为
(答:(2,8));
⑤设/(x)的定义域为A,值域为B,则有了"T(x)]=x(xe8),=x
(xeA),但/"T(x)]w/T"(x)]。
九.函数的奇偶性。
1.具有奇偶性的函数的定义域的特征:定义域必须关于原点对称!为此确定函数的奇偶性时,
务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如
若函数/(x)=2sin(3x+6),xw[2a-5肛3a]为奇函数,其中(0,2万),则a的值是
(答:0);
2.确定函数奇偶性的常用方法(若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性):
①定义法:如判断函数y=/的奇偶性—(答:奇函数)。
A/9-X2
②利用函数奇偶性定义的等价形式:y(x)±/(-x)=o或**=±I(/(xWO)。如
期
判断/3=彳(5匕+;)的奇偶性_.(答:偶函数)
③图像法:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于〉轴对称。
3.函数奇偶性的性质:
①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于原
点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反.
②如果奇函数有反函数,那么其反函数一定还是奇函数.
③若/(x)为偶函数,则/(r)=/(x)=/(lxl).如
若定义在R上的偶函数在(-8,0)上是减函数,且/(;)=2,则不等式/(log|x)>2的
解集为.
(答:(0,0.5)U(2,+00))
④若奇函数/(久)定义域中含有0,则必有/(0)=0.故/(0)=0是/(X)为奇函数的既不充
分也不必要条件。如
若〃x)="2+"-2为奇函数,则实数。=(答:1).
2+1
⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成''一个奇函数与一个偶函数
的和(或差”'。如
设/(%)是定义域为R的任一函数,/G(X)="X)7J。。①判断F(x)
与G(x)的奇偶性;②若将函数/(x)=lg(10'+l),表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数力(x)
之和,则g(x)=____
(答:①F(x)为偶函数,G(x)为奇函数;②g(x)=gx)
⑥复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”.
⑦既奇又偶函数有无穷多个(/(0=0,定义域是关于原点对称的任意一个数集).
十.函数的单调性。
1.确定函数的单调性或单调区间的常用方法:
①在解答题中常用:定义法(取值一一作差一一变形一一定号)、导数法(在区间(出。)
内,若总有f'(x)>0,则/(x)为增函数;反之,若/(尤)在区间①力)内为增函数,则/(x)N0,
请注意两者的区别所在。如
已知函数/(x)=x3—ax在区间口,+8)上是增函数,则。的取值范围是一
(答:(0,3]));
②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等,特别要注意y=ax+2(a>0
X
匕〉0)型函数的图象和单调性在解题中的运用:增区间为(-00,书,店,+00),减区间为
[-*,0](0勺.如
VaVa
(1)若函数/(x)=/+2(a-l)x+2在区间(一8,4]上是减函数,那么实数a的取值
范围是______
(答:a<-3));
(2)已知函数/*)=罢?在区间(一2,+00)上为增函数,则实数。的取值范围
(答:(g,+8));
(3)若函数〃x)=log“[x+£-4](a>0,且aAl)的值域为R,则实数a的取值范围是
(答:0<。《4且QH1));
③复合函数法:复合函数单调性的特点是同增异减,如
函数y=log,(-X2+2X)的单调递增区间是一
2
(答:(1,2))。
2.特别提醒:求单调区间时,一是勿忘定义域,如若函数〃x)=log“(x2-"+3)在区间(-8,5
上为减函数,求。的取值范围(答:(1,2月));二是在多个单调区间之间不一定能添加
符号“U”和“或”;三是单调区间应该用区间表示,不能用集合或不等式表示.
3.你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?(①比较大小;②解不等式;③求参数范围).
如已知奇函数/(x)是定义在(-2,2)上的减函数,若/(m-l)+/(2m-l)>0,求实数m的取
值范围。(答:
23
十一.常见的图象变换
1.函数y=〃x+a)(a>0)的图象是把函数y=/(x)的图象沿x轴向左平移。个单位得到
的。如
设/(x)=2:g(x)的图像与/(x)的图像关于直线y=x对称,力(外的图像由g(x)的图像
向右平移1个单位得到,则〃(x)为
(答:/z(x)=-log2(x-l))
2.函数y=/(x+a)((a<0)的图象是把函数y=/(x)的图象沿x轴向右平移时个单位得
到的。如
(1)若/(x+199)=4/+4x+3,则函数/(x)的最小值为
(答:2);
(2)要得到y=lg(3-幻的图像,只需作y=lgx关于轴对称的图像,再向一平移
3个单位而得到
(答:y;右);
(3)函数/(幻=》・电0+2)-1的图象与工轴的交点个数有个
(答:2)
3.函数y=/(x)+a(«>0)的图象是把函数y=/(x)助图象沿y轴向上平移a个单位得到
的;
4.函数y=f(x)+a(a<0)的图象是把函数y=/(x)助图象沿>轴向下平移同个单位得到
的;如
将函数y=—竺+a的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原
x+a
图象关于直线y=x对称,那么
(A)a=-l,"O(B)a=—l,beR
(C)a=l/wO(D)a=O,b€R
(答:C)
5.函数y=/(nx)(a>0)的图象是把函数y=/(x)的图象沿x轴伸缩为原来的,得到的。
a
如
(1)将函数y=/(x)的图像上所有点的横坐标变为原来的;(纵坐标不变),再将此图
像沿x轴方向向左平移2个单位,所得图像对应的函数为
(答:/(3x+6));
(2)如若函数y=/(2x-l)是偶函数,则函数y=/(2x)的对称轴方程是
(答:x=-g).
6.函数y=af(x)(a〉0)的图象是把函数y=/(x)的图象沿y轴伸缩为原来的。倍得到的.
十二.函数的对称性。
1.满足条件/(x-a)=/p-x)的函数的图象关于直线%=等对称。如
已知二次函数/(x)=ax2+bx(a丰0)满足条件/(5-x)=f(x-3)且方程f(x)=x有等根,
则/*)=
(答:-■-X2+x);
2
2.点(x,y)关于y轴的对称点为(-x,y);函数y=/(x)关于y轴的对称曲线方程为
y=/(-x);
3.点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y);函数y=/(x)关于x轴的对称曲线方程为
y=-/々);
4.点(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y);函数y=/(x)关于原点的对称曲线方程为
y=-x);
5.点(x,y)关于直线y=±x+a的对称点为(±(y-a),±x+a);曲线/(x,y)=0关于直线
y=±x+a的对称曲线的方程为/(土(y-a),±x+a)=0。特别地,点(x,y)关于直线y=x的对称
点为(y,x);曲线/(x,y)=0关于直线y=x的对称曲线的方程为/(y,x)
=0;点(元,丁)关于直线y=-x的对称点为(-y,-x);曲线=0关于直线y=-x的对称曲
线的方程为了(-乂-幻=0。如
r-3Q
己知函数/(X)="_,(XN士),若y=〃x+l)的图像是G,它关于直线y=x对称图像是
2x-32
a,关于原点对称的图像为。3,则。3对应的函数解析式是.
(答:y=_j£±£);
2x+l
6.曲线/(x,y)=0关于点(a/)的对称曲线的方程为/(2a-x,2b-y)=0。如
若函数y=x?+x与y=g(x)的图象关于点(-2,3)对称,则g(x)=_
(答:-X2-7X-6)
7.形如y=g4(cw0,adw儿)的图像是双曲线,其两渐近线分别直线x=-立(由分母
cx+dc
为零确定)和直线y=£(由分子、分母中x的系数确定),对称中心是点(-!()。如
已知函数图象C与C:y(x+a+l)=a在/+1关于直线>=兀对称,且图象C关于点(2,
-3)对称,则。的值为
(答:2)
8.|/(x)|的图象先保留/(x)原来在x轴上方的图象,作出x轴下方的图象关于x轴的对
称图形,然后擦去x轴下方的图象得到;/(Ixl)的图象先保留/(x)在丁轴右方的图象,擦去y
轴左方的图象,然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到。如
(1)作出函数y=llog2(x+l)l及y=log2lx+ll的图象;
(2)若函数/(x)是定义在R上的奇函数,则函数F(x)=|/(x)|+/(k|)的图象关于
对称
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