第一次月考-【单元测试】2022-2023学年八年级数学下册分层训练AB卷（湘教版）（解析版）

班级姓名学号分数第一次月考（时间：120分钟，满分：150分）一、单选题(共40分)1．(本题4分)垃圾分类一小步，低碳生活一大步，垃圾桶上常有以下四种垃圾分类标识的图案，下列图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念逐项判断即可解答．【详解】解：A．该图形是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项合题意；B．该图形不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．2．(本题4分)如图，等边的边长为，是的边上的高，过点作于点，则的长是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据等边三角形的性质以及含度角的直角三角形的性质得出，根据，即可求解．【详解】解：∵等边的边长为，是的边上的高，∴，∵，∴，∴∴，故选：C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，掌握含度角的直角三角形的性质是解题的关键．3．(本题4分)下列说法正确的个数有（

）①对角线互相垂直的四边形是菱形．②矩形的对角线互相垂直且互相平分．③顺次连接一四边形各边的中点所得到四边形是矩形，则这个四边形一定就是菱形．④邻边相等的矩形是正方形．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理，中点四边形进行分析判断．【详解】解：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原说法错误；②矩形的对角线相等且互相平分，原说法错误；③顺次连接一四边形各边的中点所得到四边形是矩形，则这个四边形一定就是菱形，原说法正确；④邻边相等的矩形是正方形，原说法正确；综上所述，正确的说法有2个．故选：B．【点睛】本题主要考查了中点四边形，正方形的判定，菱形的判定等知识点，解题时，需要掌握矩形、正方形、菱形以及平行四边形间的区别与联系．4．(本题4分)如图，为测量池塘两端的距离，可先在平地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和，连接，，分别取、的中点，，连接后，量出的长为12米，那么就可以算出，的距离是（

）A．36米 B．24米 C．12米 D．6米【答案】B【分析】根据题意可知为三角形的中位线，结合三角形中位线的性质即可获得答案．【详解】解：如下图，连接，∵、分别为、的中点，∴为的中位线，又∵米，∴米．故选：B．【点睛】本题主要考查了三角形中位线的应用，理解并掌握三角形中位线的性质是解题关键．5．(本题4分)如图，长方形的边在数轴上，若点A与数轴上表示数的点重合，点D与数轴上表示数的点重合，，以点A为圆心，对角线的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，则点E表示的数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据勾股定理计算出的长度，进而求得该点与点A的距离，再根据点A表示的数为，可得该点表示的数．【详解】解：∵在长方形中，，，∴，则点A到该交点的距离为，∵点A表示的数为，∴该点表示的数为：，故选：D．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和一定等于斜边长的平方．6．(本题4分)为了方便体温监测，某学校在大门入口的正上方处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.7米的小明正对门缓慢走到离门1.2米处时（即米），测温仪自动显示体温，此时小明头顶到测温仪的距离等于（

）A．0.5米 B．1.2米 C．1.3米 D．1.7米【答案】C【分析】过点D作于点E，构造，利用勾股定理求得的长度即可．【详解】解：如图，过点D作于点E，∵米，米，米，∴（米）．在中，由勾股定理得到：（米），故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长度．7．(本题4分)如图中，，，．以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点A，D为圆心，以，的长为半径作弧交于点E，连接，，若点F为的中点，则的长为（）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】根据全等三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：根据作图知，，，，，，，中，，，，，，点F为的中点，，故选：B【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．8．(本题4分)如图，长方体的长为2，宽为1，高为3，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体的外表面到点B处觅食，则它爬行的最短路程为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．【详解】解：第一种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个平面，；第二种情况：把我们看到的右面与上面组成一个长方形，；第三种情况：把我们所看到的前面和底面组成一个长方形，；∵，∴它爬行的最短路程为．故选：B．【点睛】本题考查的是平面展开-最短路径问题，熟知此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．9．如图，在中，AC与BD交于点M，点F在AD上，，，，点E是BC的中点，若点P以1cm/秒的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当点P运动（

）秒时，以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．A．3 B．3或5 C．5 D．4或5【答案】B【分析】由四边形ABCD是平行四边形得出：∠ADB=∠CBD，又由∠FBM=∠CBM，即可证得FB=FD，求出AD的长，得出CE的长，设当点P运动t秒时，点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，根据题意列出方程并解方程即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∴∠ADB=∠CBD，∵∠FBM=∠CBM，∴∠FBD=∠FDB，∴FB=FD=12cm，∵AF=6cm，∴AD=18cm，∵点E是BC的中点，∴CE=BC=AD=9cm，要使点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则PF=EQ即可，设当点P运动t秒时，点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，根据题意得：6-t=9-2t或6-t=2t-9，解得：t=3或t=5．经检验：由P的最长运动时间为所以t=3或t=5符合题意，故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及一元一次方程的应用等知识．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．10．(本题4分)如图，在正方形ABCD中，，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接DE，FG，下列结论：①；②；③；④FG的最小值为2．其中正确结论的序号为（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】①连接，易知四边形为矩形，可得；由可得，所以；②延长，交于M，交于点H，由矩形可得，则；由，则；由四边形为正方形可得，即，所以，即，可得；③由②中的结论可得；④由于点E为上一动点，当时，根据垂线段最短可得此时最小，最小值为，由①知，所以的最小值为【详解】解：①连接，交于点O，如图，∵，∴．∵，∴四边形为矩形．∴．∵四边形为正方形，∴．在和中，，∴．∴．∴．∴①正确；②延长，交于M，交于点，∵，∴．由①知：，∴．∴．∵，∴．∴．即：，∴．∴②正确；③由②知：．即：．∴③正确；④∵点E为上一动点，∴根据垂线段最短，当时，最小．∵，∴．∴．由①知：，∴的最小值为，∴④错误．综上，正确的结论为：①②③．故选：C．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，垂线段最短，三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，垂直的定义．根据图形位置的特点通过添加辅助线构造全等是解题的关键，也是解决此类问题常用的方法．二、填空题(共32分)11．(本题4分)如图，平行四边形对角线互相垂直，若添加一个适当的条件使四边形成为正方形，则添加条件可以是_____（只需添加一个）．【答案】【分析】由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，得出四边形是菱形，再由，即可判定四边形是正方形．【详解】添加条件：，理由如下：四边形是平行四边形，四边形是菱形四边形是正方形故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的判定、正方形的判定；熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键．正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；③先判定四边形是平行四边形，再用①②进行判定．12．(本题4分)一个多边形的每个内角都是120°，这个多边形是_________边形．【答案】六【分析】设所求正多边形边数为n，根据内角与外角互为邻补角，可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，由60°•n=360°，求解即可．【详解】解：设所求正多边形边数为n，∵正n边形的每个内角都等于120°，∴正n边形的每个外角都等于180°-120°=60°．又因为多边形的外角和为360°，即60°•n=360°，∴n=6．所以这个正多边形是正六边形．故答案为：六．【点睛】此题考查了多边形内角和外角和的知识，解答本题的关键在于熟练掌握任何多边形的外角和都是360°．13．(本题4分)如图在矩形对角线，相交于点O，若，，则的长为_____．【答案】4【分析】根据含30度角的直角三角形的性质得出，再由矩形的性质求解即可．【详解】解：在矩形中，，∵，，∴，∵四边形是矩形，∴．故答案为：4．【点睛】题目主要考查含30度角的直角三角形的性质及矩形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．14．(本题4分)如图，在平行四边形中，的平分线交于E，，则的大小____________．【答案】120°##120度【分析】先根据平行四边形的性质和角平分线的定义证明∠AEB=∠ABE，由∠BED=150°，得到∠ABE=∠AEB=30°，再根据三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABE，∴∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE，∵∠BED=150°，∴∠ABE=∠AEB=30°，∴∠A=180°﹣∠ABE﹣∠AEB=120°．故答案为：120°．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知平行四边形的性质是解题的关键．15．(本题4分)如图，已知，P是平分线上一点，，交于点C，，垂足为点D，且，则等于_________．【答案】3【分析】作辅助线于点，然后根据平分线的性质可知，再根据平行线的性质的性质，可以得到的度数，从而可以求得的长，然后根据可以得到的长，本题得以解决．【详解】解：作于点，如图所示，平分，，，，，，，，，，，故答案为：3．【点睛】本题考查角平分线的性质、平行线的性质、含30度角的直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．16．(本题4分)如图，在中，，，分别以点A和点B为圆心以相同的长（大于）为半径作弧，两弧相交于M和N点，作直线交于点D，交于点E，若，则等于__________．【答案】##【分析】由勾股定理求出，根据线段垂直平分线性质求出，再根据勾股定理求出即可．【详解】解：连接，设，则，根据勾股定理得：即：解得：（负值舍去），即，由作图可知垂直平分，∴在，即：(解得：，故答案为：【点睛】本题考查线段垂直平分线性质，勾股定理的应用，解题关键是能灵活运用勾股定理得出方程．17．(本题4分)如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，，若的面积为9，则的长为______．【答案】【分析】过作于，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出即可．【详解】解：过作于，是边上的高，平分，交于点，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了角平分线性质的应用，能根据角平分线性质求出是解此题的关键，注意：在角的内部，角平分线上的点到角的两边的距离相等．18．(本题4分)长方形纸片中，，，点E是边上一动点，连接，把∠B沿折叠，使点B落在点F处，连接，当为直角三角形时，的长为______．【答案】或3【分析】当为直角三角形时，有两种情况：①当点F落在矩形内部时，如答图1所示．连接，先利用勾股定理计算出，根据折叠的性质得，而当为直角三角形时，只能得到，所以点A、F、C共线，即沿折叠，使点B落在对角线上的点F处，则，，可计算出，设，则，然后在中运用勾股定理可计算出x．②当点F落在边上时，如答图2所示．此时为正方形．【详解】解：当为直角三角形时，有两种情况：当点F落在矩形内部时，如答图1所示．连接，在中，，∴，∵∠B沿折叠，使点B落在点F处，∴，当为直角三角形时，只能得到，∴点A、F、C共线，即沿折叠，使点B落在对角线上的点F处，∴，∴，设，则，在中，∵，∴解得：；②当点F落在边上时，如答图2所示．此时为正方形，∴．故答案为：或3；【点睛】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．三、解答题(共78分)19．(本题8分)图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为，点、、、均在格点上，在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．(1)在图①中以线段为边画一个四边形，使四边形既是轴对称图形又是中心对称图形；(2)在图中以线段为边画一个四边形，使四边形只是中心对称图形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据网格的特点以及勾股定理，画出正方形，即可求解；（2）根据网格的特点作出平行四边形，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，四边形是正方形，既是轴对称图形又是中心对称图形（2）解：如图所示，四边形只是中心对称图形【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，中心对称图形与轴对称图形的性质，正方形与平行四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．20．(本题8分)如图，，，垂足分别是C、D，．求证：．【答案】见解析【分析】利用证明，即可证明．【详解】证明：∵，，∴，在和中，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．21．(本题8分)如图，在四边形中，，，，．(1)求证；四边形ABCD为平行四边形；(2)求四边形的面积．【答案】(1)证明见解析(2)120【分析】（1）在中，由勾股定理求，则可得，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，结论得证；（2）根据平行四边形的面积为计算求解即可．【详解】（1）证明：在中，由勾股定理得，∴，∵，∴四边形是平行四边形．（2）解：由（1）可知平行四边形的面积为，∴四边形的面积为120．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、平行四边形的面积、勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．22．(本题10分)如图，长为10m的梯子AB斜靠在竖直于地面的墙上，梯子的顶端A到地面的距离AC为8m．(1)求水平地面上梯子底端B与墙壁的距离BC的长度；(2)当梯子的顶端A下滑2m到点时，底端B向外滑动到点，求此时的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意直接利用勾股定理求解即可；（2）先在中求出，即可通过作差求出结论．【详解】（1）解：由题意，为直角三角形，在中，，∴的长度为；（2）解：梯子的顶端下滑2m到点时，，，在中，，∴，∴此时的长为．【点睛】本题考查勾股定理的实际运用，理解并熟练运用勾股定理是解题关键．23．(本题10分)如图，的对角线交于点O，过点D作于E，延长到点F，使，连接．(1)求证：四边形是矩形．(2)若，试求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）先证得是等腰直角三角形，可得，在中，由勾股定理可得，再由直角三角形的性质，可得结论．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴四边形是矩形．（2）解：由（1）得：，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，在中，由勾股定理得：，∵四边形是平行四边形，∴，∴．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握矩形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．24．(本题10分)如图，矩形，延长至点E，使，连接，过点C作交的延长线于点F，连接．(1)求证：四边形是菱形；(2)连接交于点G．当，时，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由线段垂直平分线的判定和性质以及菱形的判定解答；（2）利用勾股定理先得出和的长；再证明，利用全等三角形的性质得到，即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴四边形是菱形；（2）解：∵四边形是矩形，∴，∵AB＝1，DE＝CD＝1，，∴，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了菱形的判定，矩形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理；熟记菱形的判定和勾股定理是解题关