正弦定理余弦定理知识点

正弦定理、余弦定理【基础知识点】1.三角形常用公式：A＋B＋C＝π；S＝absinC＝bcsinA＝＝casinB；2．三角形中的边角不等关系:A>Ba>b,a+b>c,a-b<c；；3．【正弦定理】：＝＝＝2R（外接圆直径）；正弦定理的变式：；a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC．4．正弦定理应用范围：①已知两角和任一边，求其他两边及一角．②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角．③几何作图时，存在多种情况．如已知a、b及A，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数．已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况：(1)A为锐角一解两解一解(2)A为锐角或钝角当时有一解.5．【余弦定理】a2=b2+c2-2bccosA．c2=a2+b2-2abcosC．b2=a2+c2-2accosB．若用三边表示角，余弦定理可以写为、6．余弦定理应用范围：（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边．【习题知识点】知识点1运用判断三角形形状例题1在△ABC中已知acosB=bcosA,试判断△ABC的形状.【分析】利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状,可以将三角形中的边用角表示,也可将角用边来表示．从中找到三角形中的边角关系，判断出三角形的形状.【解析】解法1：由扩充的正弦定理：代入已知式2RsinAcosB=2RsinBcosAsinAcosB-cosAsinB=0，sin(A-B)=0A-B=0∴A=B即△ABC为等腰三角形解法2:由余弦定理:∴即△ABC为等腰三角形.知识点2运用正、余弦定理解三角形解三角形问题中正、余弦定理的选择:在下述情况下应首先使用余弦定理:=1\*GB3①已知三条边(边边边),求三个角;=2\*GB3②已知两边和它们的夹角(边角边),求其它一边和两角;在下述情况下应首先使用正弦定理:=1\*GB3①已知两边和一边的对角(边边角),求其它一边和两角;=2\*GB3②已知两角和任一边(角角边、角边角),求其它两边和一角.例题2在△ABC中，已知，，B=45求A、C及c.【分析】在解斜三角形应用过程中，注意要灵活地选择正弦定和余弦定理，解得其它的边和角【解析】解法1：由正弦定理得：∵B=45<90即b<a∴A=60或120当A=60时C=75当A=120时C=15解法2：设c=x由余弦定理将已知条件代入，整理：解之：当时从而A=60，C=75当时同理可求得：A=120C=15.知识点3解决与三角形在关的证明、计算问题例题3已知A、B、C为锐角，tanA=1，tanB=2，tanC=3，求A+B+C的值．【分析】本题是要求角，要求角先要求出这个角的某一个三角函数值，再根据角的范围确定角．本题应先求出A+B和C的正切值，再一次运用两角和的正切公式求出A+B+C．【解析】=0所以A+B+C=π知识点4求三角形的面积例题4△ABC中，D在边BC上，且BD＝2，DC＝1，∠B＝60o，∠ADC＝150o，求AC的长及△ABC的面积．【解析】在△ABC中，∠BAD＝150o－60o＝90o，∴AD＝2sin60o＝．在△ACD中，AD2＝()2＋12－2××1×cos150o＝7，∴AC＝．∴AB＝2cos60o＝1．S△ABC＝×1×3×sin60o＝．知识点4解决实际为题例题4如图，海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁。一军舰从A地出发由西向东航行，望见小岛B在北偏东75°，航行8海里到达C处，望见小岛B在北端东60°。若此舰不改变舰行的方向继续前进，问此舰有没有角礁的危险？【解析】：过点B作BD⊥AE交AE于D由已知，AC=8，∠ABD=75°，∠CBD=60°在Rt△ABD中，AD=BD·tan∠ABD=BD·tan75°在Rt△CBD中，CD=BD·tan∠CBD=BD·tan60°∴AD－CD=BD（tan75°－tan60°）=AC=8,…9分∴【课堂训练题】填空题1．在中，角，则边等于2．以、、为边长的三角形一定是三角形（填锐角直角或钝角）3．在中，若，则角等于4．边长为的三角形的最大角与最小角的和是5．在中，若，则角_________．【解析】1.．2．由余弦定理得：，且角最大，∴最大内角为锐角．3．，或．4．设中间角为，则为所求．5.．解答题1.在中，若，求角2.已知△的内角的对边分别为，其中，又向量m，n，m·n=1．（1）若，求的值