湖南省湘潭市湘乡中沙中学高三数学理摸底试卷含解析

湖南省湘潭市湘乡中沙中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.sin15°+cos165°的值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【分析】利用诱导公式，把要求的式子化为sin15°﹣cos15°=sin（45°﹣30°）﹣cos（45°﹣30°），再利用两角差的正弦、余弦公式，进一步展开运算求得结果．【解答】解：sin15°+cos165°=sin15°﹣cos15°=sin（45°﹣30°）﹣cos（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°﹣cos45°cos30°﹣sin45°sin30°=﹣﹣﹣=，故选B．2.

已知函数构造函数，定义如下：当，那么（

）A．有最小值0，无最大值

B．有最小值-1，无最大值C．有最大值1，无最小值

D．无最小值，也无最大值参考答案：B3.如果是二次函数,且的图象开口向上,顶点坐标为(1,),那么曲线上任一点的切线的倾斜角的取值范围是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B4.下列直线中，平行于极轴且与圆相切的是(A) (B) (C) (D)参考答案：5.已知点，，若向量，则向量（）A.(3,－2) B.(2,－2) C.(－3,－2) D.(－3,2)参考答案：D【分析】先求得，然后利用向量的减法运算求得.【详解】依题意，，故选D.【点睛】本小题主要考查平面向量的减法运算，考查平面向量的坐标运算，属于基础题.6.在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是（A）0

（B）1

（C）2

（D）4参考答案：【解析】C解析：本小题主要考查三角函数图像的性质问题。原函数可化为：作出原函数图像，截取部分，其与直线的交点个数是2个．7.集合，，那么“”是“”的（

）．A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A∵集合，，∴，∴“”是“”的充分而不必要条件．故选．8.已知，则数列是

(

）A．递增数列

B．

递减数列

C．

常数列

D．

摆动数列参考答案：A9.全集,集合，则（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B略10.函数f（x）=的图象大致为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】先研究函数的性质，可以发现它是一个奇函数，再研究函数在原点附近的函数值的符号，从而即可得出正确选项．【解答】解：此函数是一个奇函数，故可排除C，D两个选项；又当自变量从原点左侧趋近于原点时，函数值为负，图象在X轴下方，当自变量从原点右侧趋近于原点时，函数值为正，图象在x轴上方，故可排除B，A选项符合，故选A．【点评】本题考查由函数的性质确定函数图象，其研究规律一般是先研究单调性与奇偶性，再研究某些特殊值．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，，点C在∠AOB内，∠AOC=45°，设，则=． 参考答案：【考点】向量在几何中的应用． 【专题】计算题． 【分析】将向量沿与方向利用平行四边形原则进行分解，构造出三角形，由题目已知，可得三角形中三边长及三个角，然后利用正弦定理解三角形即可得到答案．此题如果没有已知给定图形的限制，应该有两种情况，即也可能为OC在OA顺时针方向45°角的位置，请大家注意分类讨论，避免出错． 【解答】解：如图所示，建立直角坐标系． 则=（1，0），=（0，）， ∴=m+n =（m，n）， ∴tan45°==1， ∴=． 故答案为：． 【点评】对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据已知条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果． 12.如图，B，C两点在双曲线的右支上，线段BC的垂直平分线DA交y轴于

点，若，则点A到直线BC的距离d=________.参考答案：略13.已知角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，终边在直线上，则

参考答案：14.已知△ABC的顶点，若△ABC为钝角三角形，则的取值范围是

；参考答案：略15.对于函数，若存在常数，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准奇函数.给定下列函数：① ②③ ④其中所有准奇函数的序号是__________.参考答案：①④16.空气质量指数（AirQualityIndex，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．一环保人士当地某年的AQI记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如图．根据该统计数据，估计此地该年AQI大于100的天数约为为

．（该年为365天）参考答案：146【考点】茎叶图．【分析】根据该样本中AQI大于100的频数求出频率，由此估计该地全年AQI大于100的频率与频数．【解答】解：该样本中AQI大于100的频数是4，频率为，由此估计该地全年AQI大于100的频率为，估计此地该年AQI大于100的天数约为365×=146（天）．故答案为：146．17.已知复数z=1-i，则=____________参考答案：2i三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知点P（，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数f（x）=?．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC周长的最大值．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解f（x）的最小正周期；（Ⅱ）利用函数的解析式求解A，然后利用余弦定理求解即可，得到bc的范围，然后利用基本不等式求解最值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=?=（，1）?（﹣cosx，1﹣sinx）=﹣cosx﹣sinx+4=﹣2sin（x+）+4，f（x）的最小正周期T==π；（Ⅱ）∵f（A）=4，∴A=，又∵BC=3，∴9=（b+c）2﹣bc．∵bc≤，∴，∴b+c≤2，当且仅当b=c取等号，∴三角形周长最大值为3+2．【点评】本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数，三角函数的周期，基本不等式以及余弦定理的应用，考查计算能力．19.（本小题满分12分）已知椭圆:()，直线经过椭圆的上顶点和左焦点，设椭圆右焦点为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设是椭圆上动点,求的取值范围,并求取最小值时点的坐标.参考答案：（Ⅰ）依题意,,,所以,,，……3分所以椭圆的标准方程为

……5分（Ⅱ）由椭圆定义知，则，………7分而,当且仅当时,,当且仅当是直线与椭圆的交点时,=2，所以的取值范围是．

…………9分设,由得,由,解得或,所求和.

………12分20.已知函数,直线是函数f(x)图像的一条对称轴。(1)求函数f(x)的解析式及单调递增区间;(2)在△ABC中，已知,求b边长参考答案：解：（1）

是函数图像的一条对称轴

，的增区间为：（2）

（方法一）在中，由余弦定理：

（方法二）由（1）知在中，由正弦定理：

21.已知函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣2|，a＞0．（1）当a=3时，解不等式f（x）＜4；（2）若正实数a，b，c满足a+b+c=1，且不等式f（x）对任意实数x都成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）根据绝对值的几何意义求出不等式的解集即可；（2）求出f（x）的最小值，问题转化为关于a，b的不等式组，求出a的范围即可．【解答】解：（1）a=3时，函数f（x）=|x﹣3|+|x﹣2|，表示数轴上的x对应点到2，3对应点的距离之和，而和对应点到2、3对应点的距离之和正好是4，故不等式f（x）＜4的解集是（，）；（2）∵f（x）=|x﹣a|+|x﹣2|≥|a﹣2|=2﹣a，由题意得2﹣a，即（2﹣a）（1﹣a）≥a2+b2+c2①，正实数b，c满足a+b+c=1，∴（1﹣a）2