湖南省郴州市东风中学高三数学理摸底试卷含解析

湖南省郴州市东风中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知角A是△ABC的一个内角，若sinA＋cosA＝，则tanA等于 ()

A．

B－

C．

D.－参考答案：D2.曲线在处的切线斜率为（A）0

（B）

（C）3

（D）参考答案：D略3.下列四个结论：①设为向量，若，则恒成立；②命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”；③“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的充分不必要条件；其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．0个参考答案：A【考点】复合命题的真假．【分析】由向量的运算性质判断出夹角是90°即可判断①正确；由命题的逆否命题，先将条件、结论调换，再分别对它们否定，即可判断②；由命题p∨q为真，则p，q中至少有一个为真，不能推出p∧q为真，即可判断③．【解答】解：对于①设为向量，若cos＜，＞，从而cos＜，＞=1，即和的夹角是90°，则恒成立，则①对；对于②，命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”而不是逆命题，则②错；对于③，命题p∨q为真，则p，q中至少有一个为真，不能推出p∧q为真，反之成立，则应为必要不充分条件，则③错；故选：A．【点评】本题考查了向量问题，考查复合命题的真假和真值表的运用，考查充分必要条件的判断和命题的否定，属于基础题和易错题．4.下列命题中的假命题是A．，

B．，C．，

D．，参考答案：B5.若，则必定是 （

） A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形

D．等腰直角三角形参考答案：6.已知抛物线：，O是坐标原点，点P是抛物线C在第一象限内的一点，若点P到y轴的距离等于点P到抛物线C的焦点的距离的一半，则直线OP的斜率为（

）A. B. C.2 D.3参考答案：C【分析】设出点P的坐标，根据抛物线定义及题设条件，可用p表示点P的坐标，进而求得的斜率。【详解】设点为，则由抛物线的定义知点到抛物线的焦点的距离为，同时由题知这个距离也等于，所以，解得，，于是，故选C.【点睛】本题考查了抛物线的定义及应用，属于基础题。7.已知

（

）

A．

B．

C．或

D．参考答案：B8.已知椭圆，F1、F2是其左右焦点，若对椭圆C上的任意一点P，都有恒成立，则实数a的取值范围为（

）A.(－3,0)∪(0,3) B.[－3,0)∪(0,3]C.(－∞,－3)∪(3,+∞) D.(－∞,－3]∪[3,+∞)参考答案：C【分析】椭圆，是其左右焦点，若对椭圆上的任意一点，画出图象，根据图象可知当点移动到轴顶点时，角度最大，此时，移动到椭圆其位置也必有，求出，，根据向量数量积坐标公式，即可求得答案.【详解】椭圆，是其左右焦点，若对椭圆上的任意一点，画出图象：根据图象可知当点移动到轴顶点时，角度最大，此时，移动到椭圆其位置也必有根据，，点移动到轴顶点时，可得：，由，可得，即解得其故选：C.【点睛】本题解题关键是掌握椭圆的图象特征和向量的数量积坐标公式，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.9.若方程在内有解，则的图象是（

）参考答案：D略10.如果等差数列中，，那么(

)（A）14

（B）21

（C）28

（D）35参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数f(x)＝sinx+sin(+x)的最大值是

.

参考答案：【解析】由.答案：12.若θ∈（，），sin2θ=，则cosθ﹣sinθ的值是 ．参考答案：﹣考点：三角函数的恒等变换及化简求值．专题：计算题．分析：求出表达式的平方的值，根据角的范围确定表达式的符号，求出值即可．解答： 解：（cosθ﹣sinθ）2=1﹣sin2θ=，又，cosθ＜sinθ所以cosθ﹣sinθ=，故答案为：．点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，注意角的范围三角函数的符号的确定，是本题的关键．13.函数f(x)＝lg(x－1)的定义域为________．参考答案：(1，＋∞)14.过圆的圆心，且与直线2x+3y=0垂直的直线方程为______。参考答案：15.如图所示，已知一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为

.参考答案：由三视图可知该几何下面是圆柱，上面是四棱锥。圆柱的底面半径为1，高为2.所以圆柱的体积为。四棱锥的高为，四棱锥底面边长为，所以四棱锥的体积为，所以该几何体的体积为。16.设a∈，则使函数y=xa的定义域为R且为奇函数的a的集合为．参考答案：{1，3}【考点】幂函数图象及其与指数的关系．【分析】分别验证a=1，﹣1，，3知当a=1或a=3时，函数y=xa的定义域是R且为奇函数．【解答】解：当a=﹣1时，当a=﹣1时，y=x﹣1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数，不合题意；当a=1时，函数y=x的定义域是R且为奇函数；当a=时，函数y=的定义域是（0，+∞），不合题意；当a=3时，函数y=x的定义域是R且为奇函数．故使函数y=xa的定义域为R且为奇函数的a的集合为{1，3}．故答案为：{1，3}．17.已知数列的递推公式，则

；参考答案：28

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.“ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动．若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响．（Ⅰ）若某参与者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？（Ⅱ）为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某调查机构进行了随机抽样调查，调查得到如下2×2列联表：

接受挑战不接受挑战合计男性451560女性251540合计7030100根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”？附：P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828参考答案：考点：独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）确定基本事件的个数，根据古典概型的概率公式，求这3个人中至少有2个人接受挑战的概率；（Ⅱ）根据2×2列联表，得到K2的观测值，与临界值比较，即可得出结论．解答： 解：（Ⅰ）这3个人接受挑战分别记为A，B，C，则分别表示这3个人不接受挑战．这3个人参与该项活动的可能结果为：{A，B，C}，，，，，，，．共有8种；其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有：{A，B，C}，，，，共有4种．根据古典概型的概率公式，所求的概率为．（Ⅱ）假设冰桶挑战赛与受邀者的性别无关，根据2×2列联表，得到K2的观测值为：k=．因为1.79＜2.706，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别无关”．点评：本题主要考查古典概型、独立性检验等基础统计知识，考查运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．19.（本小题满分12分）已知数列{}的前n项和＝2－＋2（n为正整数）．（1）求数列{}的通项公式；（2）令＝＋＋…＋，求数列{}的前n项和．参考答案：…12分20.函数．

（1）如果函数是偶函数，求的极大值和极小值；

（2）如果函数是上的单调函数，求的取值范围．参考答案：解析：解：.

（Ⅰ）∵是偶函数，∴.

此时，，

令，解得：.

列表如下：(－∞,－2)－2(－2,2)2(2,+∞)+0－0+递增极大值递减极小值递增

可知：的极大值为，

的极小值为.

分

（Ⅱ）∵，令

解得：.

这时恒成立，∴函数在上为单调递增函数.

综上，的取值范围是.21.已知两点及，点在以、为焦点的椭圆上，且、、构成等差数列．（1）求椭圆的方程；（2）如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点是直线上的两点，且，．求四边形面积的最大值．

参考答案：（1）（2）试题分析：（1）由等差中项可得,根据椭圆的定义可得,即,由可得.从而可得椭圆方程.（2）将直线方程与椭圆方程来努力,消去并整理为关于的一元二次方程.因为只有一个交点,则,可得间的关系式.根据点到线的距离公式分别求.构造直角三角形用勾股定理求.根据梯形面积公式求四边形的面积.用基本不等式求其最值.试题解析：解：（1）依题意，设椭圆的方程为．构成等差数列，，．又，．椭圆的方程为．

4分

(2)将直线的方程代入椭圆的方程中，得．由直线与椭圆仅有一个公共点知，，化简得：．设，，当时，设直线的倾斜角为，则，，，9分，当时，，，．当时，四边形是矩形，．

11分所以四边形面积的最大值为．

12分考点：1椭圆的定义;2直线与椭圆的位置关系问题.22.已知向量，函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并在给定的坐标系中用“五点法”作出函数f（x）在[0，π]上的图象；（须列表）（Ⅱ）该函数的图象由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的变化得到？参考答案：【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）利用平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用可求函数解析式，列表，描点，连线即可用“五点法”作出函数f（x）在[0，π]上的图象；（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）f（x）==3sinxcosx﹣sin2x+cos2x=3sin（2x+）…令X=2x+，则f（x）=3sin（2x+）=2sinX．列表：x﹣0πX0π2πy=sinX010﹣10f（x）=3sin（2x+）020﹣20…描点画图：…（2）法一：把y=sinx的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y=sin（x+）的图象；再把y=sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的