福建省南平市建瓯南雅第二中学高三数学文期末试卷含解析

福建省南平市建瓯南雅第二中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合M={x|﹣2≤x＜2}，集合N={x|x2﹣2x﹣3≥0}，则M∩N等于(

) A．[﹣1，1] B．[1，2） C．[﹣2，﹣1] D．[1，2）参考答案：C考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可．解答： 解：由N中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≤﹣1或x≥3，即N=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵M=[﹣2，2），∴M∩N=[﹣2，﹣1]，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为()参考答案：D略3.（原创）直线与圆的位置关系为（

）A相交，相切或相离

B相切

C相切或相离

D相交或相切参考答案：C略4.已知的夹角是

（

）

A．30°B．45°C．90°

D．135°参考答案：B5.如图所示，向量的模是向量的模的倍，与的夹角为，那么我们称向量经过一次变换得到向量.在直角坐标平面内，设起始向量，向量经过次变换得到的向量为，其中、、为逆时针排列，记坐标为，则下列命题中不正确的是（

）A.B.C.D.参考答案：D【分析】利用变换的定义，推导出的向量坐标，求出、的表达式，然后进行验算即可.【详解】，经过一次变换后得到，点，，，A选项正确；由题意知

所以，，，B选项正确；

，C选项正确；，D选项错误.故选：D.【点睛】本题考查新定义，首先应理解题中的新定义，转化为已有的知识来解决，本题的实质是考查向量的坐标运算，难度较大.6.过双曲线1（a＞0，b＞0）的一个焦点F1作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B，若A恰好是F1B的中点，则双曲线的离心率是（）A. B. C.2 D.参考答案：C【分析】由题意可知，渐近线方程为y＝±x，则F1A的方程为y﹣0（x+c），代入渐近线方程yx可得B的坐标，由若A恰好是F1B的中点，所以|OB|＝c，即可求得离心率．【详解】由题意可知，渐近线方程为y＝±x，则F1A的方程为y﹣0（x+c），代入渐近线方程yx可得B的坐标为（，），因为若A恰好是F1B的中点，所以|OB|＝c，所以（）2+（）2＝c2，所以b2＝3a2，所以c2＝a2+b2＝4a2，所以e＝2故选：C．【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出B的坐标是解题的关键．7.如图所示的程序框图，若输入n=3，则输出结果是(

)A．2 B．4 C．8 D．1参考答案：C【考点】程序框图．【专题】规律型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S=5×4的值，计算后易给出答案．【解答】解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：是否继续循环Sk循环前/1

1第一圈

是

2

2第二圈

是

43第三圈

是

84第四圈

否此时输出的S值为8故选C．【点评】本题考查的知识点是循环结构，其中根据已知的程序流程图分析出程序的功能是解答本题的关键．8.设，称为整数的为“希望数”，则在内所有“希望数”的个数为

．参考答案：9略9.已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则f（2）等于（）A．11或18 B．11 C．18 D．17或18参考答案：C【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】根据函数在x=1处有极值时说明函数在x=1处的导数为0，又因为f′（x）=3x2+2ax+b，所以得到：f′（1）=3+2a+b=0，又因为f（1）=10，所以可求出a与b的值确定解析式，最终将x=2代入求出答案．【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+b，∴或①当时，f′（x）=3（x﹣1）2≥0，∴在x=1处不存在极值；②当时，f′（x）=3x2+8x﹣11=（3x+11）（x﹣1）∴x∈（，1），f′（x）＜0，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，符合题意．∴，∴f（2）=8+16﹣22+16=18．故选C．10.椭圆两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，0] C．[0，1] D．[﹣1，2]参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；向量法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设P（x，y），，，则=x2+y2﹣i=即可．【解答】解：由椭圆方程得F1（﹣1，0）F2（1，0），设P（x，y），∴，，则=x2+y2﹣1=∈[0，1]故选：C【点评】本题考查了椭圆与向量，转化思想是关键，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数f（x）=ln（2x2﹣3）的单调减区间为．参考答案：（﹣）【考点】复合函数的单调性．【专题】函数的性质及应用．【分析】由真数大于0求出函数的定义域，进一步得到内函数的减区间，然后由复合函数的单调性得答案．【解答】解：由2x2﹣3＞0，得x或x．∵内函数t=2x2﹣3在（﹣）上为减函数，且外函数y=lnt为定义域上的增函数，∴函数f（x）=ln（2x2﹣3）的单调减区间为（﹣）．故答案为：（﹣）．【点评】本题考查复合函数的单调性的求法，复合的两个函数同增则增，同减则减，一增一减则减，注意对数函数的定义域是求解的前提，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题．12.在平面斜坐标系，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的；若，其中分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则P点的坐标为

（1）若点P的斜坐标为（2，-2），则点P到点O的距离

；

（2）以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系中的方程为

。参考答案：2，略13.已知空间向量为坐标原点，给出以下结论：①以为邻边的平行四边形中，当且仅当时，取得最小值；②当时，到和点等距离的动点的轨迹方程为，其轨迹是一条直线；③若则三棱锥体积的最大值为；④若=（0，0，1），则三棱锥各个面都为直角三角形的概率为.其中的真命题是

（写出所有真命题的编号）参考答案：③④14.方程=的解为

．参考答案：-2略15.已知为数列的前项和，且，则数列的通项公式为

．参考答案：

16.等比数列{}中，,前三项和，则公比＝（）

A、1

B、

C、1或

D、-1或参考答案：C略17.16已知函数，函数在区间上零点的个数是 .参考答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）如图所示，已知与⊙相切，为切点，为割线，弦，、相交于点，为上一点，且（1）求证：；（2）求证：·=·．参考答案：19.已知椭圆（a＞b＞0）的焦距为，离心率为．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设过椭圆顶点B（0，b），斜率为k的直线交椭圆于另一点D，交x轴于点E，且|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，求k2的值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）由已知，可求a，c结合b2=a2﹣c2=1即可求b，进而可求椭圆方程（Ⅱ）由（Ⅰ）得过B点的直线为y=kx+1，联立直线y=kx+1与椭圆方程可求D的坐标，及k的取值范围，由|BD|，|BE|，|DE|成等比，可得|BE|2=|BD||DE|，即（1﹣yD）|yD|=1，解方程可求【解答】解：（Ⅰ）由已知，．…解得，…所以b2=a2﹣c2=1，椭圆的方程为．…（Ⅱ）由（Ⅰ）得过B点的直线为y=kx+1，由得（4k2+1）x2+8kx=0，…所以，所以，…依题意k≠0，．因为|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，所以|BE|2=|BD||DE|，…所以b2=（1﹣yD）|yD|，即（1﹣yD）|yD|=1，…当yD＞0时，yD2﹣yD+1=0，无解，…当yD＜0时，yD2﹣yD﹣1=0，解得，…所以，解得，所以，当|BD|，|BE|，|DE|成等比数列时，．…（14分）【点评】本题主要考查了由椭圆的性质求解椭圆的方程，直线与椭圆的相交关系的应用，及等比数列的应用，属于综合性试题20.某地政府为改善居民的住房条件，集中建设一批经适楼房．用了1400万元购买了一块空地，规划建设8幢楼，要求每幢楼的面积和层数等都一致，已知该经适房每幢楼每层建筑面积均为250平方米，第一层建筑费用是每平方米3000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加80元．（1）若该经适楼房每幢楼共层，总开发费用为万元，求函数的表达式（总开发费用=总建筑费用+购地费用）；（2）要使该批经适房的每平方米的平均开发费用最低，每幢楼应建多少层？参考答案：（1）由已知，每幢经适楼房最下面一层的总建筑费用为：（元）（万元），从第二层开始，每幢每层的建筑总费用比其下面一层多：（元）（万元），每幢经适楼房从下到上各层的总建筑费用构成以75为首项，2为公差的等差数列，2分所以函数表达式为：

；（6分）（2）由（1）知经适楼房每平方米平均开发费用为：

（10分）（元）

（12分）当且仅当，即时等号成立，但由于，验算：当时，，当时，．答：该经适楼建为13层时，每平方米平均开发费用最低．

（14分）

21.中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体，给人于美的享受．如图（1）为一花窗；图（2）所示是一扇窗中的一格，呈长方形，长30cm，宽26cm，其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称．设菱形的两条对角线长分别为xcm和ycm，窗芯所需条形木料的长度之和为L．（1）试用x，y表示L；（2）如果要求六根支条的长度均不小于2cm，每个菱形的面积为130cm2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？参考答案：【考点】5D：函数模型的选择与应用．【分析】（1）分别求出水平方向每根支条长、竖直方向每根支条长、菱形的边长，即可用x，y表示L；（2）．换元，求导确定函数的单调性，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，水平方向每根支条长为cm，竖直方向每根支条长为cm，菱形的边长为cm．从而，所需木料的长度之和L==cm．（2）由题意，，即，又由可得．所以．令，其导函数在上恒成立，故在上单调递减，所以可得．则==．因为函数和在上均为增函数，所以在上为增函数，故当t=33，即x=13，y=20时L有最小值．答：做这样一个窗芯至少需要cm长的条形木料．22.（12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据