专题10 二次函数的应用二（抛物线与几何图形问题）（测）-备战2019年中考数学二轮复习讲练测（解析版）

备战2019年中考二轮讲练测专题10二次函数的应用二（抛物线与几何图形问题）（测案）一、期考典测——他山之石1．如图，等腰Rt（）的直角边与正方形的边长均为2，且与在同一直线上，开始时点与点重合，让沿这条直线向右平移，直到点与点重合为止．设的长为，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为，则与之间的函数关系的图象大致是（）【答案】A．∴y与x之间的函数关系由函数关系式可看出A中的函数图象与所求的分段函数对应．故选A．考点：动点问题的函数图象．学科网2．如图，已知点A1，A2，…，A2011在函数位于第二象限的图象上，点B1，B2，…，B2011在函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，…，C2011在y轴的正半轴上，若四边形、，…，都是正方形，则正方形的边长为（）A.2010 B.2011C.2010 D.2011【答案】D.【解析】试题分析：∵OA1C1B1是正方形，∴OB1与y轴的夹角为45°，∴OB1的解析式为y=x联立，解得或，∴点B1（1，1），OB1=，∵OA1C1B1是正方形，∴OC1=OB1=×=2，∵C1A2C2B2是正方形，∴C1B2的解析式为y=x+2，联立，解得或，∴点B2（2，4），C1B2=，∵C1A2C2B2是正方形，∴C1C2=C1B2=×2=4，∴C2B3的解析式为y=x+（4+2）=x+6，联立，解得，或，∴点B3（3，9），C2B3=，…，依此类推，正方形C2010A2011C2011B2011的边长C2010B2011=．故选D.考点：二次函数综合题．3．如图，抛物线与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则aA．ab=-2 B．ab=-3 C．ab=-4 D．ab=-5【答案】B【解析】【分析】先利用抛物线与x轴的交点问题求出A（--ba，0），B（-ba0），则确定C（0，b），则OA=OB=-ba，再利用中心对称的性质得到∴A1B=AB=2-ba，然后根据射影定理得到OC2=OA•OA1，即b【详解】解：当y=0时，ax2+b=0，解得x=±-ba，则A（--ba，0），B（当x=0时，y=ax2+b=b，则C（0，b），

∴OA=OB=-b∵抛物线l1绕点B顺时针旋转180°，得到新的抛物线l2，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．

∴A1B=AB=2-ba，∵四边形AC1A1C为矩形，

∴∠ACA1=90°，

∴OC2=OA•OA1，即b2=-b∴ab=-3．故选：B．4．如图，函数y=的图象记为c1，它与x轴交于点O和点A1；将c1绕点A1旋转180°得c2，交x轴于点A2；将c2绕点A2旋转180°得c3，交x轴于点A3…如此进行下去，若点P（103，m）在图象上，那么m的值是（）A．﹣2B．2C．﹣3D．4【答案】C【解析】【分析】求出C1与x轴的交点坐标，观察图形可知第奇数号抛物线都在x轴上方，然后求出到抛物线C25平移的距离，再根据向右平移横坐标加表示出抛物线C26【详解】令y=0,则-xx-4-2x+8解得x1，由图可知,抛物线C26在x相当于抛物线C1向右平移4×(26−1)=100个单位得到得到C25,再将C25绕点A25旋转C26此时的解析式为y=(x−100)(x−100−4)=(x−100)(x−104)，在第26段抛物线C26上，m=(103−100)(103−104)=−3.故答案是：C.5．如图，⊙的半径为，是函数的图象，是函数的图象，是函数的图象，则阴影部分的面积是（结果保留）．【答案】．考点：二次函数的图象．6．如图，已知⊙的半径为，圆心在抛物线上运动，当⊙与轴相切时，圆心的坐标为．【答案】（，2）或（-，2）．【解析】试题分析：当⊙P与x轴相切时，P点纵坐标为±2；当y=2时，x2-1=2，解得x=±；当y=-2时，x2-1=-2，x无解；故P点坐标为（，2）或（-，2）．考点：二次函数综合题．7．如图，抛物线y=ax2-x-与x轴正半轴交于点A（3，0）以OA为边在x轴上方作正方形OABC，延长CB交抛物线于点D，再以BD为边向上作正方形BDEF,则点E的坐标是.【答案】（+1，+1）【解析】试题分析：把点A（3，0）代入抛物线y=ax2-x-，解得a=；∵四边形OABC为正方形，∴点C的坐标为（0，3），点D的纵坐标为3，代入y=x2-x-，解得x1=+1，x2=1-（不合题意，舍去），因此正方形BDEF的边长B为+1-3=-2，所以AF=3+-2=+1，由此可以得出点E的坐标为（+1，+1）考点:二次函数综合题学科网8.如图，抛物线交轴于点，交轴于点，在轴上方的抛物线上有两点，它们关于轴对称，点在轴左侧．于点，于点，四边形与四边形的面积分别为6和10，则与的面积之和为．【答案】4考点：抛物线的对称性9．如图，在平面直角坐标系中，以点M（0，3）为圆心、5为半径的圆与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C、D（点C在点D的上方），经过B、C两点的抛物线的顶点E在第二象限．（1）求点A、B两点的坐标．（2）当抛物线的对称轴与⊙M相切时,求此时抛物线的解析式．（3）连结AE、AC、CE，若．①求点E坐标；②在直线BC上是否存在点P，使得以点B、M、P为顶点的三角形和△ACE相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．AABCxDOMyE【答案】（1）A（－4,0）；B（4,0）；（2）y=-；（3）E(-4,)；P(,),(,)．试题解析：（1）连结MA，由题意得：AM=5，OM=3，则OA=4，同理得OB=4，∴点A、点B的坐标分别是（-4，0）、（4，0）（2）设经过B、C两点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∴c=8,0=16a+4b+8，∴b=-4a-2；此时，y=ax2+（-4a-2）x+8（a≠0），它的对称轴是直线：x=；又∵抛物线的顶点E在第二象限且该抛物线的对称轴与⊙M相切，则2+=-5=，∴a=-，b=-，∴抛物线的解析式为y=-（3）①在Rt△AOC中tan∠ACO=，而tan∠CAE=，∴∠CAE=∠ACO，所以AE∥CO，即点A在抛物线的对称轴上，又∵y=ax2+（-4a-2）x+8，∴2+=-4，∴a=-；∴y=-=-6(x+4)2+,∴E(-4,)E②在直线BC上存在点P，使得以点B、M、P为顶点的三角形和△ACE相似，点P的坐标为(,),(,)．考点：二次函数的性质、圆的性质．10如图，抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，）三点，设点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形．（1）求抛物线的解析式；（2）当点E（x，y）运动时，试求平行四边形OEBF的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值？（3）是否存在这样的点E，使平行四边形OEBF为正方形？若存在，求E点，F点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵抛物线经过点A（1，0），B（5，0），∴设所求抛物线的解析式为.．∵抛物线经过点C（0，）三点∴，解得，∴所求抛物线的解析式为：，即．（2）∵点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方，∴y＜0，即﹣y＞0，﹣y表示点E到OA的距离．∵OB是平行四边形OEBF的对角线，∴.∵，∴S与x之间的函数关系式为：（1＜x＜5），S的最大值为．（3）存在．∵当OB⊥EF，且OB=EF时，平行四边形OEBF是正方形，∴此时点E坐标只能（）．∵当时，，∴（）点在抛物线上，∴存在点E（），使平行四边形OEBF为正方形，此时点F坐标为（）．【考点】；二次函数综合题；单动点问题；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；由实际问题列函数关系式；二次函数最值；平行四边形的性质；正方形的性质．二、模考典测——拾级而上1.如图，已知抛物线与x轴分别交于O、A两点，它的对称轴为直线x=a，将抛物线向上平移4个单位长度得到抛物线，则图中两条抛物线、对称轴与y轴所围成的图形（图中阴影部分）的面积为（）A．4B．6C．8D．16【答案】C.考点:二次函数图象与几何变换．2.如图，点A、B、C、D为圆O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿线段OC--线段DO的路线作匀速运动.设运动时间为秒,∠APB的度数为y度，则下列图象中表示y与t的函数关系最恰当的是（）【答案】C考点：动点问题的函数图像3．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，2），动点A以每秒1个单位长的速度从点O出发沿轴的正方向运动，M是线段AC的中点，将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转得到线段AB．联结CB．设△ABC的面积为S，运动时间为秒，则下列图象中，能表示S与的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】试题分析：在Rt△OAB中，AC==，∵AB=AM=AC=，∴△ABC的面积S=AC•AC=（），故选C．考点：动点问题的函数图象．4．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠B=60°，M为AB的中点．动点P在菱形的边上从点B出发，沿B→C→D的方向运动，到达点D时停止．连接MP，设点P运动的路程为x，MP2＝y，则表示y与x的函数关系的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】B．（2）当＜x≤2时，如图，过M作ME⊥BC与E，∵BM=1，∠B=60°，∴BE=，ME=，PE=，∴，∴；(3)当2＜x≤4时，如图，连结MC，∵BM=1，BC=AB=2，∠B=60°，∴∠BMC=90°，MC=，∵AB∥DC，∴∠MCD=∠BMC=90°，∴，∴；综合（1）（2）（3），只有B选项符合题意，故选B．考点：动点问题的函数图象．学科网5．如图，下列图形中，阴影部分面积为1的是（）【答案】D考点：函数图形与坐标轴围成的面积计算6．图中有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是（）A.h=mB.k=nC.k>nD.h>0，k>0【答案】B【解析】试题分析：由解析式可知y=（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）；y=（x﹣m）2+n的顶点坐标为（m，n）．A、由于两抛物线有相同的对称轴，可得h=n，命题正确，故错误；B、由两抛物线顶点位置可知，k=n，命题错误，故正确；C、由两抛物线顶点位置可知，k＞n，命题正确，故错误；D、由y=（x﹣h）2+k的位置可知，h＞0，k＞0，命题正确，故错误；故选B考点：二次函数的图象7．如菱形OABC的顶点A在x轴正半轴△BCD的最大值．【答案】．考点：菱形的性质；二次函数的性质；最值问题．8.如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE=S△ABC时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠BAP=∠CAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=x2+x﹣5；(2)E点坐标为（﹣2，﹣5）；(3)存在满足条件的点P，其横坐标为或．试题解析：（1）把A、B两点坐标代入解析式可得，解得a=，b=，∴抛物线解析式为y=x2+x﹣5；（2）在y=x2+x﹣5中，令x=0可得y=﹣5，∴C（0，﹣5），∵S△ABE=S△ABC，且E点在x轴下方，∴E点纵坐标和C点纵坐标相同，当y=﹣5时，代入可得x2+x=﹣5，解得x=﹣2或x=0（舍去），∴E点坐标为（﹣2，﹣5）；（3）假设存在满足条件的P点，其坐标为（m，m2+m﹣5），如图，连接AP、CE、AE，过E作ED⊥AC于点D，过P作PQ⊥x轴于点Q，则AQ=AO+OQ=5+m，PQ=|m2+m﹣5|，在Rt△AOC中，OA=OC=5，则AC=5，∠ACO=∠DCE=45°，由（2）可得EC=2，在Rt△EDC中，可得DE=DC=，∴AD=AC﹣DC=5﹣=4，当∠BAP=∠CAE时，则△EDA∽△PQA，∴，即=，∴m2+m﹣5=（5+m）或m2+m﹣5=﹣（5+m），当m2+m﹣5=（5+m）时，整理可得4m2﹣5m﹣75=0，解得m=或m=﹣5（与A点重合，舍去），当m2+m﹣5=﹣（5+m）时，整理可得4m2+11m﹣45=0，解得m=或m=﹣5（与A点重合，舍去），∴存在满足条件的点P，其横坐标为或．考点：二次函数综合题．学科网10如图，抛物线L：y=ax2+bx+c与x轴交于A、B（3，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3），已知对称轴x=1．（1）求抛物线L的解析式；（2）将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内（包括△OBC的边界），求h的取值范围；（3）设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x=﹣3上，△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．【答案】(1)y=﹣x2+2x+3；(2)2≤h≤4；(3)（1，4），（0，3），（，）和（，）．【解析】试题分析：(1)、利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；(2)、先求出直线BC解析式为y=﹣x+3，再求出抛物线顶点坐标，得出当x=1时，y=2；结合抛物线顶点坐即可得出结果；(3)、设P（m，﹣m2+2m+3），Q（﹣3，n），由勾股定理得出PB2=（m﹣3）2+（﹣m2+2m+3）2，PQ2=（m+3）2+（﹣m2+2m+3﹣n）2，BQ2=n2+36，过P点作PM垂直于y轴，交y轴与M点，过B点作BN垂直于MP的延长线于N点，由AAS证明△PQM≌△BPN，得出MQ=NP，PM=BN，则MQ=﹣m2+2m+3﹣n，PN=3﹣m，得出方程﹣m2+2m+3﹣n=3﹣m，解方程即可．(2)、∵C（0，3），B（3，0），∴直线BC解析式为y=﹣x+3，∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标为（1，4）∵对于直线BC：y=﹣x+1，当x=1时，y=2；将抛物线L向下平移h个单位长度，[源:∴当h=2时，抛物线顶点落在BC上；当h=4时，抛物线顶点落在OB上，∴将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内（包括△OBC的边界），则2≤h≤4；(3)、设P（m，﹣m2+2m+3），Q（﹣3，n），①当P点在x轴上方时，过P点作PM垂直于y轴，交y轴与M点，过B点作BN垂直于MP的延长线于N点，如图所示：∵B（3，0），∵△PBQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠BPQ=90°，BP=PQ，则∠PMQ=∠BNP=90°，∠MPQ=∠NBP，在△PQM和△BPN中，，∴△PQM≌△BPN（AAS），∴PM=BN，∵PM=BN=﹣m2+2m+3，根据B点坐标可得PN=3﹣m，且PM+PN=6，∴﹣m2+2m+3+3﹣m=6，解得：m=1或m=0，∴P（1，4）或P（0，3）．②当P点在x轴下方时，过P点作PM垂直于l于M点，过B点作BN垂直于MP的延长线与N点，同理可得△PQM≌△BPN，∴PM=BN，∴PM=6﹣（3﹣m）=3+m，BN=m2﹣2m﹣3，则3+m=m2﹣2m﹣3，解得m=或．∴P（，）或（，）．综上可得，符合条件的点P的坐标是（1，4），（0，3），（，）和（，）．考点：二次函数综合题学科网11.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（﹣4，0）．（1）求该二次函数的表达式及点C的坐标；（2）点D的坐标为（0，4），点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S．①求S的最大值；②在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S的值．【答案】（1），C（8，0）；（2）①50；②18．【解析】试题分析：（1）把A点和B点坐标代入得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线的解析式；然后计算函数值为0时对应的自变量的值即可得到C点坐标试题解析：（1）把A（0，8），B（﹣4，0）代入，得：，解得：，所以抛物线的解析式为；当y=0时，，解得，，所以C点坐标为（8，0）；（2）①连结OF，如图，设F（t，），∵S四边形OCFD=S△CDF+S△OCD=S△ODF+S△OCF，∴S△CDF=S△ODF+S△OCF﹣S△OCD===；当t=3时，△CDF的面积有最大值，最大值为25，∵四边形CDEF为平行四边形，∴S的最大值为50；②∵四边形CDEF为平行四边形，∴CD∥EF，CD=EF，∵点C向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D，∴点F向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E，即E（t﹣8，），∵E（t﹣8，）在抛物线上，∴，解得t=7，当t=7时，S△CDF==9，∴此时S=2S△CDF=18．考点：二次函数综合题；综合题；二次函数的最值；最值问题；动点型．12.如图，在平面直角坐标系中．有抛物线和.抛物线经过原点，与x轴正半轴交于点A，与其对称轴交于点B．P是抛物线上一点，且在x轴上方．过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q．过点Q作PQ的垂线交抛物线于点（不与点Q重合），连结.设点P的横坐标为m．（1）求a的值；（2）当抛物线经过原点时，设△与△OAB重叠部分图形的周长为l．①求的值；②求l与m之间的函数关系式；（3）当h为何值时，存在点P，使以点O、A、Q、为顶点的四边形是轴对称图形？直接写出h的值．【答案】（1）；（2）①；②；（3）h=3或或．试题解析：（1）∵抛物线经过原点，∴x=0时，y=0，∴9a+4=0，∴；（2）∵抛物线经过原点时，∴h=0，∵，∴．①将化为；设P（m，），Q（m，QUOTE），∴PQ＝，QQ′＝2m，∴=；②如图1中，当0＜m≤3时，设PQ与OB交于点E，与OA交于点F，∵，∠PQQ′=∠BMO=90°，∴△PQQ′∽△BMO，∴∠QPQ′=∠OBM，∵EF∥BM，∴∠OEF=∠OBM，∴∠OEF=∠QPQ′，∴OE∥PQ′，∵，∴EF=，OE=，∴l=OF+EF+OE==4m；当3＜m＜6时，如图2中，设PQ′与AB交于点H，与x轴交于点G，PQ交AB于E，交OA于F，作HM⊥OA于M．∵AF=6﹣m，tan∠EAF=，∴EF=，AE=，∵tan∠PGF=，PF=，∴GF=，∴AG=，∴GM=AM=，∵HG=HA==，∴l=GH+EH+EF+FG=．综上所述：．考点：二次函数综合题；分类讨论；压轴题．13.如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上，OC=8，OE=17，抛物线y=x2﹣3x+m与y轴相交于点A，抛物线的对称轴与x轴相交于点B，与CD交于点K．（1）将矩形OCDE沿AB折叠，点O恰好落在边CD上的点F处．①点B的坐标为（、），BK的长是，CK的长是；②求点F的坐标；③请直接写出抛物线的函数表达式；（2）将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠，点O恰好落在边CD上的点G处，连接OG，折痕与OG相交于点H，点M是线段EH上的一个动点（不与点H重合），连接MG，MO，过点G作GP⊥OM于点P，交EH于点N，连接ON，点M从点E开始沿线段EH向点H运动，至与点N重合时停止，△MOG和△NOG的面积分别表示为S1和S2，在点M的运动过程中，S1•S2（即S1与S2的积）的值是否发生变化？若变化，请直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值．温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．【答案】（1）①10，0，8，10；②（4，8）；③y=x2﹣3x+5.（2）不变．S1•S2=189．试题解析：（1）如图1中，①∵抛物线y=x2﹣3x+m的对称轴x=﹣=10，∴点B坐标（10，0），∵四边形OBKC是矩形，∴CK=OB=10，KB=OC=8，故答案分别为10，0，8，10．②在RT△FBK中，∵∠FKB=90°，BF=OB=10，BK=OC=8，∴FK==6，∴CF=CK﹣FK=4，∴点F坐标（4，8）．③设OA=AF=x，在RT△ACF中，∵AC2+CF2=AF2，∴（8﹣x）2+42=x2，∴x=5，∴点A坐标（0，5），代入抛物线y=x2﹣3x+m得m=5，∴抛物线为y=x2﹣3x+5．（2）不变．S1•S2=189．理由：如图2中，在RT△EDG中，∵GE=EO=17，ED=8，∴DG==15，∴CG=CD﹣DG=2，∴OG==2，∵CP⊥OM，MH⊥OG，∴∠NPN=∠NHG=90°，∵∠HNG+∠HGN=90°，∠PNM+∠PMN=90°，∠HNG=∠PNM，∴∠HGN=∠NMP，∵∠NMP=∠HMG，∠GHN=∠GHM，∴△GHN∽△MHG，∴，∴GH2=HN•HM，∵GH=OH=，∴HN•HM=17，∵S1•S2=•OG•HN••OG•HM=（•2）2•17=289．考点：二次函数综合题.学科网三、中考典测——实战演练1．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，其顶点坐标为A（﹣1，﹣3），与x轴的一个交点为B（﹣3，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①abc＞0；②不等式ax2+（b﹣m）x+c﹣n＜0的解集为﹣3＜x＜﹣1；③抛物线与x轴的另一个交点是（3，0）；④方程ax2+bx+c+3=0有两个相等的实数根；其中正确的是（）A．①③B．②③C．③④D．②④【答案】D【解析】【分析】①错误．由题意a＞0．b＞0，c＜0，abc＜0；

②正确．因为y1=ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y2=mx+n（m≠0）交于A，B两点，当ax2+bx+c＜mx+n时，-3＜x＜-1；即不等式ax2+（b-m）x+c-n＜0的解集为-3＜x＜-1；故②正确；

③错误．抛物线与x轴的另一个交点是（1，0）；

④正确．抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y=-3只有一个交点，方程ax2+bx+c+3=0有两个相等的实数根，故④正确．【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，

∵抛物线交y轴于负半轴，∴c＜0，

∵对称轴在y轴左边，∴-b2a＜0，

∴b＞0，

∴abc＜0，故①错误．

∵y1=ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y2=mx+n（m≠0）交于A，B两点，

当ax2+bx+c＜mx+n时，-3＜x＜-1；

即不等式ax2+（b-m）x+c-n＜0的解集为-3＜x＜-1；故②正确，

抛物线与x轴的另一个交点是（1，0），故③错误，

∵抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y=-3只有一个交点，

∴方程ax2+bx+c+3=0有两个相等的实数根，故④正确．

故选：D2．抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）过A（4，4），B（2，m）两点，点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤1，则实数m的取值范围是（）A．m≤2或m≥3B．m≤3或m≥4C．2＜m＜3D．3＜m＜4【答案】B【解析】【分析】把A（4，4）代入抛物线y=ax2+bx+3得4a+b=14，根据对称轴x=-b2a，B（2，m），且点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0<d≤1，所以0<|2-(-b2a)|≤1，解得a≥18或a≤-17，把B（2，m）代入y=ax2+bx+3得：4a+2b+3=m，得到a=78-m4，所以78-m4【详解】把A(4,4)代入抛物线y=ax2+bx+3得：16a+4b+3=4，∴16a+4b=1，∴4a+b=14∵对称轴x=−b2a,B(2,m)，且点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0<d≤1∴0<|2−(−b2a)|≤∴0<|4a+b2a|≤1∴|18a|≤1∴a≥18或a≤−1把B(2,m)代入y=ax2+bx+3得：4a+2b+3=m，2(2a+b)+3=m，2(2a+14−4a)+3=m72−4a=ma=78-m∴78-m4≥18或78-∴m≤3或m≥4.故答案选：B.【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质.3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+23x的顶点为A点，且与x轴的正半轴交于点B，P点为该抛物线对称轴上一点，则OP+12A．3+2214B．3+232C．【答案】C【解析】【分析】连接AO、AB，PB，作PH⊥OA于H，BC⊥AO于C，如图，解方程得到﹣x2+23x=0得B（23，0），利用配方法得到A（3，3），则OA=23，从而可判断△AOB为等边三角形，接着利用∠OAP=30°得到PH=12AP，利用抛物线的对称性得到PO=PB，所以OP+12AP=PB+PH，根据两点之间线段最短得到当H、P、B共线时，PB+PH的值最小，最小值为BC的长，然后计算出BC【详解】连接AO、AB，PB，作PH⊥OA于H，BC⊥AO于C，如图，当y=0时，﹣x2+23x=0，解得x1=0，x2=23，则B（23，0），y=﹣x2+23x=﹣（x﹣3）2+3，则A（3，3），∴OA==23，而AB=AO=23，∴AB=AO=OB，∴△AOB为等边三角形，∴∠OAP=30°，∴PH=12AP．∵AP垂直平分OB，∴PO=PB，∴OP+12AP=PB+PH，当H、P、B共线时，PB+PH的值最小，最小值为BC的长，而BC=32AB=32×23=3，∴OP+12故选C．4．如图，抛物线y＝ax2﹣1（a＞0）与直线y＝kx+3交于MN两点，在y轴负半轴上存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称，则点P的坐标是_____【答案】(0,-5)【解析】【分析】根据题意设M（xM，kxM+3），N（xN，kxN+3），P（0，t），然后根据抛物线与直线的交点得出一元二次方程，然后由根与系数的关系求得xM+xN＝ka，xM×xN＝﹣4a，再由相似三角形的判定和性质求得t，继而求得点【详解】如图作MB⊥y轴，NA⊥y轴∵M，N是直线y＝kx+3的点∴设M（xM，kxM+3），N（xN，kxN+3），P（0，t）∵抛物线y＝ax2﹣1（a＞0）与直线y＝kx+3交于MN两点∴ax2﹣1＝kx+3ax2﹣kx﹣4＝0∴xM+xN＝ka，xM×xN＝﹣4∵直线PM与PN总是关于y轴对称∴∠MPA＝∠NPA，且∠MBP＝∠NAP＝90°∴△MBP∽△NAP，∴MBNA=PB∴（﹣xM﹣xN）（3﹣t）＝2kxMxN∴﹣ka（3﹣t）＝2k×（-4∴t＝﹣5∴P（0，﹣5）.故答案为（0，﹣5）5．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A的坐标为（3，0），顶点B在y轴正半轴上，顶点D在x轴负半轴上．若抛物线y=-x2-5x+c经过点B、C，则菱形ABCD的面积为_______．【答案】20【解析】【分析】根据抛物线的解析式结合抛物线过点B、C，即可得出点C的横坐标，由菱形的性质可得出AD=AB=BC=5，再根据勾股定理可求出OB的长度，套用平行四边形的面积公式即可得出菱形ABCD的面积．【详解】抛物线的对称轴为x=-b2a∵抛物线y=-x2-5x+c经过点B、C，且点B在y轴上，BC∥x轴，∴点C的横坐标为-5．∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=AD=5，∴点D的坐标为（-2，0），OA=3．在Rt△ABC中，AB=5，OA=3，∴OB=AB2∴S菱形ABCD=AD•OB=5×4=20．故答案为：20．6．如图，抛物线y=-x2+2x+3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点C关于抛物线的对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形【答案】【解析】【分析】根据抛物线解析式求得点D（1，4）、点E（2，3），作点D关于y轴的对称点D′（﹣1，4）、作点E关于x轴的对称点E′（2，﹣3），从而得到四边形EDFG的周长＝DE＋DF＋FG＋GE＝DE＋D′F＋FG＋GE′，当点D′、F、G、E′四点共线时，周长最短，据此根据勾股定理可得答案.【详解】如图，在y＝﹣x2＋2x＋3中，当x＝0时，y＝3，即点C（0,3），∵y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣（x－1）2＋4，∴对称轴为x＝1，顶点D（1,4），则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2,3），作点D关于y轴的对称点D′（﹣1,4），作点E关于x轴的对称点E′（2，﹣3）,连结D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点，四边形EDFG的周长＝DE＋DF＋FG＋GE＝DE＋D′F＋FG＋GE′＝DE＋D′E′＝＝∴四边形EDFG周长的最小值是.7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣3，0）与B（1，0），与直线y＝kx（k≠0）交于点C（﹣2，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点E是抛物线上（x轴下方）的一个动点，过点E作x轴的平行线与直线OC交于点F，试判断在点E运动过程中，以点O，B，E，F为顶点的四边形能否构成平行四边形，若能，请求出点E的坐标；若不能，请说明理由．（3）如图2，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DM交x轴于点M，当点E在抛物线上B，D之间运动时，连接EA交DM于点N，连接BE并延长交DM于点P，猜想在点E的运动过程中，MN+MP的和是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）点E的坐标为（-32，-154）或（-1-734，9-3738）；（3）在点【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），把点C（﹣2，﹣3）代入，得a＝1，即抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）设点E（m，m2+2m﹣3），由于直线y＝kx（k≠0）经过点C（﹣2，﹣3），可得直线表达式为y＝32x，因为EF平行OA，可求得点F的横坐标，进而得出EF的长度，当EF＝OB＝1时，以点O，B，E，F为顶点的四边形构成平行四边形，即m-23m2（3）如图，作EH⊥OA于点H，证明△BEH∽△BPM，△AMN∽△AHE，可得PMHE=BMBH,MNHE=AHAH，设点E（m，m2+2m﹣3），可求得MP＝2m+6，MN＝2﹣【详解】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣3，0）与B（1，0），与直线y＝kx（k≠0）交于点C（﹣2，﹣3），∴设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），点C（﹣2，﹣3）代入，得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）设点E（m，m2+2m﹣3），∵直线y＝kx（k≠0）经过点C（﹣2，﹣3），∴﹣3＝﹣2k，k＝32∴y＝32x∵过点E作x轴的平行线与直线OC交于点F，∴m2+2m﹣3＝32x∴x=23当EF＝OB＝1时，以点O，B，E，F为顶点的四边形构成平行四边形，∴m-2解得m＝1（舍去）或m＝-32或m＝-1-734或m∴点E的坐标为32,15（3）如图，作EH⊥OA于点H，∵PM⊥OA，∴PM∥EH，∴△BEH∽△BPM，△AMN∽△AHE，∴PMHE设点E（m，m2+2m﹣3），则PH-∴MP＝2