专题08 二次函数的图象与性质（练）-备战2019年中考数学二轮复习讲练测（解析版）

备战2019年中考二轮讲练测（精选重点典型题）专题08二次函数的图象与性质（练案）一练基础——基础掌握1．在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是（）A．B．C．D．【答案】A．【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减，求出得到的抛物线的解析式是多少即可．【解析】将抛物线向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是：，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是：y==．故选A．考点：二次函数图象与几何变换．2．已知二次函数，当x≥2时，y的取值范围是（）A．y≥3B．y≤3C．y＞3D．y＜3【答案】B．考点：二次函数的性质．3．设二次函数y1=a（x−x1）（x−x2）（a≠0，x1≠x2）的图象与一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象交于点（x1，0），若函数y=y2+y1的图象与x轴仅有一个交点，则（）A．a（x1−x2）=dB．a（x2−x1）=dC．a（x1−x2）2=dD．a（x1+x2）2=d【答案】B【解析】试题分析：首先将图像的交点（，0）代入一次函数解析式可得：e=－d，然后将两个函数合成一个函数，将其化成一般形式，即y=a－[a（+）+d]x+a－d，然后根据函数与x轴只有一个交点，则当y=0时的一元二次方程的△=0，然后将△进行因式分解得出答案．考点：二次函数与一元二次方程、因式分解．4．已知二次函数（a＞0）的图象经过点A（﹣1，2），B（2，5），顶点坐标为（m，n），则下列说法错误的是（）A．c＜3B．m≤C．n≤2D．b＜1【答案】B．【分析】根据已知条件得到，解方程组得到c=3﹣2a＜3，b=1﹣a＜1，求得二次函数的对称轴为x=，根据二次函数的顶点坐标即可得到结论．【解析】由已知可知：，消去b得：c=3﹣2a＜3，消去c得：b=1﹣a＜1，对称轴：x=，∵A（﹣1，2），a＞0，那么顶点的纵坐标为函数的最小值，∴n≤2，故B错．故选B．考点：二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征5．二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）中x与y的部分对应值如下表：x﹣2﹣101234y50﹣3﹣4﹣305给出以下三个结论：（1）二次函数y=ax2+bx+c最小值为﹣4；（2）若y＜0，则x的取值范围是0＜x＜2；（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧，则其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】【分析】根据表格数据确定出二次函数的顶点坐标，开口方向，与x轴的交点坐标，然后再逐一进行判断即可得解.【详解】由表格得：二次函数顶点坐标为（1，﹣4），开口向上，与x轴交点坐标为（﹣1，0）与（3，0），则（1）二次函数y=ax2+bx+c最小值为﹣4，正确；（2）若y＜0，则x的取值范围是﹣1＜x＜3，错误；（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧，正确，故选C．6．已知二次函数y=x2﹣2x+2在t≤x≤t+1时有最小值是t，则t的值是（）A．1B．2C．1或2D．±1或2【答案】C【解析】【分析】利用x的取值范围和二次函数图象的性质求函数的值域.【详解】解：y=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，分类讨论：（1）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1右侧时，有t＜1，此时y随x的增大而减小，∴当x=t+1时，函数取得最小值，y最小值=t=（t+1）2﹣2（t+1）+2，方程无解．（2）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1内时，即有t≤1≤t+1，解这个不等式，即0≤t≤1．此时当x=1时，函数取得最小值，y最小值=1，∴t=1．（3）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1左侧时，即t＞1时，y随x的增大而增大，∵当x=t时，函数取得最小值，y最小值=t=t2﹣2t+2，解得t=2或1（舍弃）∴t=1或2．故选：C．7．抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标xx-2-1012y04664小聪观察上表，得出下面结论：抛物线与x轴的一个交点为(3,0)；

函数y=ax2+bx+c的最大值为6；抛物线的对称轴是x=12；在对称轴左侧，y随x增大而增大.其中正确有A．鈶犫憽B．鈶犫憿C．D．【答案】D【解析】【分析】根据表中数据和抛物线的对称形，可得到抛物线的开口向下，当x=3时，y=0，即抛物线与x轴的交点为和；因此可得抛物线的对称轴是直线x=3-【详解】根据图表，当x=-2，y=0，根据抛物线的对称形，当x=3时，y=0，即抛物线与x轴的交点为抛物线的对称轴是直线x=3-5根据表中数据得到抛物线的开口向下，当x=12时，函数有最大值，而不是x=0，或1并且在直线x=12的左侧，y所以正确，错，故选D．8.如菱形OABC的顶点A在x轴正半轴△BCD的最大值．【答案】15．【分析】设D（x，），根据勾股定理求得OC，根据菱形的性质得出BC，然后根据三角形面积公式得出∴S△BCD==，根据二次函数的性质即可求得最大值．【解析】∵D是抛物线上一点，∴设D（x，），∵顶点C的坐标为（4，3），∴OC==5，∵四边形OABC是菱形，∴BC=OC=5，BC∥x轴，∴S△BCD==，∵＜0，∴S△BCD有最大值，最大值为15，故答案为：15．考点：菱形的性质；二次函数的性质；最值问题．9．在关于x，y的二元一次方程组中．（1）若，求方程组的解；（2）若，当为何值时，S有最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）用加减消元法求解即可；（2）把方程组的两个方程相加得到，然后代入整理，再利用二次函数的最值问题解答．（2）方程组的两个方程相加得，，所以，=，所以，当时，S有最小值．考点：1．二次函数的最值；2．解二元一次方程组．10．如图，已知抛物线的顶点D的坐标为（1，），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为（4，0）．P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m．（l）求抛物线所对应的二次函数的表达式；（2）若动点P满足∠PAO不大于45°，求P点的横坐标m的取值范围；（3）当P点的横坐标时，过p点作y轴的垂线PQ，垂足为Q．问：是否存在P点，使∠QPO=∠BCO？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）﹣4≤m≤0；（3）P（，）或P（，）．试题解析：（1）由A、B点的函数值相等，得：A、B关于对称轴对称．A（4，0），对称轴是x=1，得：B（﹣2，0）．将A、B、D点的坐标代入解析式，得：，解得：，抛物线所对应的二次函数的表达式；（2）如图1作C点关于原点的对称点D，OC=OD=OA=4，∠OAC=∠DAO=45°，AP在射线AC与AD之间，∠PAO＜45°，直线AD的解析式为，联立AD于抛物线，得：，解得x=﹣4或x=4，∵E点的横坐标是﹣4，C点的横坐标是0，P点的横坐标的取值范围是﹣4≤m≤0；（3）存在P点，使∠QPO=∠BCO，①若点P在第二象限，如图2，设P（a，），由∠QPO=∠BCO，∠PQO=CBO=90°，∴△PQO∽△COB，∴，即=，化简，得，解得或（不符合题意，舍），∴=，∴P点坐标为（，）；考点：二次函数综合题．二练能力——综合运用1．已知一次函数（k≠0）和二次函数（a≠0）的自变量和对应函数值如表：当时，自变量x的取值范围是（）A．x＜﹣1B．x＞4C．﹣1＜x＜4D．x＜﹣1或x＞4【答案】D．【分析】先在表格中找出点，用待定系数法求出直线和抛物线的解析式，用建立不等式，求解不等式即可．考点：二次函数与不等式（组）．2．已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或3【答案】B．【分析】由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1、x＞h时，y随x的增大而增大、当x＜h时，y随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可．考点：二次函数的最值；分类讨论；最值问题．3．在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线y=ax2﹣x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．a≤﹣1或14≤a＜13B．14C．a≤14或a＞13D．a≤﹣1或【答案】A【解析】分析：根据二次函数的性质分两种情形讨论求解即可；详解：∵抛物线的解析式为y=ax2-x+2．观察图象可知当a＜0时，x=-1时，y≤2时，满足条件，即a+3≤2，即a≤-1；当a＞0时，x=2时，y≥1，且抛物线与直线MN有交点，满足条件，∴a≥14∵直线MN的解析式为y=-13x+5由，消去y得到，3ax2-2x+1=0，∵△＞0，∴a＜13∴14≤a＜1综上所述，满足条件的a的值为a≤-1或14≤a＜1故选：A．4．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标是（-1，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，写出点P的坐标（不要求写解题过程）．【答案】（1）；（2）P的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）；（3）点P的坐标是：（，2）或（，2）．【解析】试题分析：（1）根据A的坐标，即可求得OA的长，则B、C的坐标即可求得，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）分点A为直角顶点时，和C的直角顶点两种情况讨论，根据OA=OC，即可列方程求解；（2）存在．第一种情况，当以C为直角顶点时，过点C作CP1⊥AC，交抛物线于点P1．过点P1作y轴的垂线，垂足是M．∵∠ACP1=90°，∴∠MCP1+∠ACO=90°．∵∠ACO+∠OAC=90°，∴∠MCP1=∠OAC．∵OA=OC，∴∠MCP1=∠OAC=45°，∴∠MCP1=∠MP1C，∴MC=MP1，设P（，），则，解得：（舍去），．∴，即P（2，6）．第二种情况，当点A为直角顶点时，过A作AP2，AC交抛物线于点P2，过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F．∴P2N∥x轴，由∠CAO=45°，∴∠OAP=45°，∴∠FP2N=45°，AO=OF．∴P2N=NF，设P2（，），则，解得：，（舍去），∴，则P2的坐标是（﹣2，﹣6）．综上所述，P的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）；考点：1．二次函数综合题；2．等腰三角形的判定与性质．5．设m,n是任意两个实数，规定m,n两数较大的的数称作这两个数的“绝对最值”，用sec(m,n)表示。例如：sec(-1，-2)=-1，sec(1,2)=2,sec(0,0)=0,参照上面的材料，解答下列问题：（1）sec(,3.14)=________,sec(-20182019,-20172018（2）若sec(-3x-1,x+1)=-3x-1,求x的取值范围；（3）求函数y=x2-2x-4与y=-x+2的图象的交点坐标，函数y=x2-2x-4图象如图所示，请你在图中作出函数y=-x+2【答案】（1）π，-20172018（2）x≤-12（3）函数y=x2-2x-4与y=-x+2的图象的交点坐标为：（-2,4），（3，-1）；函数y=-x+2的图象见解析；sec（-x+2,x2-2x-4）的最小值是：-1.【解析】【分析】（1）根据题目中的规定比较大小直接写出即可；（2）根据题目中的规定转换成解一元一次不等式即可；（3）把求交点转换成解一元二次方程即可求出，根据题意画出函数图象即可，观察图象即可sec（-x+2,x2-2x-4）的最小值.【详解】解：（1）∵π>3.14，-20182019<-20172018∴sec(π,3.14)=π，sec(-20182019,-20172018)=-2017（2）∵sec(-3x-1,x+1)=-3x-1，∴-3x-1≥x+1，解得x≤-12（3）由题意可得二次函数和一次函数的交点可解方程：x2-2x-4=-x+2，解得x1=-2，x2=3，∴交点坐标为（-2,4），（3，-1）；直线y=-x+2的图象如图所示：；6．已知y=x2(1)求证：抛物线与x轴一定有两个交点；(2)点A(-2,y1)、B(1,y2)、【答案】（1）见解析；（2）y=x2-52x，y2＜y【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式求出即可；（2）由抛物线经过原点可求得m=12，从而得到抛物线的解析式，然后可求得y1、y2、y【详解】（1）y=x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）．∵△=[﹣（m+2）]2﹣4×1×（2m﹣1）=（m－2）2+4＞0，∴抛物线与x轴一定有两个交点；（2）∵抛物线y=x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）经过原点，∴2m﹣1=0．解得：m=12，∴抛物线的解析式为y=x2-当x=﹣2时，y1=9；当x=1时，y2=－3.5；当x=4时，y3=6，∴y2＜y3＜y1．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，求得m的值是解题的关键．7．如图，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2（1）求抛物线的解析式；（2）作Rt△OBC的高OD，延长OD与抛物线在第一象限内交于点E，求点E的坐标；（3）①在x轴上方的抛物线上，是否存在一点P，使四边形OBEP是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；②在抛物线的对称轴上，是否存在上点Q，使得△BEQ的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣12x2+12x+3；（2）（2，2）；（3）①存在，（﹣1，2）；②存在，（12，【解析】【分析】（1）先根据已知条件得出A点及C点坐标，利用待定系数法即可求出此抛物线的解析式；（2）y＝0代入（1）中所求二次函数的解析式即可的出此函数与x轴的交点坐标，由OD平分∠BOC可知OE所在的直线为y＝x，再解此直线与抛物线组成的方程组即可求出E点坐标；（3）①过点E作x轴的平行线与抛物线交于另一点P，连接BE、PO，把y＝2代入二次函数解析式即可求出P点坐标，进而可得出四边形OBEP是平行四边形；②设Q是抛物线对称轴上的一点，连接QA、QB、QE、BE，由QA＝QB可知△BEQ的周长等于BE+QA+QE，由A、E两点的坐标可得出直线AE的解析式，再根据抛物线的对称轴是x＝12可求出Q【详解】解：（1）∵OA＝2，∴点A的坐标为（﹣2，0）．∵OC＝3，∴点C的坐标为（0，3）．∵把（﹣2，0），（0，3）代入y＝﹣12x2+bx+c，得0=-2-2b+c3=c∴抛物线解析式为y＝﹣12x2+12x（2）把y＝0代入y＝﹣12x2+12x解得x1＝﹣2，x2＝3∴点B的坐标为（3，0），∴OB＝OC＝3∵OD⊥BC，∴OD平分∠BOC∴OE所在的直线为y＝x解方程组得x1=2y1∵点E在第一象限内，∴点E的坐标为（2，2）．（3）①存在，如图1，过点E作x轴的平行线与抛物线交于另一点P，连接BE、PO，把y＝2代入y＝﹣12x2+12x解得x1＝﹣1，x2＝2∴点P的坐标为（﹣1，2），∵PE∥OB，且PE＝OB＝3，∴四边形OBEP是平行四边形，∴在x轴上方的抛物线上，存在一点P（﹣1，2），使得四边形OBEP是平行四边形；②存在，如图2，设Q是抛物线对称轴上的一点，连接QA、QB、QE、BE，∵QA＝QB，∴△BEQ的周长等于BE+QA+QE，又∵BE的长是定值∴A、Q、E在同一直线上时，△BEQ的周长最小，由A（﹣2，0）、E（2，2）可得直线AE的解析式为y＝12x+1∵抛物线的对称轴是x＝1∴点Q的坐标为（12，5∴在抛物线的对称轴上，存在点Q（12，54），使得△8．如图，抛物线y=ax²-2x+c(a≠0)与x轴，y轴分别交于点A，B，C三点，已知点(-2,0)，C(0,-8)，点D是抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)如图，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EB直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；【答案】(1)y=x2﹣2x﹣8；D(1，﹣9)；(2)P(1+372，1-【解析】【分析】（1）将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式可求得a、c的值，从而得到抛物线的解析式，最后利用配方法可求得点D的坐标；

（2）将y=0代入抛物线的解析式求得点B的坐标，然后由抛物线的对称轴方程可求得点E的坐标，由折叠的性质可求得∠BEP=45°，设直线EP的解析式为y=-x+b，将点E的坐标代入可求得b的值，从而可求得直线EP的解析式，最后将直线EP的解析式和抛物线的解析式联立组成方程组求解即可.【详解】解：(1)将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式得：&4a+4+c=0&c=-8解得：a=1，c=﹣8．∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8．∵y=(x﹣1)2﹣9，∴D(1，﹣9)．(2)将y=0代入抛物线的解析式得：x2﹣2x﹣8=0，解得x=4或x=﹣2，∴B(4，0)．∵y=(x﹣1)2﹣9，∴抛物线的对称轴为x=1，∴E(1，0)．∵将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，∴EP为∠BEF的角平分线．∴∠BEP=45°．设直线EP的解析式为y=﹣x+b，将点E的坐标代入得：﹣1+b=0，解得b=1，∴直线EP的解析式为y=﹣x+1．将y=﹣x+1代入抛物线的解析式得：﹣x+1=x2﹣2x﹣8，解得：x=1-372或x=∵点P在第四象限，∴x=1+37∴y=1-37∴P(1+372，1-9．如图，已知抛物线y＝x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C为顶点，直线y＝x+m经过点A，与y轴交于点D．（1）求线段AD的长；（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．【答案】（1）22;(2)y＝x2﹣4x+2或y＝x2+6x+2．【解析】【分析】（1）解方程求出点A的坐标，根据勾股定理计算即可；（2）设新抛物线对应的函数表达式为：y＝x2+bx+2，根据二次函数的性质求出点C′的坐标，根据题意求出直线CC′的解析式，代入计算即可．【详解】解：（1）由x2﹣4＝0得，x1＝﹣2，x2＝2，∵点A位于点B的左侧，∴A（﹣2，0），∵直线y＝x+m经过点A，∴﹣2+m＝0，解得，m＝2，∴点D的坐标为（0，2），∴AD＝OA2+OD（2）设新抛物线对应的函数表达式为：y＝x2+bx+2，y＝x2+bx+2＝（x+b2）2+2﹣b则点C′的坐标为（﹣b2，2﹣b∵CC′平行于直线AD，且经过C（0，﹣4），∴直线CC′的解析式为：y＝x﹣4，∴2﹣b24＝﹣b2解得，b1＝﹣4，b2＝6，∴新抛物线对应的函数表达式为：y＝x2﹣4x+2或y＝x2+6x+2．10．已知抛物线W：y=x²-4x+2的顶点为A，与x轴交于点B、C.（1）求∠ABC的正切值；（2）若点P是抛物线W上的一点，过P作直线PQ垂直x轴，将抛物线W关于直线PQ对称，得到抛物线Wˊ，设抛物线Wˊ的顶点Aˊ，问：是否存在这样的点P，使得△APAˊ为直角三角形？若存在，求出对称所得的抛物线Wˊ的表达式；若不存在，请说明理由.【答案】（1）.【解析】【分析】（1）如图，设对称轴与x轴交点为D，令y=0，可求出A、B两点坐标，可得BD的长，把抛物线解析式变成顶点式可得顶点坐标，可得AD的长，根据正切的定义求出叫ABC的正切值即可；（2）如图，设P（a，a2-4a+2），对称轴x=a与AA′交于E，由（1）可知原抛物线对称轴为直线x=2，A点坐标为（2，-2），当a>2时，由抛物线W与W′关于x=a对称，且∠APA′=90°，可得△APA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质可得PE=AE，即可求出a的值，进而可得A′点坐标，根据顶点式即可得抛物线W′的解析式；同理可求出当a<2时抛物线W′的解析式.【详解】（1）如图，设对称轴与x轴交点为D，令y=0，则x2-4x+2=0，解得x1=2-2，x2=2+2，∴B点坐标为（2-2，0），C点坐标为（2+2，0），∵y=x2-4x+2=(x-2)2-2，∴顶点坐标为（2，-2），对称轴为直线x=2，∴D点坐标为（2，0），∴BD=2，AD=2，∴tan∠ABC=ADBD=22=（2）如图，设P（a，a2-4a+2），对称轴x=a与AA′交于E，①当a>2时，A（2，-2），E（a，-2），∵抛物线W与抛物线W′关于直线x=a对称，∠APA′=90°，∴△APA′是等腰直角三角形，∴PE=AE，即a2-4a+2-(-2)=a-2，解得：a1=2(舍去)，a2=3，∴AE=3-2=1，∴A′点的横坐标为3+1=4，∴A′坐标为（4，-2），∴抛物线W′的解析式为y=(x-4)2-2.②如图，当a<2时，同理，PE=AE，∴a2-4a+2-(-2)=2-a，解得a1=2(舍去)，a2=1，∴AE=2-1=1，∴A′点的横坐标为1-1=0，∴A′点坐标为（0，-2），∴抛物线W′的解析式为y=x2-2.综上所述：抛物线W′的解析式为y=(x-4)2-2或y=x2-2.11．对于二次函数y＝mx2+（5m+3）x+4m（m为常数且m≠0）有以下三种说法：①不论m为何值，函数图象一定过定点（﹣1，﹣3）；②当m＝﹣1时，函数图象与坐标轴有3个交点；③当m＜0，x≥﹣6726时，函数y随x【答案】①是真命题，见解析；②是假命题，见解析；③是假命题，见解析.【解析】【分析】①根据二次函数y=mx2+（5m+3）x+4m，可进行变形，得到y═（x2+5x+4）m+3x，只要令x2+5x+4=0