江苏省南京市六校联合体考试2023-2024学年高一下学期4月期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南京市六校联合体考试2023-2024学年高一下学期4月期中数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故选：B.2.已知向量，若与垂直，则（）A.13 B. C.11 D.〖答案〗A〖解析〗因为向量，所以，若与垂直，则，解得：.故选：A.3.在中，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，即，所以，由余弦定理可得，又，所以.故选：B．4.在中，内角所对的边分别为，则（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗B〖解析〗易知，由正弦定理得，化简得.故选：B.5.已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（）A.三点共线 B.三点共线C.三点共线 D.三点共线〖答案〗C〖解析〗因为向量，是平面上两个不共线的单位向量，所以，可以作为一组基底，对于A，因为，，若三点共线，设，，则，无解，所以三点不共线，故A错误；对于B，若三点共线，设，，则，无解，所以三点不共线，故B错误；对于C，因为，因为有公共点，所以三点共线，故C正确；对于D，因为，，设，，则，无解，所以三点不共线，故D错误.故选：C.6.在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（）A. B. C.1 D.5〖答案〗D〖解析〗因为角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，所以，所以.故选：D.7.在平行四边形中，，则（）A.12 B.16 C.14 D.10〖答案〗A〖解析〗，，所以.故选：A.8.已知，且，，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，所以，化简得：，所以，又由，可得，所以，即，所以，所以，又，所以，所以.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.计算下列各式，结果为的是（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗对于A，，故A正确；对于B，因，可得，所以，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.故选：AC.10.对于有如下命题，其中正确的是（）A.若，则为钝角三角形B.若，则的面积为C.在锐角中，不等式恒成立D.若且有两解，则的取值范围是〖答案〗ACD〖解析〗选项A：中，若，即，所以由正弦定理得，又由余弦定理得，所以，为钝角三角形，A说法正确；选项B：中，若，则由正弦定理得，解得，所以或，所以或，的面积或，B说法错误；选项C：因为是锐角三角形，所以，所以，又，所以，则，又因为在单调递增，所以，C说法正确；选项D：如图所示，若有两解，则，解得，D说法正确.故选：ACD.11.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，求其法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即，现有满足，且，则（）A.的外接圆的半径为B.的内切圆的半径为C.若为的中点，则D.若为的外心，〖答案〗ACD〖解析〗由题知，因为，由正弦定理得，，设，所以，解得，则，又，所以，，所以的外接圆的半径为，A正确；因周长为，所以由，可得，故B错；对于C，因为为的中点，所以，又，所以在中，，所以，C正确；对于D，如图，，所以，，所以，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知灯塔A在海洋观测站C的北偏东40°的方向上，A，C两点间的距离为5海里．某时刻货船B在海洋观测站C的南偏东80°的方向上，此时B，C两点间的距离为8海里，该时刻货船B与灯塔A间的距离为______海里．〖答案〗7〖解析〗根据题意，画出示意图，如图，由已知可得AC＝5海里，BC＝8海里，∠ACB＝180°－40°－80°＝60°，由余弦定理可得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CBcos∠ACB，所以AB2＝52＋82－2×5×8×＝49，所以AB＝7海里．故〖答案〗为：7.13.已知，则________.〖答案〗〖解析〗由题意可得：.故〖答案〗为：.14.已知分别为的边上的点，线段和相交于点，若，且其中，则的最小值为_______.〖答案〗〖解析〗如图：因为，所以，又，所以，，所以，，又三点共线，所以，所以，，当且仅当时，即时，等号成立.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，，的夹角是60°，计算：（1），；（2）求和的夹角的余弦值.解：（1）由题可得，，所以.（2），设和的夹角为，所以.16.已知.（1）求的值；（2）若，求的值.解：（1）由，可得，.（2）由，可得，又，，，由，可得.17.在中，角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若，，为的中点，求．解：（1）因为，由正弦定理得，在中，，则有，，，又，，，，又，.（2）根据余弦定理有，

则有，解得或（舍去），为的中点，则，，．18.已知函数，xR.（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最小值并指出此时的取值；（3）若，求的值.解：（1），，的最小正周期为.（2）因为，所以，当，时，，故有最小值，此时.（3）因为，所以，又因为，所以，故，由，可得，.19.如图1，某景区是一个以C为圆心，半径为的圆形区域，道路成60°角，且均和景区边界相切，现要修一条与景区相切的观光木栈道，点分别在和上，修建的木栈道与道路，围成三角地块.（注：圆的切线长性质：圆外一点引圆的两条切线长相等）.（1）当为正三角形时，求修建的木栈道与道路围成的三角地块面积；（2）若的面积，求木栈道长；（3）如图2，若景区中心与木栈道段连线的.①将木栈道的长度表示为的函数，并指出定义域；②求木栈道的最小值.解：（1