上海市普陀区2024届高三下学期4月质量调研数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市普陀区2024届高三下学期4月质量调研数学试卷一、填空题1.已知复数，其中为虚数单位，则在复平面内所对应点的坐标为______.〖答案〗〖解析〗由题意，复数，在复平面内所对应的点的坐标为．故〖答案〗为：．2.已知，设集合，集合，若，则______.〖答案〗2〖解析〗集合,,，集合,，，则是的子集，当时，等式不成立，舍去，当时，解得，此时，,，满足题意，故．故〖答案〗为：2．3.若，则________.〖答案〗〖解析〗依题意.故〖答案〗为：4.已知，若，则______.〖答案〗〖解析〗若，且，则，则.故〖答案〗为：5.若实数，满足，则的最小值为______.〖答案〗〖解析〗因为，，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故〖答案〗为：.6.设，若，且，则______.〖答案〗〖解析〗因为，且，，所以是二项式系数最大的项，则，令，则，令，则，则.故〖答案〗为：7.为了提高学生参加体育锻炼的积极性，某校本学期依据学生特点针对性的组建了五个特色运动社团，学校为了了解学生参与运动的情况，对每个特色运动社团的参与人数进行了统计，其中一个特色运动社团开学第1周至第5周参与运动的人数统计数据如表所示.周次12345参与运动的人数3536403945若表中数据可用回归方程来预测，则本学期第11周参与该特色运动社团的人数约为______.（精确到整数）〖答案〗57〖解析〗，，把代入，得．可得线性回归方程为．把代入，可得．故〖答案〗为：57．8.设等比数列的公比为，则“，，成等差数列”的一个充分非必要条件是______.〖答案〗（或,〖答案〗不唯一）〖解析〗，，成等差数列，则，即，解得或，故“，，成等差数列”的一个充分非必要条件是（或．故〖答案〗为：（或,〖答案〗不唯一）9.若向量在向量上的投影为，且，则______.〖答案〗〖解析〗在上的投影为，，则，即又，平方得，则即．故〖答案〗为：．10.已知抛物线的焦点是双曲线的右焦点，过点的直线的法向量，与轴以及的左支分别相交，两点，若，则双曲线的实轴长为______.〖答案〗2〖解析〗由抛物线方程知，，又直线的法向量，所以直线的方程为，令，得，所以，设,，由，得,,，所以，，设双曲线方程，将代入得，因为抛物线的焦点是双曲线的右焦点，所以，解得，，所以双曲线的实轴长．故〖答案〗为：2．11.设，，是正整数，是数列的前项和，，，若，且，记，则______.〖答案〗7〖解析〗当，故，当时，，故，因为，故，所以，则，当时，，设数列，易知，必有1024，512，256，128，64，32，8,这7个数前面的系数为1，其余系数都是0，故．故〖答案〗为：7．12.已知，若关于的不等式的解集中有且仅有一个负整数，则的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗原不等式可化为：，令，，显然时，，单调递减；时，，单调递增，所以，且时，，,同一坐标系中，作出与（过定点的图象：据图可知，满足题意的整数解为，此时应满足，解得．故〖答案〗为：．二、选择题13.从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球，两个红球分别标记为、，白球标记为，则它的一个样本空间可以是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球的所有可能结果为，所以它的一个样本空间为.故选：B.14.若一个圆锥体积为，用通过该圆锥的轴的平面截此圆锥，得到的截面三角形的顶角为，则该圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设圆锥的底面圆半径为，高为，由轴截面三角形的顶角为，得，所以圆锥的体积为，解得，所以圆锥的母线长为，所以圆锥的侧面积为．故选：C．15.直线经过定点，且与轴正半轴、轴正半轴分别相交于，两点，为坐标原点，动圆在的外部，且与直线及两坐标轴的正半轴均相切，则周长的最小值是（）A.3 B.5 C.10 D.12〖答案〗C〖解析〗设动圆的圆心坐标为，即圆半径，由题意，设，，圆与直线相切于点，则，，所以，即的周长为，所以的周长最小即为圆半径最小，因为，则，整理得，解得或,当时，圆心在内，不合题意；当时，符合题意，即圆半径的最小值为，周长的最小值为．故选：C．16.设是数列的前项和，若数列满足：对任意的，存在大于1的整数，使得成立，则称数列是“数列”.现给出如下两个结论：①存在等差数列是“数列”；②任意等比数列都不是“数列”.则（）A.①成立②成立 B.①成立②不成立C.①不成立②成立 D.①不成立②不成立〖答案〗D〖解析〗由“G数列”的定义，对任意的n≥2，存在大于1的整数m，使得，成立，则对任意的n≥2，存在大于1的整数m，使得，对于命题①不成立，理由如下：假设存在，当时，总存在，由于对任意正整数，有，所以总存在正整数，使得与，所以不会存在，当时，总存在，由于对任意正整数，有，所以总存在正整数，使得与，所以不会存在，对于命题②不成立，理由如下：举例说明：如，有，因为，所以，可以取，就可以保证不等式成立，综上所述：①不成立，②不成立.故选：D.三、解答题17.如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点.（1）求证：平面；（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小.（1）证明：取线段、中点分别为、，连接、、，则，，又底面是正方形，即，则，即四边形为平行四边形，则，又在平面外，平面，故平面.（2）解：取线段的中点为点，连接、，又，底面是边长为的正方形，则，且，，又二面角的大小为，即平面平面，又平面，平面平面，则平面，则是直线与平面所成角，在中，，即，故直线与平面所成角的大小为.18.设函数，，，它的最小正周期为.（1）若函数是偶函数，求值；（2）在中，角、、的对边分别为、、，若，，，求的值.解：（1）因为函数的最小正周期为，且，所以，即，则，又函数是偶函数，则，，即，又，则.（2）由得，，又，，则，即，由余弦定理得，，即，则.19.张先生每周有5个工作日，工作日出行采用自驾方式，必经之路上有一个十字路口，直行车道有三条，直行车辆可以随机选择一条车道通行，记事件为“张先生驾车从左侧直行车道通行”.（1）某日张先生驾车上班接近路口时，看到自己车前是一辆大货车，遂选择不与大货车从同一车道通行.记事件为“大货车从中间直行车道通行”，求；（2）用表示张先生每周工作日出行事件发生的次数，求的分布及期望.解：（1）依题意得，事件的概率为，在事件发生的条件下事件发生的概率为，则.（2）依题意得，事件发生的次数可取：，所以，即，则的分布为：即，则，则所求的的期望.20.设椭圆，的离心率是短轴长的倍，直线交于、两点，是上异于、的一点，是坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线过的右焦点，且，，求的值；（3）设直线的方程为，且，求的取值范围.解：（1）由的离心率是短轴的长的倍，得，即，又，则，故椭圆的方程为.（2）设的左焦点为，连接，因为，所以点、关于点对称，又，则，由椭圆的对称性可得，，且三角形与三角形全等，则，又，化简整理得，，则.（3）设，，，又，则，，由得，，，由韦达定理得，，，又，则，，因为点在椭圆上，所以，化简整理得，，此时，，则，令，即，则，则的取值范围是.21.对于函数，和，，设，若，，且，皆有成立，则称函数与“具有性质”.（1）判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由；（2）若函数，与“具有性质”，求的取值范围；（3）若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证.（1）解：由，且，得，即，则，即，即，则函数与“具有性质”.（2）解：由函数与“具有性质”，得，，且，即，整理得，则对恒成立，又，