专题06 解直角三角形的应用（解析版）-2024年中考《数学》热点题型归纳与变式演练（全国卷）

第第页专题06解直角三角形的应用目录热点题型归纳 1题型01仰角与俯角问题 1题型02坡度问题 7题型03方位角问题 15中考练场 24题型01仰角与俯角问题【解题策略】仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．【典例分析】例．（2023·湖北襄阳·中考真题）在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，）

【答案】铜像的高度是；【分析】根据题意可得，从而求出，即可求解．【详解】解：由题意得：，，∴，∵四边形是矩形，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴铜像的高度是；【点睛】本题考查解直角三角形的应用，关键是求出．【变式演练】1．（2024·山西朔州·一模）山西“应县木塔”，又名山西“应县佛宫寺释迦塔”，它是当今世界上的第一奇塔．它不仅是中国，而且是世界上现存最古老、最高峻的木构建筑物，所以它在世界建筑中占有突出的地位．已知“应县木塔”的高度为米，塔前“女神雕像”的高度为米，木塔与雕像之间有障碍物，不能直接测量，某测量小组为了测量“应县木塔”与塔前“女神雕像”之间的距离，采用了如下测量方案（如图所示）：①他们在“木塔”和“雕像”之间选择一观景平台，测得“木塔”顶部的仰角为，测得“雕像”顶部的仰角为；②测得测角仪的高度为1.3米；③测得点在同一条直线上，，垂足分别是．求“应县木塔”与塔前“女神雕像”之间的距离．（结果精确到米，参考数据：）【答案】米【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定和性质，过点E作，交于M，交于M，构造矩形，，，再利用三角函数解和即可．【详解】解：如图，过点E作，交于M，交于M，，，，，四边形，，均为矩形，，，，．在中，，，在中，，，，即“应县木塔”与塔前“女神雕像”之间的距离约为米．2．（2024·陕西西安·一模）小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志．小港为测量小雁塔的高度、制定了如下测量方案：如图所示，当小港站在点A处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进至B处，测得仰角为、小港的身高忽略不计，请根据题目信息，求出小雁塔的高度．（参考数据：，结果精确到）【答案】【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，设，先解得到，再解得到，进而建立方程，解方程即可得到答案．【详解】解：设，在中，，∴，在中，，∴，∵，∴，解得，∴，∴小雁塔的高度约为．3．（2024·西藏拉萨·一模）如图，学校的教学楼对面是一幢办公楼，教学楼与办公楼的水平距离，卓玛在教学楼顶部A处测得办公楼顶部D处的俯角，测得办公楼底部C处俯角，求办公楼高CD（结果保留根号）【答案】办公楼的高为．【分析】此题考查了解直角三角形的应用（仰角俯角问题），过A作交的延长线于E，在和中，由三角函数定义求出、的长，即可解决问题．【详解】解：过A作交的延长线于E，则，在中，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，答：办公楼的高为．4．（2023·海南三亚·二模）某中学数学兴趣小组借助无人机测量一条河的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行60米至处，测得正前方河流右岸处的俯角为，线段的长为无人机距地面的铅直高度，点、、在同一条直线上，其中，米．(1)填空：度，度；(2)求无人机的飞行高度；(3)求河流的宽度．（结果保留根号）【答案】(1)60，30；(2)无人机的飞行高度为180米；(3)河流的宽度为米．【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题．（1）根据仰角、俯角的概念、平行线的性质解答；（2）根据正确的定义计算，得到答案；（3）过点作于点，根据正切的定义求出，进而求出．【详解】（1）解：，，∵，，，故答案为：60，30；（2）解：在中，米，，则（米，答：无人机的飞行高度为180米；（3）解：如图，过点作于点，则米，米，在中，，则（米，米，米，米，答：河流的宽度为米．题型02坡度问题【解题策略】坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或者叫做坡比），用字母表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用表示，则有.【典例分析】例．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，堤坝长为，坡度i为，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高的铁塔．小明欲测量山高，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角为．求堤坝高及山高．（，，，小明身高忽略不计，结果精确到）

【答案】堤坝高为8米，山高为20米．【分析】过B作于H，设，，根据勾股定理得到，求得，过B作于F，则，设，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：过B作于H，

∵坡度i为，∴设，，∴，∴，∴，过B作于F，则，设，∵．∴，∴，∵坡度i为，∴，∴，∴（米），∴（米），答：堤坝高为8米，山高为20米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角，解直角三角形的应用-坡角坡度，正确地作出辅助线是解题的关键．【变式演练】1．（2023·安徽·模拟）如图，一栋楼房后有一个小山坡，其坡度．某一时刻太阳光线与水平线的夹角为时，楼房在小山坡上的影长为25米，测得坡脚与楼房的水平距离米，求楼房的高度．（结果精确到1米，参考数据：）【答案】65米【分析】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形以及矩形的判定及性质，通过作恰当的辅助线，构造直角三角形，将实际问题转化成解直角三角形求解是解题的关键．过点分别作，交的延长线于点，于点，则四边形是矩形，．设，可得，由勾股定理得，解得，从而，在中，解直角三角形得米，从而即可得解．【详解】解：过点分别作，交的延长线于点，于点，则四边形是矩形，．在中，，设，可得，由勾股定理得，解得，，（米）．在中，，（米），（米）．答：楼房的高度约为65米．2．（2023·甘肃天水·模拟预测）如图，在葫芦河的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度的山坡，点C与点B在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为，然后沿坡面上行了米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为．

(1)求的值．(2)求楼的高度．【答案】(1)；(2)楼AB的高度为米．【分析】本题考查了解三角形的应用，勾股定理，矩形的判定与性质．（1）由，，解得；（2）过点D作于G，过点C作于H，则四边形、四边形、四边形都是矩形，，设，则，，在中，，代入即可得出结果．【详解】（1）解：在中，∵，，，∴，解得：.（2）解：如图，过点D作于G，过点C作于H，

∵，∴，∵，，∴，设，则，，在中，∵，∴，解得：，经检验，是方程的解．答：楼AB的高度为米．3．（2023·河南濮阳·三模）如图，李东在延时课上利用所学的数学知识测量校园内教学楼CD的高度，在教学楼前方有一斜坡，坡长，坡比，李东在A点处测得楼顶端C的仰角为，在B点处测得楼顶端C的仰角为（点A，B，C，D在同一平面内）．求教学楼的高度（结果精确到，参考数据：）【答案】教学楼的高度约为．【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．过点A作，垂足为F，过点A作，垂足为E，根据矩形的性质得到，，设，根据勾股定理得到，，在中，，设，求得，得到，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】解：过点A作，垂足为F，过点A作，垂足为E，，四边形是矩形，，在中，，，，设，，，，，在中，，，，设，，，在中，，，，解得：，，答：教学楼的高度约为．4．（2024·上海普陀·一模）如图，小河的对岸有一座小山，小明和同学们想知道山坡AB的坡度，但由于山坡AB前有小河阻碍，无法直接从山脚B处测得山顶A的仰角，于是小明和同学们展开了如下的测量：

第一步：从小河边的C处测得山顶A的仰角为；第二步：从C处后退30米，在D处测得山顶A的仰角为；第三步：测得小河宽BC为33米．已知点B、C、D在同一水平线上，请根据小明测量的数据求山坡AB的坡度．（参考数据：，，，，，）【答案】山坡AB的坡度【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过点A作，交的延长线于点H，根据正切的定义用表示出，进而出去，再求出，根据坡度的概念计算，得到答案．【详解】解：如图，过点A作，交的延长线于点H，

在中，，∵，∴，在中，，∵，∴，∵，∴，解得：，∴（米），∴，∴山坡的坡度为：．题型03方位角问题【解题策略】方向角：平面上，通过观察点作一条水平线（向右为东向）和一条铅垂线（向上为北向），则从点出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角.【典例分析】例．（2023·海南·中考真题）如图，一艘轮船在处测得灯塔位于的北偏东方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达处，测得灯塔位于的北偏东方向上，测得港口位于的北偏东方向上．已知港口在灯塔的正北方向上．

(1)填空：度，度；(2)求灯塔到轮船航线的距离（结果保留根号）；(3)求港口与灯塔的距离（结果保留根号）．【答案】(1)30，45(2)灯塔到轮船航线的距离为海里(3)港口与灯塔的距离为海里【分析】（1）作交于，作交于，由三角形外角的定义与性质可得，再由平行线的性质可得，即可得解；（2）作交于，作交于，由（1）可得：，从而得到海里，再由进行计算即可；（3）作交于，作交于，证明四边形是矩形，得到海里，，由计算出的长度，证明是等腰直角三角形，得到海里，即可得到答案．【详解】（1）解：如图，作交于，作交于，

，，，都是正北方向，，，，故答案为：30，45；（2）解：如图，作交于，作交于，

，由（1）可得：，海里，在中，，海里，海里；灯塔到轮船航线的距离为海里；（3）解：如图，作交于，作交于，

，，，、都是正北方向，四边形是矩形，海里，，在中，，海里，海里，在中，，是等腰直角三角形，海里，海里，港口与灯塔的距离为海里．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解题的关键．【变式演练】1．（2024·陕西西安·一模）如图，我国某海域上有A、B两个小岛，B在A的正东方向．有一艘渔船在点C处捕鱼，在A岛测得渔船在东北方向上，在B岛测得渔船在北偏西的方向上，且测得B、C两处的距离为海里．(1)求A、C两处的距离；(2)突然，渔船发生故障，而滞留C处等待救援．此时，在D处巡逻的救援船立即以每小时40海里的速度沿方向前往C处，测得D在小岛A的北偏西方向上距A岛30海里处．求救援船到达C处所用的时间．（结果保留根号）【答案】(1)、两处的距离为20海里；(2)救援船到达处所用的时间为小时．【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理的应用以及锐角三角函数定义等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．（1）过作于点，由含角的直角三角形的性质得海里，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论；（2）过点作于点，由锐角三角函数定义得海里，海里，则海里，再由勾股定理求出的长，即可解决问题．【详解】（1）解：如图1，过作于点，由题意得：海里，，，（海里），是等腰直角三角形，（海里），答：、两处的距离为20海里；（2）解：如图2，过点作于点，在中，海里，，（海里），（海里），（海里），在中，由勾股定理得：（海里），（小时），答：救援船到达处所用的时间为小时．3．（2024·湖南长沙·三模）如图，灯塔位于港口的北偏东方向，且之间的距离为，灯塔位于灯塔的正东方向，且之间的距离为．一艘轮船从港口出发，沿正南方向航行到达处，测得灯塔在北偏东方向上，灯塔到直线的距离为．

(1)求的长；(2)求的长（结果精确到0.1）．（参考数据：）【答案】(1)km(2)km【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟悉掌握三角函数是解题的关键．（1）用正弦三角函数求解即可．（2）结合第一问，求解长度，用正切三角函数求解即可．【详解】（1）解：由题意得，，，．（2），．4．（2023·山东青岛·模拟预测）如图，在航线的两侧分别有观测点和，点到航线的距离为，点位于点北偏东方向且与相距处．现有一艘轮船从位于点南偏西方向的处，正沿该航线自西向东航行，后该轮船行至点的正北方向的处．(1)求观测点到航线的距离；(2)求该轮船航行的距离的长结果精确到．参考数据：，，，【答案】(1)(2)【分析】本题考查解直角三角形应用的问题．（1）图中已将观测点到航线的距离用辅助线表示出来，要求，先求出，，再在中，求出即可．（2）中求出，在中求出，进而可求出，在中，根据，，求出，则．【详解】（1）解：设与交于点．在中，，，．，．在中，，．答：观测点到航线的距离为．（2）在中，，在中，，．在中，，，．．该轮船航行的距离的长为．5．（2024·重庆大渡口·一模）某送货司机在各站点间上门送货的平面路线如图所示：．已知点B在点A的北偏东方向处，点C在点B的正东方处，点D在点C的南偏东方向，点D在点A的正东方．(参考数据：，，)(1)求线段CD的长度；(结果精确到0.01km)(2)已知送货司机在送货过程中全程保持10m/s的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A点运送到D点，则送货司机按既定路线进行运送能否按时送达？(送货司机在各站点停留的时间忽略不计)【答案】(1)；(2)能【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，正确构造直角三角形从而利用解直角三角形的相关知识求解是解题的关键．（1）分别过点B、C作于E，于F，得到四边形是矩形，，利用，求出，即，从而利用求出；（2）先算出总路程，再除以速度得到送货时间，与16分钟比较即可得解．【详解】（1）分别过点B、C作于E，于F，依题意可知：，，，，，∴，∴四边形是矩形，，∵，，∴又∵，∴（2）16分钟秒，∵，，，∴，∴从A点运送到D点的时间为：，∴送货司机按既定路线进行运送能按时送达．1．（2023·湖北恩施·中考真题）小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点，处测出点的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图，的长为，高为．他在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔的高吗？若能，请求出信号塔的高；若不能，请说明理由．（参考数据：，，，结果保留整数）【答案】能求出信号塔的高，信号塔的高为；【分析】过作，垂足为，根据勾股定理及等腰直角三角形的性质，进而设根据锐角三角函数解答即可．【详解】解：过作，垂足为，∵，，∴四边形是矩形，∴，．∵的长为，高为，∴．∴在中，()．∵，，∴．∴．∴设．∴，．∴．∵，，∴．∴．∴．即信号塔的高为．∴能求出信号塔的高，信号塔的高为．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形性质，锐角三角函数，掌握锐角三角函数是解题的关键．2．（2023·辽宁·中考真题）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点A，B．D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）

(1)求登山缆车上升的高度；(2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到）（参考数据：）【答案】(1)登山缆车上升的高度；(2)从山底A处到达山顶处大约需要.【分析】（1）过B点作于C，于E，则四边形是矩形，在中，利用含30度的直角三角形的性质求得的长，据此求解即可；（2）在中，求得的长，再计算得出答案．【详解】（1）解：如图，过B点作于C，于E，则四边形是矩形，在中，，，∴，∴，答：登山缆车上升的高度；（2）解：在中，，，∴，∴从山底A处到达山顶处大约需要：，答：从山底A处到达山顶处大约需要.【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握直角三角形的边角关系是解题关键．3．（2023·贵州·中考真题）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶处，中途设计了一段与平行的观光平台为．索道与的夹角为，与水平线夹角为，两处的水平距离为，，垂足为点．（图中所有点都在同一平面内，点在同一水平线上）

(1)求索道的长（结果精确到）；(2)求水平距离的长（结果精确到）．（参考数据：，，，）【答案】(1)(2)【分析】（1）根据的余玄直接求解即可得到答案；（2）根据、两段长度相等及与水平线夹角为求出C到的距离即可得到答案；【详解】（1）解：∵两处的水平距离为，索道与的夹角为，∴；（2）解：∵、两段长度相等，与水平线夹角为，∴，，∴；

【点睛】本题考查解直角三角形解决实际应用题，解题的关键是熟练掌握几种三角函数．4．（2023·辽宁丹东·中考真题）一艘轮船由西向东航行，行驶到A岛时，测得灯塔B在它北偏东方向上，继续向东航行到达C港，此时测得灯塔B在它北偏西方向上，求轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，）．

【答案】轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离为【分析】过点B作于点D，则，进而得出，，根据，得出，即可求解．【详解】解：过点B作于点D，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，解得：，∴，答：轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离为．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．5．（2023·湖北·中考真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：）

【答案】斜坡的长约为10米【分析】过点作于点，在中，利用正弦函数求得，在中，利用勾股定理即可求解．【详解】解：过点作于点，则四边形是矩形，在中，，．∴．∵，∴在中，（米）．答：斜坡的长约为10米．【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．6．（2023·山东青岛·中考真题）太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为，点O是的中点，是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，，．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为，在E处测得电池板边缘点B的仰角为．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽的长度．（结果精确到．参考数据：，，，）

【答案】【分析】过点作于点，过点作于点，先证和均为等腰直角三角形，四边形为矩形，为等腰直角三角形，设，则，，，然后在中，利用得，由此解出，再利用勾股定理求出即可得的长．【详解】解：过点作于点，过点作于点，如图，

依题意得：，，，又和均为等腰直角三角形，，，，，，，，，四边形为矩形，，，，，为等腰直角三角形，，设，则，，，在中，，即：，，解得：，检验：是原方程的根．，在等腰中，由勾股定理得：，点为的中点，，答：太阳能电池板宽的长度约为．【点睛】此题主要考查了解直角三角形，理解题意，正确的作出辅助线构造直角三角形的，灵活运用锐角三角函数及勾股定理进行计算是解答此题的关键．7．（2023·内蒙古·中考真题）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得河流左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行12米至处，测得河流右岸处的俯角为，线段米为无人机距地面的铅直高度，点，，在同一条直线上，其中．求河流的宽度（结果精确到1米，参考数据：）．

【答案】河流的宽度约为64米【分析】过点作于点，分别解、即可．【详解】解：过点作于点．则四边形是矩形．

∴，∵∴在中，∴，∴∴在中，，∴，∴，∴∴米答：河流的宽度约为64米．【点睛】本题考查了关于俯仰角的解直角三角形的问题．作垂线构造直角三角形是解题关键．8．（2023·山东济南·中考真题）图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．

(1)求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离；(2)若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由．（结果精确到，参考数据：，，，）【答案】(1)车后盖最高点到地面的距离为(2)没有危险,详见解析【分析】（1）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可；（2）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可．【详解】（1）如图，作，垂足为点

在中∵，∴∴∵平行线间的距离处处相等∴答：车后盖最高点到地面的距离为．（2）没有危险，理由如下：过作，垂足为点

∵，∴∵∴在中，