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文档简介
云南省曲靖市麒麟区五中2024届高考压轴卷数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数是定义在上的偶函数,当时,,则,,的大小关系为()A. B. C. D.2.某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务,要求是:任务A必须排在前三项执行,且执行任务A之后需立即执行任务E,任务B、任务C不能相邻,则不同的执行方案共有()A.36种 B.44种 C.48种 D.54种3.已知复数,则()A. B. C. D.4.为了贯彻落实党中央精准扶贫决策,某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图,其中各项统计不重复.若该市老年低收入家庭共有900户,则下列说法错误的是()A.该市总有15000户低收入家庭B.在该市从业人员中,低收入家庭共有1800户C.在该市无业人员中,低收入家庭有4350户D.在该市大于18岁在读学生中,低收入家庭有800户5.《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图,则它的外接球的表面积为()A.4π B.8π C. D.6.已知向量,夹角为,,,则()A.2 B.4 C. D.7.已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为,若定义,则函数,在区间内的图象是()A. B.C. D.8.已知双曲线()的渐近线方程为,则()A. B. C. D.9.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出的的值为()A. B. C. D.10.已知定点,,是圆上的任意一点,点关于点的对称点为,线段的垂直平分线与直线相交于点,则点的轨迹是()A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆11.设分别为双曲线的左、右焦点,过点作圆的切线,与双曲线的左、右两支分别交于点,若,则双曲线渐近线的斜率为()A. B. C. D.12.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,则双曲线的离心率为()A. B. C.3 D.4二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.(5分)已知函数,则不等式的解集为____________.14.过直线上一动点向圆引两条切线MA,MB,切点为A,B,若,则四边形MACB的最小面积的概率为________.15.已知在△ABC中,(2sin32°,2cos32°),(cos77°,﹣cos13°),则⋅_____,△ABC的面积为_____.16.在边长为的菱形中,点在菱形所在的平面内.若,则_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆的左顶点为,左、右焦点分别为,离心率为,是椭圆上的一个动点(不与左、右顶点重合),且的周长为6,点关于原点的对称点为,直线交于点.(1)求椭圆方程;(2)若直线与椭圆交于另一点,且,求点的坐标.18.(12分)为了拓展城市的旅游业,实现不同市区间的物资交流,政府决定在市与市之间建一条直达公路,中间设有至少8个的偶数个十字路口,记为,现规划在每个路口处种植一颗杨树或者木棉树,且种植每种树木的概率均为.(1)现征求两市居民的种植意见,看看哪一种植物更受欢迎,得到的数据如下所示:A市居民B市居民喜欢杨树300200喜欢木棉树250250是否有的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性;(2)若从所有的路口中随机抽取4个路口,恰有个路口种植杨树,求的分布列以及数学期望;(3)在所有的路口种植完成后,选取3个种植同一种树的路口,记总的选取方法数为,求证:.附:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82819.(12分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线、曲线在第一象限交于两点,且,点的坐标为,求的面积.20.(12分)在本题中,我们把具体如下性质的函数叫做区间上的闭函数:①的定义域和值域都是;②在上是增函数或者减函数.(1)若在区间上是闭函数,求常数的值;(2)找出所有形如的函数(都是常数),使其在区间上是闭函数.21.(12分)已知函数是减函数.(1)试确定a的值;(2)已知数列,求证:.22.(10分)已知函数,曲线在点处的切线方程为.(1)求,的值;(2)证明函数存在唯一的极大值点,且.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
根据函数的奇偶性得,再比较的大小,根据函数的单调性可得选项.【详解】依题意得,,当时,,因为,所以在上单调递增,又在上单调递增,所以在上单调递增,,即,故选:C.【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用、幂、指、对的大小比较,以及根据函数的单调性比较大小,属于中档题.2、B【解析】
分三种情况,任务A排在第一位时,E排在第二位;任务A排在第二位时,E排在第三位;任务A排在第三位时,E排在第四位,结合任务B和C不能相邻,分别求出三种情况的排列方法,即可得到答案.【详解】六项不同的任务分别为A、B、C、D、E、F,如果任务A排在第一位时,E排在第二位,剩下四个位置,先排好D、F,再在D、F之间的3个空位中插入B、C,此时共有排列方法:;如果任务A排在第二位时,E排在第三位,则B,C可能分别在A、E的两侧,排列方法有,可能都在A、E的右侧,排列方法有;如果任务A排在第三位时,E排在第四位,则B,C分别在A、E的两侧;所以不同的执行方案共有种.【点睛】本题考查了排列组合问题,考查了学生的逻辑推理能力,属于中档题.3、B【解析】
利用复数除法、加法运算,化简求得,再求得【详解】,故.故选:B【点睛】本小题主要考查复数的除法运算、加法运算,考查复数的模,属于基础题.4、D【解析】
根据给出的统计图表,对选项进行逐一判断,即可得到正确答案.【详解】解:由题意知,该市老年低收入家庭共有900户,所占比例为6%,则该市总有低收入家庭900÷6%=15000(户),A正确,该市从业人员中,低收入家庭共有15000×12%=1800(户),B正确,该市无业人员中,低收入家庭有15000×29%%=4350(户),C正确,该市大于18岁在读学生中,低收入家庭有15000×4%=600(户),D错误.故选:D.【点睛】本题主要考查对统计图表的认识和分析,这类题要认真分析图表的内容,读懂图表反映出的信息是解题的关键,属于基础题.5、B【解析】
由三视图判断出原图,将几何体补形为长方体,由此计算出几何体外接球的直径,进而求得球的表面积.【详解】根据题意和三视图知几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱,底面直角三角形的斜边为2,侧棱长为2且与底面垂直,因为直三棱柱可以复原成一个长方体,该长方体外接球就是该三棱柱的外接球,长方体对角线就是外接球直径,则,那么.故选:B【点睛】本小题主要考查三视图还原原图,考查几何体外接球的有关计算,属于基础题.6、A【解析】
根据模长计算公式和数量积运算,即可容易求得结果.【详解】由于,故选:A.【点睛】本题考查向量的数量积运算,模长的求解,属综合基础题.7、A【解析】
由题知,利用求出,再根据题给定义,化简求出的解析式,结合正弦函数和正切函数图象判断,即可得出答案.【详解】根据题意,的图象与直线的相邻交点间的距离为,所以的周期为,则,所以,由正弦函数和正切函数图象可知正确.故选:A.【点睛】本题考查三角函数中正切函数的周期和图象,以及正弦函数的图象,解题关键是对新定义的理解.8、A【解析】
根据双曲线方程(),确定焦点位置,再根据渐近线方程得到求解.【详解】因为双曲线(),所以,又因为渐近线方程为,所以,所以.故选:A.【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质,还考查了运算求解的能力,属于基础题.9、C【解析】
根据给定的程序框图,计算前几次的运算规律,得出运算的周期性,确定跳出循环时的n的值,进而求解的值,得到答案.【详解】由题意,,第1次循环,,满足判断条件;第2次循环,,满足判断条件;第3次循环,,满足判断条件;可得的值满足以3项为周期的计算规律,所以当时,跳出循环,此时和时的值对应的相同,即.故选:C.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题,其中解答中认真审题,得出程序运行时的计算规律是解答的关键,着重考查了推理与计算能力.10、B【解析】
根据线段垂直平分线的性质,结合三角形中位线定理、圆锥曲线和圆的定义进行判断即可.【详解】因为线段的垂直平分线与直线相交于点,如下图所示:所以有,而是中点,连接,故,因此当在如下图所示位置时有,所以有,而是中点,连接,故,因此,综上所述:有,所以点的轨迹是双曲线.故选:B【点睛】本题考查了双曲线的定义,考查了数学运算能力和推理论证能力,考查了分类讨论思想.11、C【解析】
如图所示:切点为,连接,作轴于,计算,,,,根据勾股定理计算得到答案.【详解】如图所示:切点为,连接,作轴于,,故,在中,,故,故,,根据勾股定理:,解得.故选:.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线斜率,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.12、A【解析】
根据题意,由抛物线的方程可得其焦点坐标,由此可得双曲线的焦点坐标,由双曲线的几何性质可得,解可得,由离心率公式计算可得答案.【详解】根据题意,抛物线的焦点为,则双曲线的焦点也为,即,则有,解可得,双曲线的离心率.故选:A.【点睛】本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程,关键是求出抛物线焦点的坐标,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
易知函数的定义域为,且,则是上的偶函数.由于在上单调递增,而在上也单调递增,由复合函数的单调性知在上单调递增,又在上单调递增,故知在上单调递增.令,知,则不等式可化为,即,可得,又,是偶函数,可得,由在上单调递增,可得,则,解得,故不等式的解集为.14、.【解析】
先求圆的半径,四边形的最小面积,转化为的最小值为,求出切线长的最小值,再求的距离也就是圆心到直线的距离,可解得的取值范围,利用几何概型即可求得概率.【详解】由圆的方程得,所以圆心为,半径为,四边形的面积,若四边形的最小面积,所以的最小值为,而,即的最小值,此时最小为圆心到直线的距离,此时,因为,所以,所以的概率为.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,及与长度有关的几何概型,考查了学生分析问题的能力,难度一般.15、【解析】
①根据向量数量积的坐标表示结合两角差的正弦公式的逆用即可得解;②结合①求出,根据面积公式即可得解.【详解】①2(sin32°•cos77°﹣cos32°•sin77°),②,,∴,∴.故答案为:.【点睛】此题考查平面向量与三角函数解三角形综合应用,涉及平面向量数量积的坐标表示,三角恒等变换,根据三角形面积公式求解三角形面积,综合性强.16、【解析】
以菱形的中心为坐标原点建立平面直角坐标系,再设,根据求出的坐标,进而求得即可.【详解】解:连接设交于点以点为原点,分别以直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则:设得,解得,,或,显然得出的是定值,取则,.故答案为:.【点睛】本题主要考查了建立平面直角坐标系求解向量数量积的有关问题,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)或【解析】
(1)根据的周长为,结合离心率,求出,即可求出方程;(2)设,则,求出直线方程,若斜率不存在,求出坐标,直接验证是否满足题意,若斜率存在,求出其方程,与直线方程联立,求出点坐标,根据和三点共线,将点坐标用表示,坐标代入椭圆方程,即可求解.【详解】(1)因为椭圆的离心率为,的周长为6,设椭圆的焦距为,则解得,,,所以椭圆方程为.(2)设,则,且,所以的方程为①.若,则的方程为②,由对称性不妨令点在轴上方,则,,联立①,②解得即.的方程为,代入椭圆方程得,整理得,或,.,不符合条件.若,则的方程为,即③.联立①,③可解得所以.因为,设所以,即.又因为位于轴异侧,所以.因为三点共线,即应与共线,所以,即,所以,又,所以,解得,所以,所以点的坐标为或.【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及应用、直线与椭圆的位置关系,考查分类讨论思想和计算求解能力,属于较难题.18、(1)没有(2)分布列见解析,(3)证明见解析【解析】
(1)根据公式计算卡方值,再对应卡值表判断..(2)根据题意,随机变量的可能取值为0,1,2,3,4,分别求得概率,写出分布列,根据期望公式求值.(3)因为至少8个的偶数个十字路口,所以,即.要证,即证,根据组合数公式,即证;易知有.成立.设个路口中有个路口种植杨树,下面分类讨论①当时,由论证.②当时,由论证.③当时,,设,再论证当时,取得最小值即可.【详解】(1)本次实验中,,故没有99.9%的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性.(2)依题意,的可能取值为0,1,2,3,4,故,,01234故.(3)∵,∴.要证,即证;首先证明:对任意,有.证明:因为,所以.设个路口中有个路口种植杨树,①当时,,因为,所以,于是.②当时,,同上可得③当时,,设,当时,,显然,当即时,,当即时,,即;,因此,即.综上,,即.【点睛】本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列以及期望、排列组合,还考查运算求解能力以及必然与或然思想,属于难题.19、(1)的极坐标方程为,的直角坐标方程为(2)【解析】
(1)先把曲线的参数方程消参后,转化为普通方程,再利用求得极坐标方程.将,化为,再利用求得曲线的普通方程.(2)设直线的极角,代入,得,将代入,得,由,得,即,从而求得,,从而求得,再利用求解.【详解】(1)依题意,曲线,即,故,即.因为,故,即,即.(2)将代入,得,将代入,得,由,得,得,解得,则.又,故,故的面积.【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的转化、极坐标的几何意义,还考查推理论证能力以及数形结合思想,属于中档题.20、(1);(2).【解析】
(1)依据新定义,的定义域和值域都是,且在上单调,建立方程求解;(2)依据新定义,讨论的单调性,列出方程求解即可。【详解】(1)当时,由复合函数单调性知,在区间上是增函数,即有,解得;同理,当时,有,解得,综上,。(2)若在上是闭函数,则在上是单调函数,①当在上是单调增函数,则,解得,检验符合;②当在上是单调减函数,则,解得,在上不是单调函数,不符合题意。故满足在区间上是闭函数只有。【点睛】本题主要考查学生的应用意识,利用所学知识分析解决新定义问题。21、(Ⅰ)(Ⅱ)见证明【解析】
(Ⅰ)求导得,由是减函数得,对任意的
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