高等数学教案

第14次课2学时上次课复习：上次我们学习了函数的微分的定义以及初等函数的微分公式与微分法则，掌握了微分与导数的关系以及微分形式的不变性。dyf(x)dx.d(u±v)=du±dv，d(Cu)=Cdu，d(u×v)=vdu+udv，，dy=y¢xdx=f¢(u)¢(x)dx.dy=f¢(u)du或dy=y¢udu.本次课题（或教材章节题目）：第三章中值定理与导数应用第一节中值定理教学要求：1.理解中值定理，特别是拉格朗日中值定理的分析意义和几何意义;2.会证明中值定理，特别是学会构造辅助函数证明问题的方法；3.初步具有应用中值定理论证问题的能力.重点：罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理辅助函数的构造难点：辅助函数的构造教学手段及教具：以讲授为主，使用电子教案讲授内容及时间分配：罗尔定理15分钟拉格朗日中值定理25分钟柯西中值定理25分钟中值定理的应用举例35分钟课后作业作业：P2.4.5.6.10.11(1)参考资料注：本页为每次课教案首页第一节中值定理中值定理罗尔定理如满足：（1）在连续.（2）在可导.（3）,则至少存在一点,使证明：(1)如果f(x)是常函数,则f(x)0,定理的结论显然成立.(2)如果f(x)不是常函数,则f(x)在(a,b)内至少有一个最大值点或最小值点,不妨设有一最大值点(a,b).于是所以f(x)=0.罗尔定理的几何意义:连续曲线弧除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，且两个端点纵坐标相等，则在弧上至少有一点该点处曲ab线的切线水平。例1设，则在区间（-1，0）内，方程有2个实根；有1个根.例2设在[0，1]可导，且，证明存在，使。证：设在[a,b]可导，∴存在使即.例3设在[0，1]可导，且,证明存在，使。解:设，且由罗尔定理，存在，使，即，拉格朗日中值定理如满足：在[a,b]连续；在（a,b）连续，则存在,使.证明:引进辅助函数(x)f(x)x.容易验证函数(x)适合罗尔定理的条件:(a)(b)0,(x)在闭区间[a,b]上连续在开区间(a,b)内可导,且(x)f(x).根据罗尔定理,可知在开区间(a,b)内至少有一点,使()0,即f()0.由此得f(),即f(b)f(a)f()(ba).定理证毕.拉格朗日中值定理的几何意义:连续曲线弧除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，则在弧上至少有一点该点处曲线的切线平行于弦ABab拉格朗日中值公式的其它形式:设x为区间[a,b]内一点,xx为这区间内的另一点(x>0或x<0),则在[x,xx](x>0)或[xx,x](x<0)应用拉格朗日中值公式,得f(xx)f(x)f(xqx)x(0<q<1).如果记f(x)为y,则上式又可写为yf(xqx)x(0<q<1).试与微分dyf(x)x比较:dyf(x)x是函数增量y的近似表达式,而f(xqx)x是函数增量y的精确表达式.推论：=1\*GB2⑴如果在区间I上，则.证在区间I上任取两点x1,x2(x1<x2),应用拉格朗日中值定理,就得f(x2)f(x1)f()(x2x1)(x1<<x2).由假定,f()0,所以f(x2)f(x1)0,即f(x2)f(x1).因为x1,x2是I上任意两点,所以上面的等式表明:f(x)在I上的函数值总是相等的,这就是说,f(x)在区间I上是一个常数.例4证明对任意满足的x，都有.证明：设∵∴∵∴设，证明.证明：设，则在区间[0,]上满足拉格朗日中值条件，则有又由于，所以上式即为，又由于，有，即.柯西中值定理如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且F(x)在(a,b)内的每一点处均不为零,那么在(a,b)内至少有一点,使等式成立.显然,如果取F(x)x,那么F(b)F(a)ba,F(x)1,因而柯西中值公式就可以写成:f(b)f(a)f()(ba)(a<<b),这样就变成了拉格朗日中值公式了.第次课学时上次课复习：上次我们学习了三个中值定理，一个推论。罗尔定理如满足：（1）在连续.（2）在可导.则至少存在一点使。格朗日中值定理如满足：在[a,b]连续；在（a,b）连续，则存在,使3．柯西中值定理如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且F(x)在(a,b)内的每一点处均不为零,那么在(a,b)内至少有一点,使等式成立.推论：=1\*GB2⑴如果在区间I上，则.本次课题（或教材章节题目）：第三章中值定理与导数应用第二节洛必达法则教学要求：1.掌握洛必达法则；2.会求未定式的极限.重点：洛必达法则,计算未定式的极限难点：计算未定式的极限教学手段及教具：以讲授为主，使用电子教案讲授内容及时间分配：未定式“”的极限25分钟未定式“”的极限15分钟未定式“”，“”，“”，“”的极限35分钟补充例题25分钟课后作业作业：P1（2），（5），（6），（7），（8）,(9),(11),(13),(16).2.4.参考资料注：本页为每次课教案首页第二节洛必达法则洛必达法则未定式：如下的函数极限都是未定式。1、型：如：型：2、型：如：3、型：如：4、型：如：5、型：如：6、型：如：7、型：如：它们的计算不能用函数极限的四则运算法则，且它们只表示类型，没有具体意义。1、型的洛必达法则(同理)定理：对函数和，如果：（1）,（2）在某个邻域内（后）有导数和，且；（3）存在（或无穷），则成立：=.证明因为极限与f(a)及g(a)无关,所以可以假定f(a)g(a)0,于是由条件(1)、(2)知,f(x)及g(x)在点a的某一邻域内是连续的.设x是这邻域内的一点,那么在以x及a为端点的区间上,柯西中值定理的条件均满足,因此有(在x与a之间).令xa,并对上式两端求极限,注意到xa时a,再根据条件(3)便得要证明的结论.例1求(b0).解:.例2求.解:.例3.求.解:.例4.求.解:.2、求“”型未定式的极限.例5.求(n>0).解:.例6.求(n为正整数,>0).解:.3.其它类型未定式0、、00、1、0都可以转化为或型未定式来计算.1)2)3)4)（解法同3）例7.求(n>0).解:.例8.求.解:.例9.求.解:(根据例7).洛必达法则是求未定式的一种有效方法,但最好能与其它求极限的方法结合使用.例如能化简时应尽可能先化简,可以应用等价无穷小替代或重要极限时,应尽可能应用,这样可以使运算简捷.例10.求.解:.最后,我们指出,本节定理给出的是求未定式的一种方法.当定理条件满足时,所求的极限当然存在（或为）,但定理条件不满足时,所求极限却不一定不存在.例11.求.解:因为极限不存在,所以不能用洛必达法则..求极限的方法小结:（1）单调有界序列必有极限;（2）用夹逼定理;（3）用极限运算法则（4）用函数的连续性;（5）用两个重要极限;（6）无穷小乘有界函数仍是无穷小;(7)等价无穷小替换（8）用洛必达法则;补充例题:例11求极限(a>0,b>0).解lnalnbln.例12.例133.例14求极限xln(a0).解：xln2a2a.例15解：设A,则lnA=lnx0,于是e01.例16().注：用洛必达法则有时不能求结果，此时需用以前的方法。例求下列极限:（1）==.（2）=.第次课学时上次课复习：上次我们学习了未定式“”的极限，“”的极限，未定式“”，“”，“”，“”的极限.本次课题（或教材章节题目）：第三章中值定理与导数应用第三节泰勒公式教学要求：1.掌握泰勒定理，理解泰勒公式的意义;2.熟记函数，,，的麦克劳林展开式；3.会求函数的麦克劳林展开式.重点：泰勒定理麦克劳林展开式难点：泰勒定理教学手段及教具：以讲授为主，使用电子教案讲授内容及时间分配：泰勒定理及其证明40分钟麦克劳林展开式30分钟函数，，,，的麦克劳林展开式30分钟课后作业作业：P2.5.6参考资料注：本页为每次课教案首页第三节泰勒公式一．泰勒公式对于一些较复杂的函数,为了便于研究,往往希望用一些简单的函数来近似表达.由于用多项式表示的函数,只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算,便能求出它的函数值,因此我们经常用多项式来近似表达函数.设函数f(x)在含有x0的开区间内具有直到(n+1)阶导数,现在我们希望做的是:找出一个关于(x-x0)的n次多项式pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+×××+an(x-x0来近似表达f(x),要求pn(x)与f(x)之差是比(x-x0)n高阶的无穷小,并给出误差|f(x)-pn(x)|的具体表达式.我们自然希望pn(x)与f(x)在x0的各阶导数(直到(n+1)阶导数)相等,这样就有pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+×××+an(x-x0)npn¢(x)=a1+2a2(x-x0)+×××+nan(x-x0)n-1,pn¢¢(x)=2a2+3×2a3(x-x0)+×××+n(n-1)an(x-x0)n-2pn¢¢¢(x)=3!a3+4×3×2a4(x-x0)+×××+n(n-1)(n-2)an(x-x0)n-3,××××××,pn(n)(x)=n!an.于是pn(x0)=a0,pn¢(x0)=a1,pn¢¢(x0)=2!a2,pn¢¢¢(x)=3!a3,×××,pn(n)(x)=n!an.按要求有f(x0)=pn(x0)=a0,f¢(x0)=pn¢(x0)=a1,f¢¢(x0)=pn¢¢(x0)=2!a2,f¢¢¢(x0)=pn¢¢¢(x0)=3!a3,┅，f(n)(x0)=pn(n)(x0)=n!从而有a0=f(x0),a1=f¢(x0),,×××,,.(k0,1,2,,n)于是就有pn(x)=f(x0)+f¢(x0)(x-x0)(x-x0)2+×××(x-x0)n.泰勒中值定理：如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)的阶导数,则当x在(a,b)内时,f(x)可以表示为(x-x0)的一个n次多项式与一个余项Rn(x)之和:其中(介于x0与x之间).这里多项式称为函数f(x)按(x-x0)的幂展开的n次近似多项式,公式+×××,称为f(x)按(x-x0)的幂展开的n阶泰勒公式,而Rn(x)的表达式(介于x与x0之间)称为拉格朗日型余项.注：=1\*GB2⑴当n=0时,泰勒公式变成拉格朗日中值公式:f(x)=f(x0)+f¢()(x-x0)(在x0与x之间).因此,泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.=2\*GB2⑵如果对于某个固定的n,当x在区间(a,b)内变动时,|f(n+1)(x)|总不超过一个常数M,则有估计式:,及.可见,当x®x0时,误差|Rn(x)|是比(x-x0)n高阶的无穷小,即Rn(x)=o[(x-x0)n].在不需要余项的精确表达式时,n阶泰勒公式也可写成+×××=3\*GB2⑶当x0=0时的泰勒公式称为麦克劳林公式,就是,或,其中.由此得近似公式:误差估计式变为:.二.常见函数的泰勒展式例1写出函数f(x)ex的n阶麦克劳林公式.解:因为f(x)f(x)f(x)f(n)(x)ex,所以f(0)f(0)f(0)f(n)(0)1,于是(0<),并有.这时所产性的误差为|Rn(x)||xn1|<|x|n1.当x1时,可得e的近似式:.其误差为|Rn|<.例2求f(x)sinx的n阶麦克劳林公式.解:因为f(x)cosx,f(x)sinx,f(x)cosx,,,,f(0)0,f(0)1,f(0)0,f(0)1,f(4)(0)0,于是.当m1、2、3时,有近似公式sinxx,,.例3求f(x)sinx的n阶麦克劳林公式.解:因为f(x)cosx,f(x)sinx,f(x)cosx,,,,f(0)0,f(0)1,f(0)0,f(0)1,f(4)(0)0,于是.当m1、2、3时,有近似公式sinxx,,.例4.求f(x)cosx的n阶麦克劳林公式.解:因为f(x)-sinx,f(x)cosx,f(x)sinx,,,,f(0)1,f(0)0,f(0),f(0)0,f(4)(0)1,于是.第次课学时上次课复习：泰勒定理,麦克劳林展开式,函数，的麦克劳林展开式本次课题（或教材章节题目）：第三章中值定理与导数应用第四节函数的单调性的判别法第五节函数的极值及求法教学要求：1.掌握函数单调性的判别法及函数极值的求法;2.会确定函数的单调区间，会计算极值；3.掌握用二阶导数的符号来判定极值的方法.重点：单调性的判定极值的求法极值的必要、充分条件难点：极值的必要、充分条件教学手段及教具：以讲授为主，使用电子教案讲授内容及时间分配：函数单调性的判别法35分钟极值的必要条件15分钟第一充分条件20分钟第二充分条件15分钟例题15分钟课后作业作业：P1.3.（2），（4），（6），（7），4.（1），（3），（5），6.P1.（2），（4），（6），（10），（13）参考资料注：本页为每次课教案首页第四节函数的单调性的判别法函数单调性的判定法如果函数yf(x)在[a,b]上单调增加（单调减少）,那么它的图形是一条沿x轴正向上升（下降）的曲线.这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的）,即yf(x)0(yf(x)0).由此可见,函数的单调性与导数的符号有着密切的关系.xx反过来,能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？定理1(函数单调性的判定法)设函数yf(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.(1)如果在(a,b)内f(x)>0,那么函数yf(x)在[a,b]上单调增加;(2)如果在(a,b)内f(x)<0,那么函数yf(x)在[a,b]上单调减少.证明只证(1).在[a,b]上任取两点x1,x2(x1<x2),应用拉格朗日中值定理,得到f(x2)f(x1)f()(x2x1)(x1<<x2).由于在上式中,x2x1>0,因此,如果在(a,b)内导数f(x)保持正号,即f(x)>0,那么也有f()>0.于是f(x2)f(x1)f()(x2x1)>0,即f(x1)<f(x2),所以函数yf(x)在[a,b]上单调增加.注:判定法中的闭区间可换成其他各种区间.例1判定函数yxsinx在[0,2]上的单调性.解因为在(0,2)内y1cosx>0,所以由判定法可知函数yxsinx在[0,2]上的单调增加.例2讨论函数yexx1的单调性.（没指明在什么区间怎么办？)解yex1.函数yexx1的定义域为(,).因为在(,0)内y<0,所以函数yexx1在(,0]上单调减少;因为在(0,)内y>0,所以函数yexx1在[0,]上单调增加.例3.讨论函数的单调性.解:函数的定义域为(,).当时,函数的导数为(x0),当x0时,函数的导数不存在.因为x<0时,y<0,所以函数在(,0]上单调减少;因为x>0时,y>0,所以函数在[0,]上单调增加.注：如果函数在定义区间上连续,除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续,那么只要用方程f(x)0的根及导数不存在的点来划分函数f(x)的定义区间,就能保证f(x)在各个部分区间内保持固定的符号,因而函数f(x)在每个部分区间上单调.例4.确定函数f(x)2x39x212x3的单调区间.解这个函数的定义域为:(,).函数的导数为:f(x)6x218x126(x1)(x2).导数为零的点有两个:x11、x22.列表分析:(,1][1,2][2,)f(x)f(x)↗↘↗函数f(x)在区间(,1]和[2,)内单调增加,在区间[1,2]上单调减少.例5.讨论函数yx3的单调性.解函数的定义域为:(,).函数的导数为:y3x2.除当x0时,y0外,在其余各点处均有y>0.因此函数yx3在区间(,0]及[0,)内都是单调增加的.从而在整个定义域:(,)内是单调增加的.在x0处曲线有一水平切线.一般地,如果f(x)在某区间内的有限个点处为零,在其余各点处均为正（或负）时,那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.例6证明:当x1时,.证明:令,则.因为当x>1时,f(x)>0,因此f(x)在[1,)上f(x)单调增加,从而当x>1时,f(x)>f(1).由于f(1)0,故f(x)>f(1)0,即,也就是(x1).例7设，证明证明：即证设 ，时∴单减当即第五节函数的极值及求法函数的极值及其求法1．定义：如在邻域内，恒有，，则称为函数的一个极大（小）值。使函数取得极值的点称为极值点.使函数导数为零的点称为驻点。注：=1\*GB2⑴.极值为局部的最值.=2\*GB2⑵.极值点为函数单调性改变的点.=3\*GB2⑶可能取得极值的点：不存在的点与的点。（驻点）但驻点不一定是极值点，极值点不一定是驻点.2.判别方法=1\*GB3①.第一充分条件：如果=0，且在左侧>0在右侧<0则在处取得极大值,如果=0，且在左侧<0在右侧>0则在处取得极小值,如果=0，且在左侧与右侧符号相同则在处不取极值。极小值极大值=2\*GB3②.第二充分条件：=0，，极小值极大值时，不一定是极值.3．确定极值点和极值的步骤:(1)求出导数f¢(x);(2)求出f(x)的全部驻点和不可导点;(3)列表判断(考察f¢(x)的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况,以便确定该点是否是极值点,如果是极值点,还要确定对应的函数值是极大值还是极小值);(4)确定出函数的所有极值点和极值.例1求函数的极值.解：，列表如下：(,)[,3]3[3,)f(x)00f(x)↗极大值10↘极小值↗例2求函数的极值.解：(1)f¢(x)=6x(x2-1)2.(2)令f¢(x)=0,求得驻点x1=-1,x2=0,x3=1.(3)f¢¢(x)=6(x2-1)(5x2-1).(4)因f¢¢(0)=6>0,所以f(x)在x=0处取得极小值,极小值为f(0)=0.(5)因f¢¢(-1)=f¢¢(1)=0,用定理3无法判别.因为在-1的左右邻域内f¢(x)<0,所以f(x)在-1处没有极值;同理,f(x)在1处也没有极值.上次课复习：函数单调性的判别法，极值的必要条件，第一充分条件，第二充分条件本次课题（或教材章节题目）：第三章中值定理与导数应用第六节最大值与最小值问题第七节曲线的凹凸性与拐点教学要求：1.掌握函数最大值与最小值的求法;2.掌握曲线的凹凸性的概念；3.会判定曲线的凹凸性与拐点.重点：曲线的凹凸与拐点，最大值、最小值的求解难点：最大值、最小值的求解教学手段及教具：以讲授为主，使用电子教案讲授内容及时间分配：求函数最大值与最小值的步骤15分钟具体问题的最大值、最小值的求解35分钟曲线的凹凸与拐点30分钟例题20分钟课后作业作业：P1.（2），(3),3.5.6P1.（1），(4),2..(1)),(3),(6),3.(1),(3),4.(1)7.8.参考资料第次课学时注：本页为每次课教案首页第六节最大值与最小值问题最大值最小值问题在工农业生产、工程技术及科学实验中,常常会遇到这样一类问题:在一定条件下,怎样使“产品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等问题,这类问题在数学上有时可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题.极值与最值的关系:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则函数的最大值和最小值一定存在.函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得,如果最大值不在区间的端点取得,则必在开区间(a,b)内取得,在这种情况下,最大值一定是函数的极大值.因此,函数在闭区间[a,b]上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者.同理,函数在闭区间[a,b]上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者.最大值和最小值的求法:设f(x)在(a,b)内的驻点和不可导点(它们是可能的极值点)为x1,x2,×××,xn,则比较f(a),f(x1),×××,f(xn),f(b)的大小,其中最大的便是函数f(x)在[a,b]上的最大值,最小的便是函数f(x)在[a,b]上的最小值.例1求函数f(x)|x23x2|在[34]上的最大值与最小值解在(34)内f(x)的驻点为不可导点为x1和x2由于f(3)20f(1)0f(2)0f(4)6比较可得f(x)在x3处取得它在[34]上的最大值20在x1和x2处取它在[3例2工厂铁路线上AB段的距离为100km.工厂C距A处为20km,AC垂直于AB.为了运输需要,要在AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路.已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比3:5.为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省,问D点应选在何处？解：设AD=x(km),则DB=100-x,.设从B点到C点需要的总运费为y,那么y=5k×CD+3k×DB(k是某个正数),即+3k(100-x)(0£x£100).现在,问题就归结为:x在[0,100]内取何值时目标函数y的值最小.先求y对x的导数:.解方程y¢=0,得x=15(km).由于y|x=0=400k,y|x=15=380k,其中以y|x=15=380k为最小,因此当AD=x=15km时,总运费为最省.注:f(x)在一个区间(有限或无限,开或闭)内可导且只有一个驻点x0,并且这个驻点x0是函数f(x)的极值点,那么,当f(x0)是极大值时,f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值;当f(x0)是极小值时,f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值.f(f(x0)Oax0bxy=f(x)yf(x0)Oax0bxy=f(x)y应当指出,实际问题中,往往根据问题的性质就可以断定函数f(x)确有最大值或最小值,而且一定在定义区间内部取得.这时如果f(x)在定义区间内部只有一个驻点x0,那么不必讨论f(x0)是否是极值,就可以断定f(x0)是最大值或最小值.dhb例3把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁.问矩形截面的高h和宽b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量W()dhb解：b与h有下面的关系:h2=d2-b2,因而(0<b<d).这样,W就是自变量b的函数,b的变化范围是(0,d).现在,问题化为:b等于多少时目标函数W取最大值？为此,求W对b的导数:.解方程W¢=0得驻点.由于梁的最大抗弯截面模量一定存在,而且在(0,d)内部取得;现在,函数在(0,d)内只有一个驻点,所以当时,W的值最大.这时,,即..所以当时,抗弯截面模量W最大这时第七节曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸与拐点1.凹凸性的概念x1x1x2yxOf(x2)f(x1)x1x2yxOf(x2)f(x1)定义设f(x)在区间I上连续,如果对I上任意两点x1,x2,恒有,那么称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧);如果恒有,那么称f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧).连续曲线yf(x)上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点.2.凹凸性的判定:定理设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么(1)若在(a,b)内f(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的;(2)若在(a,b)内f(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的.证明:只证(1)设x1x2[ab]且x1x2记由拉格朗日中值公式得两式相加并应用拉格朗日中值公式得即所以f(x)在[a,b]上的图形是凹的3.确定曲线yf(x)的凹凸区间和拐点的步骤:(1)确定函数yf(x)的定义域;(2)求出在二阶导数f`(x);(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点;(4)判断或列表判断,确定出曲线凹凸区间和拐点;例1.判断曲线ylnx的凹凸性.解,.因为在函数ylnx的定义域(0,)内,y<0,所以曲线ylnx是凸的.例2.判断曲线yx3的凹凸性.解y3x2,y6x.由y0,得x0因为当x<0时,y<0,所以曲线在(,0)内为凸的;因为当x>0时,y>0,所以曲线在[0,)内为凹的.例3.求曲线y2x33x22x14的拐点.解y6x26x12,.令y0,得因为当时,y0;当时,y0,所以点(,)是曲线的拐点.例4.求曲线y3x44x31的拐点及凹、凸的区间.解(1)函数y3x44x31的定义域为(,);(2),;(3)解方程y0,得,;(4)列表判断:(,0)0(0,2/3)2/3(2/3,)f(x)00f(x)111/27在区间(,0)和[2/3,]上曲线是凹的,在区间[0,2/3]上曲线是凸的.点(0,1)和(2/3,11/27)是曲线的拐点.例5问曲线yx4是否有拐点？解:y4x3,y12x2.当x0时,y>0,在区间(,)内曲线是凹的,因此曲线无拐点.例6求曲线的拐点解:(1)函数的定义域为(,);(2),;(3)无二阶导数为零的点,二阶导数不存在的点为x0;(4)判断:当x<0当,y>0;当x>0时,y<0.因此,点(0,0)曲线的拐点.第次课学时注：本页为每次课教案首页上次课复习：上次我们学习了求函数最大值与最小值的步骤,具体问题的最大值、最小值的求解曲线的凹凸与拐点本次课题（或教材章节题目）：第三章中值定理与导数应用第八节函数图形的描绘第九节曲率教学要求：1.理解渐近线的定义，会讨论渐近线;2.掌握描绘函数图形的基本步骤；3.准确地描绘函数图形.4.掌握弧微分及曲率的概念，了解曲率的计算公式;重点：掌握描绘函数图形的基本步骤；弧微分公式难点：弧微分公式教学手段及教具：以讲授为主，使用电子教案讲授内容及时间分配：渐近线的定义10分钟描绘函数图形的步骤20分钟图形的描绘40分钟弧微分15分钟曲率概念，曲率圆15分钟课后作业作业：P1.4.参考资料第八节函数图形的描绘函数图形的描绘渐近线 如 则称为水平渐近线 如 则称为垂直渐近线如，则称y=ax+b为斜渐近线。渐近线可能没有，或多条。2.描绘函数图形的一般步骤:(1)确定函数的定义域,并求函数的一阶和二阶导数;(2)求出一阶、二阶导数为零的点,求出一阶、二阶导数不存在的点;(3)列表分析,确定曲线的单调性和凹凸性;(4)确定曲线的渐近性;(5)确定并描出曲线上极值对应的点、拐点、与坐标轴的交点、其它点;(6)联结这些点画出函数的图形.例1.画出函数yx3x2x1的图形.解(1)函数的定义域为(,),(2)f(x)3x22x1(3x1)(x1),f(x)6x22(3x1).f(x)0的根为x1/3,1;f(x)0的根为x1/3(3)列表分析:x(,1/3)1/3(1/3,1/3)1/3(1/3,1)1(1,)f(x)00f(x)0f(x)↗极大↘拐点↘极小↗(4)当x时,y;当x时,y.(5)计算特殊点:f(1/3)32/27,f(1/3)16/27,f(1)0,f(0)1;f(1)(6)描点联线画出图形:例2.作函数的图形.解:(1)函数为偶函数,定义域为(,),图形关于y轴对称.(2),.令f(x)0,得x0;令f(x)0,得x1和x1.(3)列表:x(,1)1(1,0)0(0,1)1(1,)f(x)＋＋0－－f(x)＋0－－0＋yf(x)↗拐点↗极大值↘拐点↘(4)曲线有水平渐近线y0.(5)先作出区间(0,)内的图形,然后利用对称性作出区间(,0)内的图形.例3.作函数的图形.解(1)函数的定义域为(,3)(3,).(2),.令f(x)0得x3,令f(x)0得x6.(3)列表分析x(,3)(3,3)3(3,6)6(6,)f(x)0f(x)0f(x)↘↗4极大↘11/3拐点↘(4)x3是曲线的铅直渐近线,y1是曲线的水平渐近线.(5)计算特殊点的函数值f(0)=1,f(1)8,f(9)8,f((6)作图.第九节曲率曲率1．弧微分设函数f(x)在区间(a,b)内具有连续导数.在曲线yf(x)上取固定点M0(x0,y0)作为度量弧长的基点,并规定依x增大的方向作为曲线的正向.对曲线上任一点M(x,y),规定有向弧段的值s（简称为弧s）如下:s的绝对值等于这弧段的长度,当有向弧段的方向与曲线的正向一致时s>0,相反时s<0.显然,弧s是x的函数:ss(x),而且s(x)是x的单调增加函数.下面来求s(x)的导数及微分.设x,x为(a,b)内两个邻近的点,它们在曲线yf(x)上的对应点为M,N,并设对应于x的增量x,弧s的增量为s,于是,,因为1,又y,因此.由于ss(x)是单调增加函数,从而>0,.于是dsdx.这就是弧微分公式.2、曲率及其计算公式曲线弯曲程度的直观描述:设曲线C是光滑的,在曲线C上选定一点M0作为度量弧s的基点.设曲线上点M对应于弧s,在点M处切线的倾角为,曲线上另外一点N对应于弧s+s,在点N处切线的倾角为+.我们用比值,即单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度.记,称为弧段MN的平均曲率.记,称K为曲线C在点M处的曲率.在=存在的条件下,.曲率的计算公式:设曲线的直角坐标方程是y=f(x),且f(x)具有二阶导数（这时f¢(x)连续,从而曲线是光滑的）.因为tan=y¢,所以sec2d=y¢¢dx,.又知ds=dx,从而得曲率的计算公式.注：.若曲线的参数方程为x(t),y(t)则.例1.计算等双曲线xy1在点(1,1)处的曲率.解由,得,.因此y|x11,y|x12.曲线xy1在点(1,1)处的曲率为.例2抛物线y=ax2+bx+c上哪一点处的曲率最大？解:由y=ax2+bx+c,得y¢=2ax+b,y¢¢=2a代入曲率公式,得.显然,当2ax+b=0时曲率最大.曲率最大时,x=-,对应的点为抛物线的顶点.因此,抛物线在顶点处的曲率最大,最大曲率为K=|2a|.3.曲率圆与曲率半径设曲线在点M(x,y)处的曲率为K(K¹0)在点M处的曲线的法线上,在凹的一侧取一点D,使|DM|K1.以D为圆心,为半径作圆,这个圆叫做曲线在点M处的曲率圆,曲率圆的圆心D叫做曲线在点M处的曲率中心,曲率圆的半径叫做曲线在点M处的曲率半径.设曲线在点M处的曲率为K(K¹0),在曲线凹的一侧作一个与曲线相切于M且半径为K1的圆,则这个圆叫做曲线在点M处的曲率圆,其圆心叫做曲率中心,其半径叫做曲率半径.曲线在点M处的曲率K(K¹0)与曲线在点M处的曲率半径有如下关系:=,K=.第次课学时注：本页为每次课教案首页上次课复习：学习了渐近线的定义，会讨论渐近线;掌握描绘函数图形的基本步骤；准确地描绘函数图形.掌握弧微分及曲率的概念，了解曲率的计算公式;本次课题（或教材章节题目）：第三章习题课教学要求：1.巩固第三章内容；2.掌握解题方法与技巧；重点：中值定理导数的应用中值定理有关命题的证明函数图形的描绘难点：中值定理有关命题的证明教学手段及教具：以讲授为主，使用电子教案讲授内容及时间分配：总结第三章内容25分钟解决作业中出现的习题40分钟课外典型题讲解