湖北省荆州市石首博雅高级中学高一数学文模拟试卷含解析

湖北省荆州市石首博雅高级中学高一数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；

②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；

④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b其中真命题的序号是A．①②

B．②③

C．①④

D．③④参考答案：C2.已知=，则的值等于(

)A．

B．－

C．

D．±参考答案：A3.（4分）已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么（） A． α∥β B． α与β相交 C． α与β重合 D． α∥β或α与β相交参考答案：D考点： 平面与平面之间的位置关系．专题： 综合题．分析： 由题意平面α内有无数条直线都与平面β平行，利用空间两平面的位置关系的定义即可判断．解答： 解：由题意当两个平面平行时符合平面α内有无数条直线都与平面β平行，当两平面相交时，在α平面内作与交线平行的直线，也有平面α内有无数条直线都与平面β平行．故为D点评： 此题重点考查了两平面空间的位置及学生的空间想象能力．4.如下图所示，阴影部分表示的集合是（

）A.B.

C.D.参考答案：A略5.已知集合，，则等于（

）A.

B.C.

D.

参考答案：C略6.下列函数中既是偶函数又是（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：C7.若角的终边上有一点，则的值是（

）.A.

B.

C.

D.参考答案：A略8.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,,,则b=（

）A．1

B．

C.

D．2参考答案：A9.设函数，则的值为A

1

B

3

C

5

D

6参考答案：C10.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的僻析式是

（

）A．

B．

C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数y=f（x）（x∈R）的图象如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集为．参考答案：（﹣1，0）∪（1，3）【考点】其他不等式的解法；函数的图象．【专题】计算题；数形结合；分析法；不等式的解法及应用．【分析】根据函数图象以及不等式的等价关系即可．【解答】解：不等式xf（x）＜0等价为或，则1＜x＜3，或﹣1＜x＜0，故不等式xf（x）＜0的解集是（﹣1，0）∪（1，3）．故答案为：（﹣1，0）∪（1，3）．【点评】本题主要考查不等式的求解，根据不等式的等价性结合图象之间的关系是解决本题的关键．12.已知正四棱锥的底面边长为4cm，侧面积为24cm2，则该四棱锥的体积是________cm3.参考答案：【分析】先算侧面三角形的高，再算正四棱锥的高，最后算四棱锥的体积.【详解】如图：由已知得，,所以；所以四棱锥的高；因此四棱锥的体积.【点睛】本题考查了锥体体积的计算，几何体体积问题要结合图形.13.已知、均为单位向量，它们的夹角为，那么等于．参考答案：略14.若数列{an}满足a2﹣a1＜a3﹣a2＜a4﹣a3＜…＜an+1﹣an＜…，则称数列{an}为“差递增”数列．若数列{an}是“差递增”数列，且其通项an与其前n项和Sn满足3Sn=1+λ﹣2an（n∈N*），则λ的取值范围是．参考答案：（﹣1，+∞）【分析】根据数列递推公式得到数列{an}是以2为公比的等比数列，求出数列{an}的通项公式，再根据新定义，即可求出λ的范围．【解答】解：∵3Sn=1+λ﹣2an（n∈N*），n≥2时，3Sn﹣1=1+λ﹣2an﹣1，两式相减得5an=2an﹣1．故数列{an}是以为公比的等比数列，当n=1时，a1=，∴an=，可得an+1﹣an=，an﹣an﹣1=，由此可得（an+1﹣an）﹣（an﹣an﹣1）=，可得1+λ＞0?λ＞﹣1故答案为：（﹣1，+∞）15.要使sin－cos=有意义，则m的范围为

参考答案：略16.设f(x)是定义在(－1,1)上的偶函数在(0,1)上递增，若，则a的取值范围为________．参考答案：【分析】根据函数为偶函数和函数的单调性列不等式组，解不等式组求得a的取值范围.【详解】由于函数为偶函数，且在(0,1)上递增，所以函数在上递减.由得，所以，解得.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和函数的单调性，考查不等式的解法，属于中档题.17.某几何体的三视图及相应尺寸（单位：）如图所示，几何体的体积为

，外接球的表面积是____________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，其中.（1）判断并证明函数f(x)的奇偶性；（2）判断并证明函数f(x)在(－4,4)上的单调性；（3）是否存在这样的负实数k，使对一切恒成立，若存在，试求出k取值的集合；若不存在，说明理由.

参考答案：解：（1）∵，∴是奇函数.（2）在上为减函数.证明：任取且，则，∵，∴，得，得到，∴在上为减函数；（3）∵，∵在上为减函数，∴对恒成立由对恒成立得：对恒成立，令，∵，∴，∴，得，由对恒成立得：，由对恒成立得：，即综上所得：，所以存在这样的，其范围为.

19.销售甲，乙两种商品所得到利润与投入资金x（万元）的关系分别为f（x）=m，g（x）=bx（其中m，a，b∈R），函数f（x），g（x）对应的曲线C1，C2，如图所示．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；（2）若该商场一共投资4万元经销甲，乙两种商品，求该商场所获利润的最大值．参考答案：【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）分别将点（0，0）、（8，）代入f（x），（8，）代入g（x）计算即可；（2）设销售甲商品投入资金x万元，则乙投入（4﹣x）万元，代入（1）中各式，再令=t，问题转化为关于t的二次函数，通过配方法即得最大值．【解答】解：（1）根据题意，得，解得，，所以f（x）=

（x≥0），又由题意知，即，所以g（x）=（x≥0）；（2）设销售甲商品投入资金x万元，则乙投入（4﹣x）万元，由（1）得y=+（0≤x≤4），令=t，则，故=

（），当t=2即x=3时，y取最大值1，答：该商场所获利润的最大值为1万元．【点评】本题考查数形结合、还原法、配方法，将图象中的点代入解析式是解题的关键，属于中档题．20.函数f（x）=（cosx﹣sinx）?sin（）﹣2asinx+b（a＞0）．（1）若b=1，且对任意，恒有f（x）＞0，求a的取值范围；（2）若f（x）的最大值为1，最小值为﹣4，求实数a，b的值．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】数形结合；换元法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）先化简函数式，将函数化为sinx的二次型函数，再用分离参数法和单调性求解；（2）讨论二次函数在“动轴定区间”上的最值，再列方程求解．【解答】解：（1）当b=1时，函数式可化简如下：f（x）=（cosx﹣sinx）?（cosx+sinx）﹣2asinx+1=（cos2x﹣sin2x）﹣2asinx+1=﹣sin2x﹣2asinx+，令t=sinx（0＜t＜），对任意x∈（0，），恒有f（x）＞0，即为﹣t2﹣2at+＞0，分离参数得：﹣2a＞t﹣，由t﹣在（0，）递增，所以，t﹣＜﹣3=﹣，因此，﹣2a＞﹣，解得，0＜a＜，即实数a的取值范围为（0，）；（2）f（x）=﹣sin2x﹣2asinx+b+，令t=sinx（﹣1≤t≤1），记g（t）=﹣t2﹣2at+b+，图象的对称轴t=﹣a＜0，且开口向下，①当﹣a≤﹣1时，即a≥1，函数g（t）在[﹣1，1]上单调递减，则g（t）max=g（﹣1）=﹣1+2a+b+=1，g（t）min=g（1）=﹣1﹣2a+b+=﹣4，解得a=，b=﹣1；②当﹣1＜﹣a＜1时，即0＜a＜1，函数g（t）在[﹣1，1]上先增后减，则g（x）max=g（﹣a）=+b+a2=1，g（x）min=g（1）=﹣1﹣2a+b+=﹣4，解方程可得a=﹣1，b=2﹣，由于a=﹣1＞1，不合题意，舍去．综上可得a=，b=﹣1．【点评】本题主要考查三角函数的化简和求值，以及不等式恒成立问题的解法，运用了参数分离和函数的单调性，属于中档题．21.（本小题满分14分）已知，函数.（1）求的单调区间；（2）当时，证明：方程在区间（2，）上有唯一解；（3）若存在均属于区间[1，3]的且，使=，证明：．参考答案：解：（1）函数的定义域

，

-------------2分

令得：，令得：----------4分∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为-------------5分（2）证明：当时，，由（1）知的单调递减区间为，单调递增区间为，--------------------------------------------6分令，则在区间单调递增且，-----------------8分∴方程在区间（2，）上有唯一解．----------------------9分（注：检验的函数值异号的点选取并不唯一）（3）证明：由及（1）的结论知，-------------10分从而在上的最大值为（或），---------------------11分又由知--------------------------12分故，即-----------------------13分从而．---------------------