13.2.1 平面的基本性质（六大题型）-2024学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）（解析版）

第第页13.2.1平面的基本性质课程标准学习目标（1）能够类比初中描述点、直线的方法，描述平面，感受平面的“平”和“无限延展”两个本质特征，会用图形、符号语言表示平面．（2）能从实际情境中或借助模型归纳出三个基本事实，能从基本事实中推出3个推论，并用三种语言描述基本事实及其推论；能用自己的语言解释刻画平面基本性质的数学方法（三个基本事实分别从点与平面、直线与平面、平面与平面关系的角度刻画了平面的基本性质）．（1）了解平面的表示方法，点、直线、平面的位置关系.（2）掌握关于平面基本性质的三个基本事实.（3）会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系．知识点01平面的基本概念1、平面的概念：“平面”是一个只描述而不定义的原始概念，常见的桌面、黑板面、平静的水面等都给我们以平面的形象．几何里的平面就是从这些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的．知识点诠释：（1）“平面”是平的（这是区别“平面”与“曲面”的依据）；（2）“平面”无厚薄之分；（3）“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据．2、平面的画法：通常画平行四边形表示平面．知识点诠释：（1）表示平面的平行四边形，通常把它的锐角画成，横边长是其邻边的两倍；（2）两个相交平面的画法：当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，把被遮住的部分的线段画为虚线或者不画；3、平面的表示法：（1）用一个希腊字母表示一个平面，如平面、平面、平面等；（2）用表示平面的平行四边形的四个字母表示，如平面；（3）用表示平面的平行四边形的相对两个顶点的两个字母表示，如平面或者平面；4、点、直线、平面的位置关系：（1）点A在直线a上，记作；点A在直线a外，记作；（2）点A在平面上，记作；点A在平面外，记作；（3）直线在平面内，记作；直线不在平面内，记作．【即学即练1】（2024·高一·全国·课时练习）下面说法中正确的是（

）A．任何一个平面图形都是一个平面B．平静的太平洋面是平面C．平面就是平行四边形D．在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面【答案】D【解析】对于A中，平面是无限延展的，所以一个平面图形不是一个平面，所以A不正确；对于B中，平静的太平洋面是个有边界的图形，不是平面，所以B不正确；对于C中，平面可以用平行四边形表示，但平面不是是平行四边形，所以C不正确；对于D中，在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面，所以D正确.故选：D.知识点02平面的基本性质平面的基本性质即书中的三个公理，它们是研究立体几何的基本理论基础．1、公理1：（1）文字语言表述：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内；（2）符号语言表述：，，，；（3）图形语言表述：知识点诠释：公理1是判断直线在平面内的依据．证明一条直线在某一平面内，只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内．“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”．2、公理2：（1）文字语言表述：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；（2）符号语言表述：、、三点不共线有且只有一个平面，使得，，；（3）图形语言表述：知识点诠释：公理2的作用是确定平面，是把空间问题化归成平面问题的重要依据．它还可用来证明“两个平面重合”．特别要注意公理2中“不在一条直线上的三点”这一条件．“有且只有一个”的含义可以分开来理解．“有”是说明“存在”，“只有一个”说明“唯一”，所以“有且只有一个”也可以说成“存在”并且“唯一”，与确定同义．（4）公理2的推论：①过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；②过两条相交直线，有且只有一个平面；③过两条平行直线，有且只有一个平面．（5）作用：确定一个平面的依据．3、公理3：（1）文字语言表述：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；（2）符号语言表述：且；（3）图形语言表述：知识点诠释：公理3的作用是判定两个平面相交及证明点在直线上的依据．【即学即练2】（2024·高二·上海虹口·阶段练习）如图，在长方体中，、分别是和的中点．(1)证明：、、、四点共面；(2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线；(3)证明：、、三线共点．【解析】（1）连接在长方体中、分别是和的中点、、、四点共面（2）确定一个平面面面对角线与平面交于点面在面与面的交线上面且面面面即点共线.（3）延长交于面面面面面面、、三线共点.题型一：平面的概念及其表示【典例1-1】（2024·高二·新疆阿克苏·阶段练习）用集合符号表示下列语句：(1)点在直线上，点不在直线上；(2)平面与平面相交于过点的直线．【解析】（1）点在直线上，点不在直线上可表示为：（2）平面与平面相交于过点的直线可表示为：【典例1-2】（2024·高一·全国·随堂练习）用符号和图形表示下列语句：(1)，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线；(2)两条相交直线和都在平面内；(3)直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点．【解析】（1）因为，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线，符号表示为：、，，，则.图形表示如下：（2）因为两条相交直线和都在平面内，符号表示为：，，，图形表示如下：（3）直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点，符号表示为：，，，图形表示如下：【变式1-1】（2024·高二·新疆喀什·阶段练习）用符号表示下列语句，并画出相应的图形．(1)点A在平面外，但点B在平面内；(2)直线既在平面内，又在平面内．【解析】（1）（2）【变式1-2】（2024·高二·全国·课时练习）用符号语言改写下列语句：(1)点A在平面内，点B不在直线l上；(2)直线l在平面内，直线m与平面有且只有一个公共点M；(3)直线a和b相交于一点M．【解析】（1）由点A在平面内，即；由点B不在直线l上，即.（2）由直线l在平面内，即；由直线m与平面有且只有一个公共点M，即且.（3）由直线a和b相交于一点M，即.【变式1-3】（2024·高二·全国·课时练习）下列图形表示两个相交平面，其中画法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A，图中没有画出平面与平面的交线，故A不正确；对B，C，图中的虚实线没有按照画法原则去画，故B，C不正确；对D，符合画法原则，故D正确，故选：D【变式1-4】（2024·高一·湖南张家界·阶段练习）如图所示，用符号语言可表述为（

）A．，， B．，，C．，，， D．，，，【答案】A【解析】由图形可知，，，或表示为，.即A正确.故选：A【方法技巧与总结】（三种语言转换的注意事项）（1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．（2）符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．（3）由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意把被遮挡的部分画成虚线．题型二：平面的确定【典例2-1】（2024·高二·全国·课时练习）下列说法中，正确的是（

）．A．三点确定一个平面 B．过一条直线的平面有无数多个C．两条直线确定一个平面 D．三条两两相交的直线确定三个平面【答案】B【解析】若三点共线，则此三点不能确定一个平面，A错误；过一条直线的平面有无数多个，B正确；两条直线若异面，则两条直线无法确定一个平面，C错误；三条两两相交的直线若过同一个点，则三条两两相交的直线确定三个平面或一个平面，D错误.故选：B【典例2-2】（2024·高二·全国·课时练习）下列命题中是真命题的是（

）A．三点确定一个平面B．一条直线和一个点确定一个平面C．两条直线确定一个平面D．两两相交且不共点的三条直线，确定一个平面【答案】D【解析】A：根据公理2知，必须是不共线的三点确定一个平面，故A错误；B：一条直线和直线外的一点可以确定一个平面，故B错误；C：两条直线不可以确定一个平面，比如两条异面直线不能确定一个平面，故C错误；D：两两相交且不共点的三条直线，则三个交点不共线，故它们确定一个平面，由公理1知，三条直线都在此平面内，故D正确.故选：D.【变式2-1】（2024·高一·全国·课时练习）空间不重合的三个平面可以把空间分成（

）A．4或6或7个部分 B．4或6或7或8个部分C．4或7或8个部分 D．6或7或8个部分【答案】B【解析】空间不重合的三个平面，若三个平面互相平行，则可将空间分为4部分；若三个平面有两个平面平行，则第三个平面与其它两个平面相交，可将空间分为6部分；若三个平面交于一线，则可将空间分为6部分；若三个平面两两相交且三条交线平行（联想三棱柱三个侧面的关系），则可将空间分为7部分；若三个平面两两相交且三条交线交于一点（联想墙角三个墙面的关系），则可将空间分为8部分.所以空间不重合的三个平面可以把空间分成4或6或7或8个部分.故选：B.【变式2-2】（2024·高一·全国·专题练习）平面α，β，γ不能将空间分成（）A．5部分 B．6部分C．7部分 D．8部分【答案】A【解析】三个平面平行时，将空间分成4个部分；三个平面相交于同一条直线时，将空间分成6个部分；当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成6个部分；当三个平面两两相交且有三条交线时，将空间分成7个部分；当有两个平面相交，第三个平面截两个相交平面时，可将空间分成8个部分．所以平面α，β，γ不能将空间分成5部分．故选：A．【变式2-3】（2024·高一·江苏镇江·阶段练习）下列命题中正确的是（

）A．过三点确定一个圆B．两个相交平面把空间分成四个区域C．三条直线两两相交，则确定一个平面D．四边形一定是平面图形【答案】B【解析】A，过不共线三点确定一个圆，错误；B，两个相交平面把空间分成四个区域，正确；C，三条直线两两相交，若第三条在另两条确定的平面内可以确定一个平面，否则不能确定一个平面，错误；D，四边形可以是平面图形，也可以是空间四边形，错误.故选：B【变式2-4】（2024·高二·全国·课时练习）一条直线和直线外的三点所确定的平面有（

）A．1个或3个 B．1个或4个C．1个，3个或4个 D．1个，2个或4个【答案】C【解析】若三点在同一条直线上，且与已知直线平行或相交，即该直线在由该三点确定的平面内，则均确定1个平面；若三点中有两点的连线和已知直线平行时可确定3个平面；若三点不共线，且该直线在由该三点确定的平面外，则可确定4个平面，故选：C题型三：点线共面【典例3-1】（2024·高一·河南洛阳·阶段练习）如图，在正方体中，P，Q分别是棱，的中点，平面平面，则下列结论错误的是（

）A．过点BB．不一定过点BC．的延长线与的延长线的交点在上D．的延长线与的延长线的交点在上【答案】B【解析】连接，，如图，因为P，Q分别是棱，的中点，由勾股定理得，所以四边形是菱形，所以，P，B，Q四点共面，即平面.又平面，所以，故A结论正确，B结论错误.如图，延长与的延长线交于点F，延长与的延长线交于点E.因为平面，所以平面，因为平面，所以平面，所以，同理，故C，D正确.故选：B【典例3-2】（2024·高一·全国·专题练习）如图所示，在空间四面体中，、分别是、的中点，、分别是、上的点，且，.求证：、、、四点共面；【解析】连接，，因为、分别是、的中点，所以，又、分别是、上的点，且，，，，、、、四点共面.【变式3-1】（2024·高二·全国·随堂练习）如图，已知E，F，G，H分别为四面体ABCD的棱长AB，BC，CD，AD的中点，求证：E，F，G，H四点共面．

【解析】∵E，F，分别为AB，BC的中点，∴，且，∵G，H分别为CD，AD的中点，∴，且，∴，且，∴四边形为平行四边形∴E，F，G，H四点共面．【方法技巧与总结】所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题．1、证明点线共面的主要依据：（1）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（公理1）；②经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理2及其推论）．2、证明点线共面的常用方法：（1）证明几点共面的问题可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内；（2）证明空间几条直线共面问题可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内．题型四：三点共线【典例4-1】（2024·高三·全国·专题练习）如图所示，在平面外，三边AB，AC，BC所在直线分别交平面于P，Q，R三点．求证：P，Q，R三点在同一直线上．【解析】由，可知点，且平面ABC，可知点平面ABC，又，所以点P在平面ABC与平面的交线上，同理可得：点Q，R均在平面ABC与平面的交线上，所以P，Q，R三点共线．【典例4-2】（2024·高三·全国·专题练习）若所在的平面和所在平面相交，并且直线相交于一点O，求证：

(1)和、和、和分别在同一平面内；(2)如果和、和、和分别相交，那么交点在同一直线上（如图）.【解析】（1）∵，∴确定平面，∵都在平面内，∴平面；平面，∵，∴确定平面，∵都在平面内，∴平面；平面，∵，∴确定平面，∵都在平面内，∴平面；平面；（2）∵，∴，因为平面，平面，所以点在平面与平面的交线上，∵，∴，因为平面，平面，所以点在平面与平面的交线上，∵，∴，因为平面，平面，所以点在平面与平面的交线上，所以三点共线.【变式4-1】（2024·高一·河南信阳·期中）如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且.

(1)证明：四点共面；(2)设，证明：A，O，D三点共线.【解析】（1）证明：如图，连接.在正方体中，，所以，又，且，所以四边形是平行四边形，所以，，所以四点共面；（2）证明：由，，又平面，平面，同理平面ABCD，又平面平面，，即A，O，D三点共线.【变式4-2】（2024·高一·全国·专题练习）如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且．设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．【解析】因为，所以．由已知可得，平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，所以平面ABC．同理，平面ADC，平面ADC．所以为平面ABC与平面ADC的一个公共点．又平面平面，所以，所以P，A，C三点共线．【变式4-3】（2024·高一·全国·课时练习）如图，在长方体中，，截面．(1)求证：B、P、三点共线；(2)若，，，求DP的长．【解析】（1）平面，所以平面，又平面,平面平面，所以,即三点共线.（2）连接，再连接，交于点，由（1）及，则点为与交点，，四边形为平行四边形，是中点，又是的中点,所以点是的重心,所以,又因为,所以,所以.【变式4-4】（2024·高一·全国·课时练习）已知平面平面，点，点，又，过三点确定的平面为，则是（

）A．直线 B．直线C．直线 D．直线【答案】B【解析】已知过三点确定的平面为，则.又，则，又平面平面，则，又因为，所以，，所以.故选：B.【变式4-5】（2024·高一·河南开封·期末）如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（

）

A．三点共线，且B．三点共线，且C．三点不共线，且D．三点不共线，且【答案】B【解析】连接连接，，直线平面平面.又平面，平面平面直线∴三点共线..故选：B.【方法技巧与总结】所谓点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同—条直线上．1、证明三点共线的依据是公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．也就说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上．对于这个公理应进一步理解下面三点：①如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；②如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；③如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上．2、证明三点共线的常用方法方法1：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点．根据公理3知，这些点都在交线上．方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上．题型五：三线共点问题【典例5-1】（2024·高一·山东威海·期末）在空间四边形中，若，分别为，的中点，，，且，，则（

）A．直线与平行 B．直线，，相交于一点C．直线与异面 D．直线，，相交于一点【答案】B【解析】因为，，且，所以，所以且，因为，分别为，的中点，所以且，所以且，故四边形为梯形，且，是梯形的两腰，所以，交于一点，设交点为，则，，又因为平面，且平面，所以平面，且平面，又平面平面，所以，所以点是直线，，的公共点，故直线、、相交于一点．故选：B【典例5-2】（2024·高三·全国·专题练习）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且．求证：直线，，相交于一点．【解析】在空间四边形中，连接，∵分别为的中点，则，且，又由，则，且，故，且，故四边形为梯形，与交于一点，设与交于点，如图，由于平面，故点在平面内，同理点在平面内，又∵平面平面，∴点在直线上，故直线相交于一点．【变式5-1】（2024·高一·陕西·期中）已知分别是正方体中和的中点.(1)证明：四点共面.(2)证明：三条直线交于一点.【解析】（1）连接，因为是正方体，分别是和的中点，所以.又，所以四边形为平行四边形，所以，所以，所以四点共面.（2）由（1）知，且，所以和必交于一点.设，因为平面，所以平面.因为平面，所以平面.又平面平面，所以，所以交于一点.【变式5-2】（2024·高一·安徽合肥·期中）如图，正四棱柱'．(1)请在正四棱柱中，画出经过P、Q、R三点的截面（无需证明）；(2)若Q、R分别为'中点，证明：AQ、CR、三线共点．【解析】（1）作直线分别交的延长线于，连接交于，连接交于点，连接，如图五边形PSQRT即为所求；（2）证明：如图，连接，，，则，，∵Q、R分别为中点，∴QR，又AC，∴QR，而AC＝2QR，可得四边形AQRC为梯形，设，则，∵AQ⊂平面，∴O∈平面A′AB，同理O∈平面C′CB，又平面平面，∴，即AQ、CR、三线共点．【变式5-3】（2024·高一·安徽芜湖·期中）如图，在三棱柱ABC-中，E为棱AB的中点，F为棱BC的中点.(1)求证：E，F，C1，四点共面；(2)求证：A1E，F，B交于一点.【解析】（1）证明：如图，连接EF，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴..又在三棱柱中，，∴.则E，F，，四点共面.（2）由（1）得且E，F，，四点共面，则与必相交.设.∵平面，∴P∈平面.∵⊂平面，∴P∈平面..又平面∩平面∴.则，，交于一点.【方法技巧与总结】（证明多点共线、多线共点的常用方法）（1）证明三线共点常用的方法：先证明两条直线相交于一点，然后证明这个点在两个平面内，第三条线是这两个平面的交线，于是该点在第三条直线上，从而得到三线共点．也可以先证明a，b相交于一点A，b与c相交于一点B，再证明A，B是同一点，从而得到a，b，c三线共点．（2）类比线共点的证明方法，可得到三点共线的证明方法：①首先找出两个平面的交线，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据公理3，可推知这些点都在交线上，即三点共线．②选择其中两点确定一条直线，然后证明第三个点也在这条直线上．题型六：截面问题【典例6-1】（2024·四川南充·一模）如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，则平面截正方体所得的截面面积为（

）A． B． C．9 D．18【答案】B【解析】由题知连接，，，如图所示因为分别是的中点，所以，在正方体中，所以，所以在同一平面内，所以平面截该正方体所得的截面为平面，因为正方体的棱长为，所以，，，则到的距离为等腰梯形的高为，所以截面面积为，故B正确.故选：B.【典例6-2】（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，用过点，E，的平面截正方体，则截面周长为（

）

A． B．9 C． D．【答案】A【解析】如图，取AB的中点G，连接GE，，．因为E为BC的中点，所以，，又，，所以四边形为平行四边形，所以，，所以，，所以用过点，E，的平面截正方体，所得截面为梯形，其周长为．故选：A．【变式6-1】（2024·高二·上海普陀·期中）如图是长方体被一平面截得的几何体，四边形为截面，则四边形的形状为（

）

A．梯形 B．平行四边形C．矩形 D．上述三种图形以外的平面图形【答案】B【解析】由长方体任意相对的两个平面都平行，用一个平面截取长方体时，相对的两个平面所得的线段必平行，即截面必为平行四边形；若截面与任意侧面都不垂直时，所得截面不可能出现直角，故不一定为矩形；所以四边形的形状为平行四边形.故选：B【变式6-2】（2024·高一·黑龙江大庆·期末）在正三棱柱中，，，，，平面CMN截三棱柱所得截面的周长是（

）

A． B．C． D．【答案】B【解析】如图1，延长与交于点，连结，与交于点，连结，则四边形为所求截面，其中，，如图2，，所以，即，如图1，若，则，所以，即点是的中点，所以，中，，所以，所以四边形的周长为.故选：B【变式6-3】（2024·高一·四川凉山·期末）在棱长为2的正方体中，E，F分别为，的中点，则正方体过点E，F，的截面面积为（

）A． B．5 C． D．【答案】C【解析】连接BE，BF，取的中点G，连接GF，，∵，∴为平行四边形，∴，∵，∴为平行四边形，∴，∴，∴为平行四边形，即四点共面，∴正方体过点E，F，的截面为平行四边形，又，则为菱形，∵，∴菱形的面积．故选：C．【变式6-4】（2024·高一·重庆渝中·期中）正方体的棱长为2，P为中点，过A，P，三点的平面截正方体为两部分，则截面图形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，截面为四边形，取中点，连接，则，且.因为,且，所以四边形是平行四边形，则，，所以，且，又所以截面为等腰梯形，且上底长为，下底长为，腰长为，所以截面的面积为.故选：C【变式6-5】（2024·新疆·二模）已知在直三棱柱中，E，F分别为，的中点，，，，，如图所示，若过A、E、F三点的平面作该直三棱柱的截面，则所得截面的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解析：延长，且与相交于，连接EG，并与相交于，连接FD，则四边形AEDF为所求的截面.在中，由，，得.在中，由，，得.因为为的中点，所以由平面几何知识可知，.所以，，即为AG的中点，所以.又由，可得，又，，所以.在中，由，，得，所以.所以在中，有，，，即，所以.又注意到，，则四边形AEDF的面积为.故选：B．【变式6-6】（2024·高一·河南洛阳·阶段练习）如下图，在正方体中，棱长为分别是的中点．(1)画出过三点的平面与平面、平面的交线；(2)设过三点的平面与交于点，求的长．【解析】（1）如图所示：平面，与底面的交点必在侧面与底面的交线上，过点的平面与平面的交线是，（在线段的延长线上），与平面的交线是（在线段上）．（2）由（1）可知：，在Rt中，由勾股定理得．【变式6-7】（2024·高一·湖南·课时练习）如图，在长方体，P为棱的中点，画出由，，P三点所确定的平面与长方体表面的交线．

【解析】如图，由于P是上的点，所以平面，且平面，所以平面平面=，同理，平面平面=，平面平面=，所以平面与长方体表面的交线是，，.作法：连接，，，它们就是平面与长方体表面的交线（如图）．【变式6-8】（2024·高一·重庆北碚·阶段练习）如图，在棱长为6的正方体中，P为的中点，Q为的一个三等分点（靠近C）．

(1)经过P，Q两点作平面，平面截正方体所得截面可能是n边形，请根据n的不同取值分别作出截面图形（每种情况作一个代表类型，例如只需要画一种，下面给了四幅图，可以不用完，如果不够请自行增加），保留作图痕迹；

(2)若M为AB的中点，求过点P，Q，M的截面的面积．【解析】（1）截面可以分别为三角形，四边形，五边形，六边形,如图，取上一点，连结，即为截面三角形；如图，取线段上，靠近点处的一点，延长，连结，，连结，则四边形为截面四边形；和取上靠近点的四等分点，连结并延长，交于点，连结并延长，交于点，连结并延长，交于点，连结并延长，交于点，连结，如图五边形为截面五边形.如图，延长，交的延长线交于点，取上靠近点的三等分点，连结，并延长，交于点，连结，交于点，六边形为截面六边形.（2）如图：连接PQ所在直线交DC延长线于X，交的延长线于Z；连接直线MX交BC于R，交DA延长线于Y；连接YZ分别交，于S，T．则六边形PQRMST即为截面．∵P为的中点，Q为的一个三等分点（靠近C），∴，，，可得，，，，又，，所以，，，，又，M为AB的中点，，，所以YDZ为等腰直角三角形，所以，，，，，∴为等腰三角形，等边上的高为，，所以方法二：可证明PQRM与PTSM是全等的等腰梯形，，，，所以等腰梯形PQRM的高为，所以．【方法技巧与总结】利用平面的基本性质一、单选题1．（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）设平面平面，点，点是的中点，当分别在平面内运动时，那么所有的动点C（

）A．不共面B．当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．共面【答案】D【解析】根据题意可知，点应在过的中点且平行于（或）的平面内，因此当分别在平面内运动时，所有的动点C共面.故选：D2．（2024·高一·河北石家庄·期中）有下列四个判断：①两条相交直线确定一个平面；②两条平行直线确定一个平面；③三个点确定一个平面；④一条直线和一点确定一个平面.正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】两条相交直线确定一个平面，两条平行直线确定一个平面，①②正确.在同一直线上的三个点不能确定一个平面，③错误.直线和直线上一点不能确定一个平面，④错误.所以正确的个数为个.故选：B3．（2024·高二·四川乐山·阶段练习）三个平面将空间分成7个部分的示意图是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】对于A，三个平面将空间分成4个部分，不合题意；对于B，三个平面将空间分成6个部分，不合题意；对于C，三个平面将空间分成7个部分，符合题意；对于D，三个平面将空间分成8个部分，不合题意.故选：C4．（2024·高一·湖北黄冈·阶段练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，分别在BC，CD上，且则下面几个说法中正确的个数是（

）

①E，F，G，H四点共面；②③若直线EG与直线FH交于点P，则P，A，C三点共线．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】如图所示，E，F分别为AB，AD的中点，∴，，分别在BC，CD上，且，∴，，∴，则E，F，G，H四点共面，说法①正确；∵，四边形是梯形，不成立，说法②错误；若直线与直线交于点P，则由，平面，得平面，同理平面，又平面平面，∴则P，A，C三点共线，说法③正确；说法中正确的有2个.故选：C5．（2024·高一·湖北黄冈·阶段练习）若点A在平面内，直线l在平面内，点A不在直线l上，下列用集合表示这些语句的描述中，正确的是（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】B【解析】因为直线和平面都是由点形成的，所以根据元素与集合的关系知，点A在平面内表示为，点A不在直线l上表示为，根据集合与集合的关系知，直线l在平面内可表示为.故选：B6．（2024·高一·广东广州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，N是的中点，过B、D、N的平面截该正方体所得截面的面积为（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】连接，取的中点，连接，因为是的中点，所以∥，，因为∥，，所以∥，，所以过B、D、N的平面截该正方体所得截面为梯形，连接交于，连接交于，连接，因为，所以，所以梯形为等腰梯形，所以，所以梯形的面积为，故选：B7．（2024·吉林·模拟预测）在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点，则下列结论错误的是（

）A．三点共线 B．四点异不共面C．四点共面 D．四点共面【答案】C【解析】因为,则四点共面.因为,则平面,又平面,则点在平面与平面的交线上,同理,也在平面与平面的交线上,所以三点共线;从而四点共面,都在平面内，而点B不在平面内，所以四点不共面，故选项B正确；三点均在平面内，而点A不在平面内，所以直线AO与平面相交且点O是交点，所以点M不在平面内，即四点不共面，故选项C错误；，且，所以为平行四边形，所以共面，所以四点共面，故选项D正确.故选:C.8．（2024·高二·四川乐山·期末）在长方体中，若分别为的中点，过点作长方体的一截面，则该截面的周长为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】连接，过点做交于点，连接，即可得到截面，因为为中点，，所以，因为，则，且，，所以截面的周长为故选:D二、多选题9．（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）下列说法，不正确的有（

）A．如果一条直线与另两条直线都相交，那么这三条直线必共面B．如果三条直线两两都相交，那么它们能确定一个平面C．如果三条直线相互平行，那么这三条直线在同一个平面上D．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面【答案】ABC【解析】对于AB，当三条直线交于同一点时，三条直线可能不共面，故AB错误，对于C，当三条直线相互平行时，三条直线可能不共面，故C错误，对于D，一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面，故D正确，故选：ABC10．（2024·高三·山西大同·阶段练习）已知正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（

）A．三点共线 B．四点共面C．四点共面 D．四点共面【答案】ABC【解析】连接，，，因为为的中点，所以，平面平面，因为平面，平面，所以点是平面和平面的交点，所以，，，三点共线，故A正确；因为，，三点共线，所以，，，四点共面，，，，四点共面，故BC正确；取中点，连接交于点，由题意得，，所以，即为的三等分点，因为，，不共线，平面，平面，为的中点，所以点平面，，，，四点不共面，故D错.故选：ABC.11．（2024·高一·贵州安顺·期末）木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时，为了经过木料表面内一点