1物理第十七章振动.ppt

1、1,第四 篇,波动与光学,2,第十七章 振动,17-1 简谐振动,17-2 谐振动的能量,17-3 简谐振动的动力学解法,17-4 阻尼振动,17-5 受迫振动 共振,179-6 简谐振动的合成,*17-7 振向互正交简谐振动的合成,第十九章 振 动 (Vibration),机械振动(mechanical vibration)： 物体在一定位置附近作来回往复的运动.,广义振动：任何一个物理量在某个值附近作往复变化时, 都称为振动.,振动是一种重要的运动形式.,振动有各种不同的形式: 机械振动、电磁振动、 微观振动等,振动的分类,一、简谐振动(谐振动) (simple harmonic vibr

2、ation) ：,物体振动时, 平衡位置的位移 x ( 或角位移 )随时间t 变化可表示为余弦函数或正弦函数.,17-1 简谐振动,1. 运动学表达式,x t 的关系曲线称 振动曲线,2. 简谐振动特点：,二、描述简谐振动的特征量,1. 振幅 A (amplitude) :离开平衡位置的最大位移的绝对值.,2. 周期和频率 (反映振动的快慢),周期(period)T ：完成一次全振动所需时间.,角频率(angular frequency)：2秒内的振动次数(圆频率).,频率 (frequency)：单位时间内的振动次数.,单位：Hz(或s-1),单位： s-1或rad.s-1,3. 相位(ph

3、ase), ( t + ) 是t 时刻的相位.,t 时刻的相位反映 t 时刻的振动状态 ( x, v, a ), 初相 (initial phase) : t = 0时刻的相位,反映 t = 0时刻的振动状态 (x0, v0 ,a0 ),4. 相位差,两同频率的简谐振动的相位差,同相(in-phase) : = 2k, (k=0,1,2) 两振动步调相同,反相(antiphase) : = (2k+1), (k=0,1,2), 两振动步调相反,(1) 同相和反相,初相 的数值决定于时间零点的选择, 而不是振动开始的时刻.,(2) 超前和滞后, = 2 - 1 0, x2 比 x1较早达到正最大

4、, 称 x2比 x1超前; 反之, 称滞后.,超前/滞后以 的相位角来判断,三、动力学方程,以弹簧振子为例,弹簧振子：弹簧 物体系统,平衡位置：振动物体所受合外力 为零的位置,物体在平衡位置的两侧, 在弹性恢复力和惯性两个因素 互相制约下, 不断重复相同的运动过程.,谐振动微分方程,微分方程形式,1. 力的特征,2.加速度特征 (动力学微分方程）,由,其通解为：,(1),(2),(3) 式均为物体作谐振动的特征表述.,谐振动方程,3. 位移特征,其中, A, , 为常数.,4. 固有角频率(natural angular frequency),(1) (或.T )、 A 和 三个特征量确定,

5、则谐振 动方程就被唯一地确定. (2) (或.T )由系统本身的性质决定; A 和 由初条件决定. (3) 在(- , )中 有两个可能值, 需用初条件判断取舍.,5. A 和 的确定,由初条件决定 ，即 t = 0 时，x = x0, v = v0,说明,简谐振动定义（判据）： 描述运动的物理量遵从微分方程,运动学特征,为维持运动，物体所受合外力,动力学特征,例：判断下列运动是否为简谐振动,1.乒乓球在地面上的上下跳动,2.小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅振动,mg,O,切向运动,谐振动,3.竖直方向悬挂的谐振子,4.光滑斜面上的谐振子,m,速度,四、简谐振动的速度、加速度, 结论：,速

6、度和加速度都是简谐振动 速度比位移超前 /2，加速度比速度超前 /2 加速度与位移反相, 位移，速度，加速度曲线 （ 设 = -/2 ）,五、谐振动的旋转矢量法(rotational vector),CAI 简谐振动,矢量 A以角速度绕O点逆时针旋转,则矢量端点在x轴上的投影点作简 谐振动.,六、简谐振动的研究方法,1. 解析法,已知表达式 A, , 已知 A, , 表达式,2. 曲线法,已知曲线 A, , 已知 A, , 曲线,3. 旋转矢量法 (可优先选用),例题,例1 (补)一弹簧振子放在光滑的水平面上, 已知弹簧的 劲度系数 k =1.6N/m, 物体质量 m =0.4kg. 试就以下

7、两种情 况分别求出谐振动方程. (1)将物体由平衡处向右移至 x =0.1m 处释放. (2)将物体由平衡处向右移至 x =0.1m处并给其向左的速度 0.2m/s.,解（1）,则振动方程为,（2）,谐振动方程为,例2（补）: 已知质点谐振动曲线 x t，如图所示 求质点的振动方程.,解:,由图知 A=0.04m. t=0时，x0=0.02m, v0 0,对应参考圆中M0点，,由图知，t=1s时， x1=0.02m, v1 0. M1点,振动方程为,例3 (补): 已知振动方程 ,求 x = -0.06m , 且 向x负方向运动时的v, a及回到平衡位置所需最短时间.,解:,解得 t =1s

8、, 此时,设 t时刻对应其第一次经过平衡位置，则,17-2 谐振动的能量,以弹簧振子为例,谐振动系统的能量 = 系统的动能Ek + 系统的势能Ep,某一时刻，谐振子速度为 v ，位移为 x,谐振动的动能和势能是时间的周期性函数.,可见: 谐振动系统的机械能守恒, 并与振幅的平方成正比., 简谐振动系统的能量特点,(1) 动能,分析：,(3) 机械能,简谐振动系统机械能守恒.,(2) 势能, 谐振动小结,受力特征,运动学微分方程,谐振动方程（运动方程）,谐振动的能量,（T, ）: 决定于系统本身的性质; A：决定于系统的初始能量, : 决定于系统的初条件.,弹簧的并联,弹簧的串联,17-3 简谐

9、振动的动力学解法,由分析系统在某一时刻的受力出发, 列出系统的动力学方程, 如能得出形式如下的方程：,则,(1) 说明振动是简谐振动 (2) 可得出角频率 ,例1(p188-17-3 ): 单摆的微小振动 (自学 ),例2 (补): 复摆 (compound pendulum)（物理摆） 已知: m, h, J, 质心C.,试证明小角度摆动是谐振动，并求其周期.,为m绕O点转动的转动惯量.,当 很小时,有 , 则,证明：由转动定律 ，选为正,复摆的小角度运动是谐振动.,令,则,周期为,思考：若一单摆的频率与此复摆的频率相等，单摆的摆长 l 应是多少?( 此 l 称为复摆的等值单摆长),例3(补

10、):一轻弹簧上端固定, 下端系以质量m的物体, 由自重弹簧伸长了l0=9.8cm, 如用力拉下物体使其在平衡位置附近振动. (1) 求证系统是否作谐振动. (2) 如作谐振动, T =?,解：取弹簧原长处为坐标原点O，如图所示,由牛顿第二定律,若选平衡位置处为坐标原点O ,则,代入(1)式, 得,是谐振动,由上例可知 ，恒力不影响系统的振动规律. 只改变其振动的 的平衡位置, 这是谐振动的特点.,例4(补): 如图所示，振动系统由一倔强系数为k 的 轻弹簧、一半径为R、转动惯量为 J 的 定滑轮和一质量为m 的 物体所组成 . 使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动，试证物体作简谐振动，并求其周

11、期T.,解：取位移轴ox，坐标原点取 在m 所在平衡位置处，m 在平衡位置时，设弹簧伸 长量为l，则,当 m 有位移 x 时,联立得,一、阻尼振动(damped vibration),振幅随时间而减小的振动叫做阻尼振动.,17-4 阻尼振动,有粘滞阻力时的弹簧振子:,运动微分方程,粘滞阻力,牛顿方程,1. 阻尼振动的运动微分方程,令：,对在流体(液体、气体)中运动的物体, 当物体速度较小时,由系统本身的性质决定, :阻力系数由物体 大小、形状、表面情况 及介质决定,固有角频率,阻尼系数,A0和 决定于初始条件的积分常数,2. 方程的解,阻尼振动的角频率:,阻尼振动的周期,方程的解分为三种情形,

12、欠阻尼曲线：,振幅随时间t 作指数衰减 近似为简谐振动 阻尼振动周期比系统的固有周期长,阻尼振动的特点：,振幅,能量：,时间常量 (鸣响时间),能量减小到起始能量的1/e 所需要的时间,品质因数 (Q值),在鸣响时间内可能振动次数的 2 倍,2) 临界阻尼(critical damping )和过阻尼(overdamping),: 准周期运动,: 过阻尼, 振动从开始最大位移缓慢回到平衡位置, 不再做往复运动，非周期运动., 应用：, 电表阻尼 天平阻尼,临界阻尼, 是物体不作往复运动的极限. 从周期 运动变为非周期振动,系统在周期性外力(驱动力)持续作用下所发生的振动,一、 受迫振动(for

13、ced vibration),强迫力:,阻尼力:,弹性力:,2. 受迫振动的运动微分方程,17-5 受迫振动 共振,1. 受迫振动(forced vibration),微分方程的解为, 阻尼振动, 随时间消失, 等幅振动, 稳定解,经一段时间受迫振动变为等幅振动,其振幅和相位为,二、共振(resonance),驱动力的角频率为某一定值时, 受迫振动的振幅达到极大值的现象.,共振角频率,共振振幅,分析:,1) 越小时,2) =0时,尖锐振动,强迫力的方向永远与物体运动方向相同, 应用:,电磁共振选台(收音机) 乐器利用共振提高音响效果 利用核内的核磁共振研究物质结构及进行医疗诊断,破坏外力(强迫

14、力)的周期性 改变系统固有频率 改变外力的频率 增大系统阻尼力,？,受迫振动与简谐振动有何不同?, 避免共振的破坏的措施,小号发出的波足以把玻璃杯振碎,1940年华盛顿的塔科玛(Tacoma )斜拉大桥建成,同年7月的一场大风引起桥的共振 桥被摧毁,17-6 简谐振动的合成,一、同一直线同频率简谐振动的合成,1.振动方程,合振动的运动方程：, 结论,1) 合成结果仍为简谐运动. 2) 合振动与分振动在同一方向, 且有相同频率.,1) 相位差,同相, 合振幅最大,2) 相位差,反相, 合振幅最小,当 A1=A2 时, 质点静止.,3) 一般情况（相位差任意）,*同方向同频率多个谐振动的合成,设各

15、个谐振动的运动方程为,设 x 为四个分振动的合成，则合成的振动方程为,式中的A和可用一般的矢量求和方法求出.,讨论:,例：N个同方向，同频率的谐振动，它们的相位依次为0, ,2 , 试求它们的合振幅; 并证明当 N=2k 时的合振幅为零.,解：设各分振动的振幅均为A0, N个分振动的相位差 都相等且均为 =，由振幅矢量法可得合振 幅矢量 A. 由几何关系易知,在等腰三角形OPQ中，可得合振幅 A,在等腰三角形OPB中,消去R 可得,合振幅为,当N =2k 时，分母不为零，而分子为零，此时合振幅为零.,二、同一直线上不同频率的简谐振动的合成,相位差随时间变化; 合振动不再是简谐振动.,讨论: 两

16、频率都较大, 而频率差很小的情况,设两振动的振幅相同, 初相相等的情况,1.解析法,合振动的运动方程为：,表明: 一个高频振动受一个低频振动的调制,合振动频率,合振动振幅,振幅变化的周期为：,拍(beat) 合振动振幅作周期性变化的现象.,拍频(beat frequency) ：单位时间内合振幅出现极大值的次数,拍周期: 两相邻振幅极大值之间间隔时间 Tb,（其中T 为 的周期）,2. 旋转矢量法,设：,由余旋定理,由图,三、 同振向倍频谐振动的合成,: 基周期,可以证明：任一周期性振动都可以分解成若干个谐振动, 他们的频率都是原振动频率（基频）的整数倍.,实例：,双簧管(oboe) 钢琴(p

17、iano)的调音,21：二次谐频 (second harmonic frequency),n1：n次谐频 ( harmonic frequency),基频率 (fundamental frequency),一、两个相互垂直的同频率谐振动的合成,消去参数t, 得轨迹方程,椭圆方程，形状决定于分振动的振幅和相位差.,*17-7 两个相互垂直的简谐振动的合成,运动方程：,合运动是简谐振动，角频率与初相不变，振幅为,轨迹：,轨迹：,运动方程：,合运动是简谐振动，角频率与初相不变，振幅为,讨论：,轨迹：,运动方程：,y 比x 位相超前/2, 故椭圆轨道运动的方向时顺时针, 即 右旋的.,3),轨迹：,运动方程：,y 比x 位相滞后/2, 故椭圆轨道运