高三数学 立体几何欧拉定理与球教案

1、立体几何欧拉定理与球一、知识点：1简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体2五种正多面体的顶点数、面数及棱数：正多面体顶点数面数棱数正四面体446正六面体8612正八面体6812正十二面体201230正二十面体1220303欧拉定理（欧拉公式）：简单多面体的顶点数、面数及棱数有关系式： 4欧拉示性数：在欧拉公式中令，叫欧拉示性数（1）简单多面体的欧拉示性数（2）带一个洞的多面体的欧拉示性数

2、（3）多面体所有面的内角总和公式： 或5 球的概念：与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球定点叫球心，定长叫球的半径与定点距离等于定长的点的集合叫做球面一个球或球面用表示它的球心的字母表示，例如球6球的截面：用一平面去截一个球，设是平面的垂线段，为垂足，且，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以为半径的一个圆，截面是一个圆面球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆7 经线：球面上从北极到南极的半个大圆；纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆；经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数；纬度：

3、某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数8两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离9两点的球面距离公式： （其中R为球半径，为A,B所对应的球心角的弧度数）10 半球的底面：已知半径为的球，用过球心的平面去截球，球被截面分成大小相等的两个半球，截面圆（包含它内部的点），叫做所得半球的底面11球的体积公式：12 球的表面积： 二、练习：1 一个面体共有8条棱，5个顶点，求2一个正面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求3一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V和面数F有下面的关系：F2V44有没

4、有棱数是7的简单多面体？说明理由5是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边6过球面上任意两点，作球的大圆的个数是 球半径为，球心到截面距离为，则截面面积为 已知球的两个平行截面的面积分别是和，它们位于球心同一侧，且相距，则球半径是 球直径为，为球面上的两点且，则两点的球面距离为 北纬圈上两地，它们在纬度圈上的弧长是（为地球半径），则这两地间的球面距离为 7北纬圈上有两地，在东径，在西径，设地球半径为，两地球面距离为 ；8一个球夹在二面角内，两切点在球面上最短距离为，则球半径为 ；9.设地球的半径为R，在北纬45圈上有A、B两点，它们的经度相差90，那么这两点间的纬线的长为_，

5、两点间的球面距离是_10球的大圆面积增大为原来的倍，则体积增大为原来的 倍；11三个球的半径之比为，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 倍；12.若球的大圆面积扩大为原来的倍，则球的体积比原来增加 倍；13.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ；14.正方体全面积是，它的外接球的体积是 ，内切球的体积是 15球O1、O2分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O3的表面上，求三个球的表面积之比16表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的表面积17 正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，

6、求球O1的体积练习参考答案：1 一个面体共有8条棱，5个顶点，求解：，即2一个正面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求解：，即3一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V和面数F有下面的关系：F2V4证明：，VFE2 VF2F2V44有没有棱数是7的简单多面体？说明理由解：若E7，VFE2，VF729 ，多面体的顶点数V4，面数F4只有两种情况V4，F5或V5，F4，但是有4个顶点的多面体只有四个面，不可能是5个面，有四个面的多面体是四面体，也只有四个顶点，不可能有5个顶点，没有棱数是7的多面体5是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边解：设有一个多面体，有F（奇数

7、）个面，并且每个面的边数也都是奇数，则，但是上式左端是奇数个“奇数相加”，结果仍为奇数，可右端是偶数，这是不可能的 不存在这样的多面体 6过球面上任意两点，作球的大圆的个数是 球半径为，球心到截面距离为，则截面面积为 已知球的两个平行截面的面积分别是和，它们位于球心同一侧，且相距，则球半径是 球直径为，为球面上的两点且，则两点的球面距离为 北纬圈上两地，它们在纬度圈上的弧长是（为地球半径），则这两地间的球面距离为 答案：一个或无数个 7北纬圈上有两地，在东径，在西径，设地球半径为，两地球面距离为 ；答案：8一个球夹在二面角内，两切点在球面上最短距离为，则球半径为 ；答案：9.设地球的半径为R，

8、在北纬45圈上有A、B两点，它们的经度相差90，那么这两点间的纬线的长为_，两点间的球面距离是_分析：求A、B两点间的球面距离，就是求过球心和点A、B的大圆的劣弧长，因而应先求出弦AB的长，所以要先求出A、B两点所在纬度圈的半径解：连结AB设地球球心为O，北纬45圈中心为O1，则O1OO1A，O1OO1B O1AO1BO1O两点间的纬线的长为： A、B两点的经度相差90，在中，两点间的球面距离是：10球的大圆面积增大为原来的倍，则体积增大为原来的 倍；答案： 8 11三个球的半径之比为，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 倍；答案： 3 12.若球的大圆面积扩大为原来的倍，则球的体积比原

9、来增加 倍；答案： 7 13.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ；答案： 6 14.正方体全面积是，它的外接球的体积是 ，内切球的体积是 答案： ，15球O1、O2分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O3的表面上，求三个球的表面积之比分析：球的表面积之比事实上就是半径之比的平方，故只需找到球半径之间的关系即可解：设正方体棱长为a，则三个球的半径依次为、， 三个球的表面积之比是16表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的表面积解：设球半径为，正四棱柱底面边长为，则作轴截面如图，又，17 正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O1的体积分析：正四面体的内切球