2018年高考数学一轮复习 专题13 导数的概念及其运算教学案 理

1、专题13 导数的概念及其运算1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数yc(c为常数)，yx，y，yx2，yx3，y的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如yf(axb)的复合函数)的导数 1函数f(x)在点x0处的导数(1)定义函数yf(x)在点x0的瞬时变化率 l，通常称为f(x)在点x0处的导数，并记作f(x0)，即 f(x0)(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)的切线的斜率等于f(x0)2函数f(x)的导函

2、数如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)可导这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f(x)于是，在区间(a，b)内，f(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数yf(x)的导函数，记为f(x)(或yx、y)3基本初等函数的导数公式yf(x)yf(x)yCyxnyx (x0，0)yax (a0，a1)yexylogax(a0，a1，x0)yln xysin xycos xy0ynxn1，n为自然数yx1，为有理数yaxln ayexyyycos xysin x4导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(

3、x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3) (g(x)0)5复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积高频考点一导数的运算例1、分别求下列函数的导数：(1)yexln x；(2)yx；(3)yxsincos；(4)yln.解(1)y(ex)ln xex(ln x)exln xexex.(2)yx31，y3x2.(3)yxsin x，y1cos x.(4)ylnln(12x)，y(12x).【方法技巧】求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错，常用求导技巧

4、有：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；(6)复合函数：由外向内，层层求导.【变式探究】求下列函数的导数：(1)yx2sin x；(2)y；(3)yxsincos；(4)yln(2x5).解(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)y.高频考点二导数的几何意义例2、(1)(2016全国卷)已知f(x)为偶函数，当

5、x0时，f(x)ex1x，则曲线yf(x)在点 (1，2)处的切线方程是_.(2)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为()A.xy10 B.xy10C.xy10 D.xy10解析(1)设x0，则x0时，f(x)ex1x.因此，当x0时，f(x)ex11，f(1)e012.则曲线yf(x)在点(1，2)处的切线的斜率为f(1)2，所以切线方程为y22(x1)，即2xy0.(2)点(0，1)不在曲线f(x)xln x上，设切点为(x0，y0).又f(x)1ln x，解得x01，y00.切点为(1，0)，f(1)1ln 11.直线l的方程为y

6、x1，即xy10.答案(1)2xy0(2)B【方法规律】(1)求切线方程的方法：求曲线在点P处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上.【变式探究】(1)已知直线yx1与曲线yln(xa)相切，则a的值为()A.1 B.2 C.1 D.2(2)若函数f(x)x2axln x存在垂直于y轴的切线，则实数

7、a的取值范围是_.解析(1)设切点为(x0，y0)，y，所以有解得(2)f(x)x2axln x，f(x)xa.f(x)存在垂直于y轴的切线，f(x)存在零点，xa0有解，ax2(x0).答案(1)B(2)2，)【举一反三】(2015全国卷)已知曲线yxln x在点(1，1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切，则a_.解析法一yxln x，y1，y|x12.曲线yxln x在点(1，1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.y2x1与曲线yax2(a2)x1相切，a0(当a0时曲线变为y2x1与已知直线平行).由消去y，得ax2ax20.由a28a0，解得a8.法二同法一得切线方程为y

8、2x1.设y2x1与曲线yax2(a2)x1相切于点(x0，ax(a2)x01).y2ax(a2)，y|xx02ax0(a2).由解得答案8高频考点三、导数与函数图象的关系例3、如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x0)，过点E作OB的垂线l.记AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数Sf(x)的图象为下图中的()答案D【感悟提升】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值：kf(x0)(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.(3)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可

9、设切点为(x1，y1)，由求解即可(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢【变式探究】(1)已知函数f(x)3xcos2xsin2x，af()，f(x)是f(x)的导函数，则过曲线yx3上一点P(a，b)的切线方程为()A3xy20B4x3y10C3xy20或3x4y10D3xy20或4x3y10(2)若直线y2xm是曲线yxlnx的切线，则实数m的值为_答案(1)C(2)e解析(1)由f(x)3xcos2xsin2x得f(x)32sin2x2cos2x，则af()32sin2cos1.由yx3得y3x2，当P点

10、为切点时，切线的斜率k3a23123.又ba3，则b1，所以切点P的坐标为(1,1)故过曲线yx3上的点P的切线方程为y13(x1)，即3xy20.当P点不是切点时，设切点为(x0，x)，切线方程为yx3x(xx0)，P(a，b)在曲线yx3上，且a1，b1.1x3x(1x0)，2x3x10，2x2xx10，(x01)2(2x01)0，切点为，此时的切线方程为y，综上，满足题意的切线方程为3xy20或3x4y10，故选C.(2)设切点为(x0，x0lnx0)，由y(xlnx)lnxxlnx1，得切线的斜率klnx01，故切线方程为yx0lnx0(lnx01)(xx0)，整理得y(lnx01)x

11、x0，与y2xm比较得解得x0e，故me.【2016高考山东理数】若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质.下列函数中具有T性质的是（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】当时，所以在函数图象存在两点，使条件成立，故A正确；函数的导数值均非负，不符合题意，故选A。【2015高考福建，理10】若定义在上的函数 满足 ，其导函数 满足 ，则下列结论中一定错误的是（ ）A B C D 【答案】C【2014安徽卷】设函数f(x)1(1a)xx2x3，其中a0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x0，1时 ，求f(x)取得最大值和最小值时的x的

12、值【解析】解： (1)f(x)的定义域为(，)，f(x)1a2x3x2.令f(x)0，得x1，x2，x1x2，所以f(x)3(xx1)(xx2)当xx2时，f(x)0；当x1x0.故f(x)在和 内单调递减，在内单调递增(2)因为a0，所以x10，当a4时，x21.由(1)知，f(x)在0，1上单调递增，所以f(x)在x0和x1处分别取得最小值和最大值当0a4时，x21.由(1)知，f(x)在0，x2上单调递增，在x2，1上单调递减，所以f(x)在xx2处取得最大值又f(0)1，f(1)a，所以当0a1时，f(x)在x1处取得最小值；当a1时，f(x)在x0和x1处同时取得最小值；当1a12x

13、，原不等式成立假设pk(k2，kN*)时，不等式(1x)k1kx成立当pk1时，(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1(k1)xkx21(k1)x.所以当pk1时，原不等式也成立综合可得，当x1，x0时，对一切整数p1，不等式(1x)p1px均成立(2)方法一：先用数学归纳法证明anc.当n1时，由题设知a1c成立假设nk(k1，kN*)时，不等式akc成立由an1ana易知an0，nN*.当nk1时，a1.由akc0得11p .因此ac，即ak1c，所以当nk1时，不等式anc也成立综合可得，对一切正整数n，不等式anc均成立再由1可得1，即an1an1c，nN*.假设nk(k1

14、，kN*)时，不等式akak1c成立，则当nk1时，f(ak)f(ak1)f(c)，即有ak1ak2c，所以当nk1时，原不等式也成立综合可得，对一切正整数n，不等式anan1c均成立【2014福建卷】已知函数f(x)exax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线yf(x)在点A处的切线斜率为1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x0时，x2ex；(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x(x0，)时，恒有x2cex.【解析】解：方法一：(1)由f(x)exax，得f (x)exa.又f (0)1a1，得a2.所以f(x)ex2x，f (x)ex2.令f (x)0，得

15、xln 2.当xln 2时，f (x)ln 2时，f (x)0，f(x)单调递增所以当xln 2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln 2)eln 22ln 22ln 4，f(x)无极大值若0c1，要使不等式x2kx2成立而要使exkx2成立，则只要xln(kx2)，只要x2ln xln k成立令h(x)x2ln xln k，则h(x)1.所以当x2时，h(x)0，h(x)在(2，)内单调递增取x016k16，所以h(x)在(x0，)内单调递增又h(x0)16k2ln(16k)ln k8(kln 2)3(kln k)5k，易知kln k，kln 2，5k0，所以h(x0)0.即存在x0，当

16、x(x0，)时，恒有x2cex.综上，对任意给定的正数c，总存在x0，当x(x0，)时，恒有x2cex.方法三：(1)同方法一(2)同方法一(3)首先证明当x(0，)时，恒有x30时，x2ex，从而h(x)0，h(x)在(0，)上单调递减，所以h(x)h(0)10，即x3x0时，有x2x3ex.因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x(x0，)时，恒有x2cex.【2014广东卷】 曲线ye5x2在点(0，3)处的切线方程为_【答案】y5x3【解析】本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法因为y5e5x，所以切线的斜率k5e05，所以切线方程是：y35(x0)，即y5x3.【2014江西

17、卷】若曲线yex上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_【答案】(ln 2，2) 【解析】设点P的坐标为(x0，y0)，yex.又切线平行于直线2xy10，所以ex02，可得x0ln 2，此时y2，所以点P的坐标为(ln 2，2)【2014江西卷】已知函数f(x)(x2bxb)(bR)(1)当b4时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间上单调递增，求b的取值范围【解析】(1)当b4时，f(x)，由f(x)0，得x2或x0.所以当x(，2)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x时，f(x)0，f(x)单调递减，故f(x)在x2处取得极小值f(2)0，在x0处取得极大值f(0)4.

18、(2)f(x)，易知当x时，1时，对x(0，a1有(x)0，(x)在(0，a1上单调递减，(a1)1时，存在x0，使(x)nln(n1)证明如下：方法一：上述不等式等价于，x0.令x，nN，则ln.下面用数学归纳法证明当n1时，ln 2，结论成立假设当nk时结论成立，即ln(k1)那么，当nk1时，ln(k1)ln(k1)lnln(k2)，即结论成立由可知，结论对nN成立方法二：上述不等式等价于，x0.令x，nN，则ln.故有ln 2ln 1，ln 3ln 2，ln(n1)ln n，上述各式相加可得ln(n1)，结论得证方法三：如图，dx是由曲线y，xn及x轴所围成的曲边梯形的面积，而是图中所

19、示各矩形的面积和，dxdxnln(n1)，结论得证【2014四川卷】设等差数列an的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)2x的图像上(nN*)(1)若a12，点(a8，4b7)在函数f(x)的图像上，求数列an的前n项和Sn；(2)若a11，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2，求数列的前n项和Tn.【解析】(1)由已知得，b72a7，b82a84b7，所以2a842a72a72，解得da8a72，所以Snna1d2nn(n1)n23n.(2)函数f(x)2x在点(a2，b2)处的切线方程为y2a2(2a2ln 2)(xa2)，其在x轴上的截距为a2.由题意有a2

20、2，解得a22.所以da2a11.从而ann，bn2n，所以数列的通项公式为，所以Tn，2Tn，因此，2TnTn12.所以，Tn. 1.设曲线yeaxln(x1)在x0处的切线方程为2xy10，则a()A.0 B.1 C.2 D.3解析yeaxln(x1)，yaeax，当x0时，ya1.曲线yeaxln(x1)在x0处的切线方程为2xy10，a12，即a3.故选D.答案D2.若f(x)2xf(1)x2，则f(0)等于()A.2 B.0 C.2 D.4解析f(x)2f(1)2x，令x1，得f(1)2，f(0)2f(1)4.答案D3.曲线f(x)x3x3在点P处的切线平行于直线y2x1，则P点的坐

21、标为()A.(1，3) B.(1，3)C.(1，3)和(1，3) D.(1，3)解析f(x)3x21，令f(x)2，则3x212，解得x1或x1，P(1，3)或(1，3)，经检验，点(1，3)，(1，3)均不在直线y2x1上，故选C.答案C4.已知曲线yln x的切线过原点，则此切线的斜率为()A.e B.eC. D.5.已知yf(x)是可导函数，如图，直线ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)()A.1 B.0 C.2 D.4解析由题图可知曲线yf(x)在x3处切线的斜率等于，f(3)，g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x

22、)，g(3)f(3)3f(3)，又由题图可知f(3)1，所以g(3)130.答案B6.已知f1(x)sin xcos x，fn1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x)fn(x)，nN，则f2 017(x)等于()A.sin xcos x B.sin xcos xC.sin xcos x D.sin xcos x解析f1(x)sin xcos x，f2(x)f1(x)cos xsin x，f3(x)f2(x)sin xcos x，f4(x)f3(x)cos xsin x，f5(x)f4(x)sin xcos x，fn(x)是以4为周期的函数，f2 017(x)f1(x)sin xcos x，故选D.答案D7.已知函数f(x)g(x)x2，曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线