河南省南阳市六校2020学年高二数学下学期第二次联考试题（含解析）（通用）

1、2020学年河南省南阳市六校高二下学期第二次联考数学一、选择题：共12题1设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2、3、3、4条路,只从一面上山,而从任意一面下山的走法最多,应A.从东边上山B.从西边上山C.从南边上山D.从北边上山【答案】D【解析】本题考查分类加法、分步乘法计数原理.从东边上山共210=20种;从西边上山共39=27种;从南边上山共39=27种;从北边上山共48=32种;所以应从北边上山.选D.2从集合0,1,2,3,4,5中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+bi,其中虚数有()个A.36B.30C.25D.20【答案】C【解析】本题考查复数的概念.若复数a+bi为虚数,则

2、b0,则b的取法有5种,a的取法有5种,所以复数a+bi为虚数共55=25个.选C.3设a为实数,z=1+i1+ai,满足z=z(z是复数z的共轭复数),则a=A.-1B.-2C.2D.1【答案】D【解析】本题考查复数的概念与运算.由题意得z=1+i1+ai=1+a+(1-a)i1+a2,而z=z,所以1-a=0,解得a=1.选D.4已知f(x)=ax3-3x+6sinx(a,b为常数),则-11f(x)dx=A.恒为0B.恒为正C.恒为负D.取值不定【答案】A【解析】本题考查定积分.因为f(x)=ax3-3x+6sinx为奇函数,所以-11f(x)dx=0.选A.5随机变量服从二项分布B(n

3、,p),且E()=300,D()=200,则p等于A.23B.13C.1D.0【答案】B【解析】本题考查二项分布.因为B(n,p),所以E=np=300D=np(1-p)=200,解得n=900p=13.即p等于13.选B.6(1)已知p3+q3=2，求证p+q2，用反证法证明此命题时，可假设p+q2；(2)已知a，bR，a+b2”；对命题(2)，其结论的反面为“方程x2+ax+b=0的两根的绝对值至少有一根的绝对值大于或等于1”.故选D.7在4次独立试验中,事件A出现的概率相同,若事件A至少发生1次的概率是6581,则事件A在一次试验中出现的概率是A.13B.25C.56D.23【答案】A【

4、解析】本题考查n次独立重复试验.令事件A在一次试验中出现的概率为P,则在4次独立试验中事件A都未出现的概率为(1-P)4=1-6581=1681,解得P=13.选A.8下列说法正确的个数是分类变量A与B的随机变量K2越大,说明“A与B有关系”的可信度越大以模型y=cekx去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设z=lny,将其变换后得到线性方程z=0.3x+4,则c,k的值分别是e4和0.3根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为y=a+bx中,b=2,x=1,y=3,则a=1.A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】本题考查回归直线与独立性检验.分类变量A与B的随机变量K

5、2越大,说明“A与B有关系”的可信度越大,正确;z=lny=lncekx=kx+lnc=0.3x+4,所以lnc=4,k=0.3,所以c,k的值分别是e4和0.3,正确;回归直线y=a+2x=a+2x过点(1,3),即3=a+2,解得a=1,即正确.所以正确的个数是3.选D.9在二项式(x+3x)n的展开式中,各项系数之和为M,各项二项式系数之和为N,且M+N=72,则展开式中常数项的值为A.18B.12C.9D.6【答案】C【解析】本题考查二项式定理.令x=1,可得各项系数之和M=(1+3)n=4n;各项二项式系数之和N=2n;而M+N=4n+2n=72,解得n=3;所以(x+3x)n=(x

6、+3x)3,其通项Tr+1=C3r(x)3-r(3x)r=3rC3rx32-32r,令r=1,可得展开式中常数项为31C31=9.选C.【备注】二项展开式的通项公式：Tr+1=Cnran-rbr.10大数据时代出现了滴滴打车服务,二胎政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在,某城市关系要好的A,B,C,D四个家庭各有两个小孩共8人,准备使用滴滴打车软件,分乘甲、乙两辆汽车出去游玩,每车限坐4名(乘同一辆车的4名小孩不考虑位置),其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有A.18种B.24种C.36种D.48种【答案】B【解析】本题考查排列

7、组合.若乘坐甲车的4名小孩恰有A户家庭的孪生姐妹,共C32C21C21=12种;若乘坐甲车的4名小孩没有A户家庭的孪生姐妹,共C31C21C21=12种;所以所求的乘坐方式共有12+12=24种.选B.11为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为a0a1a2,ai(0,1)(i=0,1,2),传输信息为h0a0a1a2h1,其中h0=a0a1,h1=h0a2,运算规则为:00=0,01=1,10=1,11=0.例如原信息为111,则传输信息为01111,传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列接收信息一定有误的是A.1101

8、0B.01100C.10111D.00011【答案】C【解析】对于选项C,传输信息是10111,对应的原来的信息是011,由题目里的约定计算h0=01=1,而h1=h0a2=11=0,这时传输信息应是10110.12已知函数fx=xlnx-12ax2-x+3a3-4a2-a+2(aR)存在两个极值点.则实数a的取值范围是A.(0,+)B.(0,1e)C.(1e,+)D.(1e,e)【答案】B【解析】本题考查导数在研究函数中的应用.因为函数fx存在两个极值点,则fx=lnx+1ax-1=lnx-ax=0有二不等根;即函数y=lnx与y=ax的图像有2个交点;k=y=1x0=a,则x0=1a0,所

9、以a0;y0=1aa=1=ln1a,解得a=1e;即当a=1e时,y=lnx与y=ax相切,此时有1个交点;而y=lnx与y=ax的图像有2个交点,所以0a0),若在(80,120)内的概率为0.6,则落在(0,80)内的概率为.【答案】0.2【解析】本题考查正态分布.因为在(80,120)内的概率为0.6,所以在(80,100)内的概率为0.3,所以落在(0,80)内的概率为0.5-0.3=0.2.15将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在下落的过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入A袋或B袋中.己知小球每次遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概率都是1

10、2,则小球落入A袋中的概率为.【答案】34【解析】本题考查n次独立重复试验.由题意得:当小球一直向左或向右落下时,才会落入B袋,即PB=123+123=14;所以小球落入A袋中的概率PA=1-PB=34.16考虑函数y=ex与函数y=lnx的图像关系,计算:1elnxdx=.【答案】1【解析】本题考查定积分.因为y=ex与y=lnx的图像关于y=lnx对称;令y=ex=e,可得x=1;由图可得1elnxdx=e-01exdx=e-(e-1)=1.即1elnxdx=1.三、解答题：共6题17已知nN*,在(x+2)n的展开式中,第二项系数是第三项系数的15.(1)求n的值;(2)若(x+2)n=

11、a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+an(x+1)n,求(x+2)n=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+an(x+1)n的值.【答案】(1)由题得2Cn1=1522Cn2,解得n=6(2)(x+2)6=(x+1)+16=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a6(x+1)6,令x=0,得a0+a1+a6=26=64；又令x=-1,得a0=1.所以a1+a2+a3+a6=63【解析】本题考查二项式定理.(1)由题得2Cn1=1522Cn2,解得n=6;2x+26=x+1+16,展开,赋值法求得a1+a2+a3+a6=64-1=63.18国际奥委会将于2020年9月15日在秘鲁利马召开

12、130次会议决定2024年第33届奥运会举办地.目前德国汉堡、美国波士顿等申办城市因市民担心赛事费用超支而相继退出.某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度,选了某小区的100位居民调查结果统计如下:(1)根据已有数据,把表格数据填写完整;(2)能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关?(3)已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性,其中2位是女教师,现从这5名女性中随机抽取3人,求至多有1位教师的概率.附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.【答案】(1)(2)K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+

13、c)(b+d)=100(200-600)2802030704.7623.841所以能在犯错误的概率不超过5的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关(3)记5人为abcde,其中a b表示教师,从5人任意抽3人的所有等可能事件是:abc,abd,abe,acd,ace,ade,bcd,bce,bde,cde共10个,其中至多一位教师有7个基本事件:acd,ace,ade,bcd,bce,bde,cde,所以所求概率是710.【解析】本题考查独立性检验,古典概型.(1)列出22列联表;(2)求得K2=4.7623.841,所以能在犯错误的概率不超过5的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关;(3)枚举

14、法:所有等可能事件10个,所求基本事件7个,所以所求概率是710.195名男生4名女生站成一排,求满足下列条件的排法:(1)女生都不相邻有多少种排法?(2)男生甲、乙、丙排序一定(只考虑位置的前后顺序),有多少种排法?(3)男甲不在首位,男乙不在末位,有多少种排法?【答案】(1)任何2名女生都不相邻,则把女生插空,所以先排男生再让女生插到男生的空中,共有A55A64=43200(种)不同排法.(2)9人的所有排列方法有A99种,其中甲、乙、丙的排序有A33种,又对应甲、乙、丙只有一种排序,所以甲、乙、丙排序一定的排法有A99A33=60480(种)(3)甲不在首位,按甲的排法分类:若甲在末位,

15、则有A88种排法,若甲不在末位,则甲有A88种排法,乙有A71种排法,其余有A77种排法,综上共有(A88+A71A71A77)287280(种)排法.(或者)A99-2A88+A77=287280(种)(或者)A99-2A71A77-A77=287280(种)【解析】本题考查排列组合.(1)由题意得:有A55A64=43200(种)不同排法.(2)所有排列有A99种,甲、乙、丙的排序有A33种,所以甲、乙、丙排序一定的排法有A99A33=60480(种);(3)按甲的排法分类:共有(A88+A71A71A77)287280(种)排法.20甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个,其中甲袋中红色、

16、黑色、白色小球的个数分别为2、3、4,乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3,某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球.(1)若左右手各取一球,求两只手中所取的球颜色不同的概率;(2)若左右手依次各取两球,称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法,记两次取球的成功取法次数为随机变量X,求X的分布列和数学期望.【答案】(1)设事件为“两手所取的球不同色”,则()=1-23+33+4399=23(2)依题意,的可能取值为0,1,2.左手所取的两球颜色相同的概率为C22+C32+C42C92=518右手所取的两球颜色相同的概率为C32+C32+C32C92=14(=0)=(1-518)(1-14)=1318

17、34=1324(=1)=518(1-14)+(1-518)14=718(=2)=51814=572所以的分布列为:()=01324+1718+2572=1936.【解析】本题考查随机事件的概率,随机变量的分布列与数学期望.(1)由题意得()=1-23+33+4399=23;(2)求出概率,列出的分布列,求得()=01324+1718+2572=1936.21已知数列an满足a1=1,an+1=2an+1(nN+)(1)求a2，a3，a4，a5；(2)归纳猜想出通项公式an，并且用数学归纳法证明；(3)求证a100能被15整除.【答案】(1)a2=3，a3=7，a4=15，a5=31(2)归纳猜

18、想出通项公式an=2n-1,当n=1时，a1=1=21-1，成立假设n=k时成立，即ak=2k-1,则当n=k+1时，由an+1=2an+1(nN+)得：ak+1=2ak+1=2(2k-1)+1=2k+1-2+1=2k+1-1所以n=k+1时也成立；综合，对nN*等式都成立，从而得证.(3)由(2)知a100=2100-1而2100=(24)25=1625=(15+1)25展开:(15+1)25=C2501525+C2511524+C2524151+C2525150,被15除余数为0，故a100=2100-1被15整除【解析】主要考查数学归纳法与二项式定理的应用. (1)令n为1，2，3，4分

19、别代入递推公式求解; (2)根据(1)的结论猜想，然后利用数学归纳法的解题步骤证明; (3)利用二项式定理可得2100=(15+1)25=C2501525+C2511524+C2524151+C2525150,可知结果.22已知函数/f(x)=ex-ax(a为常数)的图像与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.(1)求a的值及函数的极值;(2)证明:当x0时,x2ex;(3)证明:对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x(x0,+),恒有x2cex.【答案】(1)由f(x)=ex-ax,得f(x)=ex-a.又f(0)=1-a=-1,得a=2.所以f(x)=ex-2x,f(x)=ex-2.令f(x)=0,得x=ln2.当xln2时,f(x)ln2时,f(x)0,f(x)单调递增.所以当x=ln2时,f(x)取得极小值f(ln2)=e