材料力学 第三章 剪切和扭转.ppt

1、1,3 剪切和扭转,2,3 剪切和扭转,3.1 剪切,3.2 薄壁圆筒的扭转 剪切虎克定律,3.3 等直圆杆扭转时的应力,3.4 等直圆杆扭转时的变形,3.5 等直圆杆扭转时的应变能,3.6 非圆截面等直杆的自由扭转,3,3.1 剪切,1.剪力和切应力,螺栓连接图(a）中，螺栓主要受剪切及挤压（局部压缩）。,连接件（螺栓、铆钉、键等）以及构件在与它们连接处实际变形情况复杂。,4,3.1 剪切,键连接图(b）中，键主要受剪切及挤压。,5,3.1 剪切,剪切变形的受力和变形特点：,作用在构件两侧面上的外力的合力大小相等、方向相反，作用线相隔很近，并使各自推动的部分沿着与合力作用线平行的受剪面发生错

2、动。,受剪面上的内力称为剪力； 受剪面上的应力称为切应力；,“假定计算法”,6,3.1 剪切,2. 连接件中的剪切和挤压强度计算,图a所示螺栓连接主要有三种可能的破坏：,. 螺栓被剪断（参见图b和图c）；,. 螺栓和钢板因在接触面上受压而发生挤压破坏（螺栓被压扁，钢板在螺栓孔处被压皱）（图d）；,. 钢板在螺栓孔削弱的截面处全面发生塑性变形。,假定计算法中便是针对这些可能的破坏作近似计算的。,7,3.1 剪切,(1) 铆钉剪切强度计算,在假定计算中，认为连接件的受剪面（图b，c）上各点处切应力相等，即受剪面上的名义切应力为,式中，Q为受剪面上的剪力， A为受剪面的面积。,其中的许用应力则是通过

3、同一材料的试件在类似变形情况下的试验（称为直接试验）测得的破坏剪力也按名义切应力算得极限切应力除以安全因数确定。,强度条件,8,3.1 剪切,(2) 挤压强度计算,在假定计算中，连接件与被连接件之间的挤压应力是按某些假定进行计算的。,对于螺栓连接和铆钉连接，挤压面是半个圆柱形面（图b），挤压面上挤压应力沿半圆周的变化如图c所示，而最大挤压应力sJy的值大致等于把挤压力Pjy除以实际挤压面（接触面）在直径面上的投影。,9,3.1 剪切,故取名义挤压应力为,式中，Ajy=td，t为挤压面高度，d 为螺栓或铆钉的直径。,10,挤压强度条件为,其中的许用挤压应力sjy也是通过直接试验，由挤压破坏时的挤

4、压力按名义挤压应力的公式算得的极限挤压应力除以安全因数确定的。,应该注意，挤压应力是连接件与被连接件之间的相互作用，因而当两者的材料不同时，应校核许用挤压应力较低的连接件或被连接件。工程上为便于维修，常采用挤压强度较低的材料制作连接件。,3.1 剪切,11,3.1 剪切,(3) 连接板拉伸强度计算,螺栓连接和铆钉连接中，被连接件由于钉孔的削弱，其拉伸强度应以钉孔中心所在横截面为依据；在实用计算中并且不考虑钉孔引起的应力集中。被连接件的拉伸强度条件为,式中：N为检验强度的钉孔中心处横截面上的轴力；A为同一横截面的净面积，图示情况下A=(b d )t。,12,3.1 剪切,当连接中有多个铆钉或螺栓

5、时，最大拉应力smax可能出现在轴力最大即FN= FN,max所在的横截面上，也可能出现在净面积最小的横截面上。,13,3.2 薄壁圆筒的扭转 剪切虎克定律,扭转变形特点： . 相邻横截面绕杆的轴线相对转动； . 杆表面的纵向线变成螺旋线；,扭转受力特点： 圆截面直杆在与杆的轴线垂直平面内的外力偶作用下发生扭转。,薄壁杆件也可以由其他外力引起扭转。,横截面绕轴线相对转动的角位移称为扭转角；,横截面上的内力是作用在该截面内的力偶，称为扭矩；,14,3.2 薄壁圆筒的扭转 剪切虎克定律,通常指 的圆筒，可假定其 应力沿壁厚方向均匀分布,内力偶矩扭矩Mt,薄壁圆筒,15,3.2 薄壁圆筒的扭转 剪切

6、虎克定律,圆筒两端截面之间相对转过的圆心角j,相对扭转角 j,表面正方格子倾斜的角度直角的改变量,切应变 ,即,薄壁圆筒受扭时变形情况：,16,3.2 薄壁圆筒的扭转 剪切虎克定律,圆周线只是绕圆筒轴线转动，其形状、大小、间距不变；,表面变形特点及分析：,横截面在变形前后都保持为形状、大小未改变的平面，没有正应力产生,所有纵向线发生倾斜且倾斜程度相同。,横截面上有与圆轴相切的切应力且沿圆筒周向均匀分布,17,3.2 薄壁圆筒的扭转 剪切虎克定律,1.横截面上无正应力； 2.只有与圆周相切的切应力，且沿圆筒周向均匀分布；,薄壁圆筒横截面上应力的分布规律分析：,3.对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚

7、也均匀分布。,18,3.2 薄壁圆筒的扭转 剪切虎克定律,薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式：,静力学条件,因薄壁圆环横截面上各点处的切应力相等,得,19,3.2 薄壁圆筒的扭转 剪切虎克定律,剪切胡克定律,由前述推导可知,薄壁圆筒的扭转实验曲线,20,3.2 薄壁圆筒的扭转 剪切虎克定律,钢材的切变模量值约为：,这就是剪切虎克定律,其中：G材料的切变模量,t p剪切比例极限,21,弹性模量E、泊松比 和切变模量G 之间的关系,3.2 薄壁圆筒的扭转 剪切虎克定律,22,3.3 等直圆杆扭转时的应力,1.横截面上的应力,（1）几何方面,相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但圆周的大小、形状、间距都未变

8、； 纵向线倾斜了同一个角度g ，表面上所有矩形均变成平行四边形。,23,3.3 等直圆杆扭转时的应力,杆的横截面上只有垂直于半径的切应力，没有正应力产生。,平面假设,等直圆杆受扭转时其横截面如同刚性平面一样绕杆的轴线转动。,推论：,24,3.3 等直圆杆扭转时的应力,横截面上任一点处的切应变随点的位置的变化规律,25,3.3 等直圆杆扭转时的应力,即,相对扭转角沿杆长的变化率，对于给定的横截面为常量,26,3.3 等直圆杆扭转时的应力,剪切胡克定律,（2）物理方面,（3）静力学方面,称为横截面的极惯性矩,令,得,27,3.3 等直圆杆扭转时的应力,等直圆杆扭转时横截面上切应力计算公式,tmax

9、,tmax,28,3.3 等直圆杆扭转时的应力,发生在横截面周边上各点处。,称为扭转截面系数,最大切应力,tmax,tmax,令,即,29,同样适用于空心圆截面杆受扭的情形,3.3 等直圆杆扭转时的应力,30,（4）圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp,实心圆截面：,3.3 等直圆杆扭转时的应力,31,空心圆截面：,3.3 等直圆杆扭转时的应力,32,注意：对于空心圆截面,3.3 等直圆杆扭转时的应力,33,传动轴的外力偶矩：,传动轴的转速n ；某一轮上所传递的功率NK (kW),作用在该轮上的外力偶矩T 。,已知：,一分钟内该轮所传递的功率等于其上外力偶矩所作的功：,3.3 等直圆杆扭转时

10、的应力,34,3.3 等直圆杆扭转时的应力,传动轮的转速n 、功率P 及其上的外力偶矩T 之间的关系：,35,3.3 等直圆杆扭转时的应力,强度条件：,等直圆轴,材料的许用切应力,三类强度问题计算: (1)强度校核； (2)截面设计； (3)计算许用扭转荷载,36,3.3 等直圆杆扭转时的应力,例1 实心圆截面轴和空心圆截面轴 (a = d2/D2 =0.8)的材料、扭转力偶矩 T和长度l 均相同。试求在两圆轴横截面上最大切应力相等的情况下，D2/d1之比以及两轴的重量比。,37,3.3 等直圆杆扭转时的应力,解：,已知,得,38,两轴的重量比,可见空心圆轴的自重比实心圆轴轻。,讨论： 为什么

11、说空心圆轴比实心圆轴更适合于做受扭构件？,3.3 等直圆杆扭转时的应力,39,例2 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径 d2=100mm 。扭转力偶矩 TA=22 kNm， TB=36 kNm， TC=14 kNm。 材料的许用切应力t = 80MPa ，试校核该轴的强度。,解： （1）求内力，作出轴的扭矩图,Mt图（kNm）,3.3 等直圆杆扭转时的应力,40,BC段,AB段,（2）计算轴横截面上的最大切应力并校核强度,即该轴满足强度条件。,Mt图（kNm）,3.3 等直圆杆扭转时的应力,41,3.3 等直圆杆扭转时的应力,2.斜截面上的应力 切应力互等定理,此处为以横

12、截面、径截面以及与表面平行的面从受扭的等直圆杆表面处截取一微小的正六面体,单元体,自动满足,存在t,得,42,3.3 等直圆杆扭转时的应力,单元体的两个相互垂直的截面上，与该两个面的交线垂直的切应力数值相等，且均指向(或背离) 两截面的交线。,切应力互等定理,单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态称为纯剪切应力状态。,43,3.3 等直圆杆扭转时的应力,斜截面上的应力：,假定斜截面ef 的面积为d A,44,3.3 等直圆杆扭转时的应力,讨论：,1.,2.,此时切应力均为零。,解得,45,3.4 等直圆杆扭转时的变形,扭转时的变形,两个横截面的相对扭转角j,扭转角沿杆长的变化

13、率,相距d x 的微段两端截面间相对扭转角为,46,对于等直圆杆：,称为等直圆杆的扭转刚度,相距l 的两横截面间相对扭转角为,(单位：rad),3.4 等直圆杆扭转时的变形,47,刚度条件:,等直圆杆在扭转时的刚度条件：,对于精密机器的轴,对于一般的传动轴,常用单位：/m,3.4 等直圆杆扭转时的变形,48,例3 由45号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比a = 0.5。已知材料的许用切应力t = 40MPa ，切变模量G=80GPa 。轴的横截面上最大扭矩为Mtmax=9.56 kNm ，轴的许可单位长度扭转角q =0.3 /m 。试选择轴的直径。,解：(1)按强度条件确定外直径D,3.

14、4 等直圆杆扭转时的变形,49,(2)由刚度条件确定所需外直径D,3、确定内外直径,3.4 等直圆杆扭转时的变形,50,3.5 等直圆杆扭转时的应变能,等直圆杆仅在两端受外力偶矩 T 作用且 时,或,51,当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时,或,3.5 等直圆杆扭转时的应变能,52,3.6 非圆截面等直杆的自由扭转,等直非圆形截面杆扭转时的变形特点,横截面不再保持为平面而发生翘曲。平面假设不再成立。,自由扭转(纯扭转)等直杆，两端受外力偶作用，端面可自由翘曲。由于各横截面的翘曲程度完全相同，横截面上只有切应力而无正应力。,53,约束扭转非等直杆，或非两端受外力偶作用，或端面不能自由翘曲。由于各

15、横截面的翘曲程度不同，横截面上除切应力外还有附加的正应力。,3.6 非圆截面等直杆的自由扭转,54,1.矩形截面杆自由扭转时的弹性力学解,一般矩形截面等直杆,3.6 非圆截面等直杆的自由扭转,55,横截面上的最大切应力在长边中点处： Wt扭转截面系数，Wt=bb3， b 为与m=h/b相关的因数(表3-1)。,横截面上短边中点处的切应力： t =ntmax n 为与m=h/b相关的因数(表3.1)。,单位长度扭转角： It相当极惯性矩， , a 为与m = h/b 相关的因数(表3.1)。,3.6 非圆截面等直杆的自由扭转,56,表3.1 矩形截面杆在自由扭转时的因数a，b 和 n,3.6 非

16、圆截面等直杆的自由扭转,57,思考：如图中所示，矩形截面杆在扭转时其横截面上边缘处的切应力总是与周边相切，而横截面顶点处的切应力总是等于零。为什么？,一般矩形截面等直杆,3.6 非圆截面等直杆的自由扭转,58,2. 开口薄壁截面杆,3.6 非圆截面等直杆的自由扭转,59,2. 不考虑横截面相邻组成部分(矩形)在连接处的复杂应力变化情况，认为横截面每一矩形部分的切应力分布仍与狭长矩形截面等直杆横截面上相同，即,近似假设：,1. 认为横截面由若干矩形组成，杆的各组成部分的单位长度扭转角 相同，且就是杆的单位长度扭转角j，即,3.6 非圆截面等直杆的自由扭转,60,(1) 应力及变形的计算公式,由假

17、设(1)有,将上式中的前n 项的分子分母各自相加后有,式中，M t为杆的整个横截面上的扭矩，It 为整个横截面的相当极惯性矩。,3.6 非圆截面等直杆的自由扭转,61,根据假设2并注意到 可知杆的每一组成部分横截面上位于长边中点处的最大切应力为,(2) 各组成部分横截面上的最大切应力 tmax,而整个杆的横截面上的最大切应力tmax在厚度最大(tmax)的那个矩形的长边中点处：,3.6 非圆截面等直杆的自由扭转,62,(3) 杆的单位长度扭转角,根据实验结果有： 角钢截面h =1.00,槽钢截面h =1.12,T形钢截面h =1.15，工字钢截面h =1.20。,式中， 。对于型钢，由于其横截

18、面的翼缘部分是变厚度的，且横截面边缘处以及内部连接处有圆角，增加了杆的刚度，故在计算扭转角时应采用乘以修正因数h后的相当极惯性矩It：,3.6 非圆截面等直杆的自由扭转,63,近似假设：横截面上各点处的切应力的大小沿壁厚无变化，切应力的方向与壁厚中线相切。,3.闭口薄壁截面杆,3.6 非圆截面等直杆的自由扭转,64,应力的计算公式,由相距dx的两横截面及任意两个与壁厚中线正交的纵截面取出如图所示的分离体。如果横截面上C 和D两点处的切应力分别为t1和t2，则根据切应力互等定理，上下两纵截面上亦有切应力t1和t2。,3.6 非圆截面等直杆的自由扭转,65,若C 和D 两点处的壁厚分别为d1和d2，则由该分离体的平衡条件Fx=0有 t1d1d x=t2d2d x 从而知,亦即横截面上沿周边任一点处td 为常量。,3.6 非圆截面等直杆的自由扭转,66,从而有(参见图)：,于是得闭口薄壁截面等直杆横截面上任一点