高中数学 对数函数及其性质提高知识讲解 新人教A版必修

1、对数函数及其性质【学习目标】1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型； 2.探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较；3了解反函数的概念，知道指数函数与对数函数互为反函数【要点梳理】要点一、对数函数的概念1函数y=logax(a0，a1)叫做对数函数.其中是自变量，函数的定义域是，值域为2判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量要点诠释：（1）只有形如y=logax(a0，a1)的函数才叫做对数函数，像等函数，它们是由对数函数变化得到的，

2、都不是对数函数（2）求对数函数的定义域时应注意：对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；对含有字母的式子要注意分类讨论要点二、对数函数的图象与性质a00a1图象性质定义域：（0，+）值域：R过定点（1，0），即x=1时，y=0在（0，+）上增函数在（0，+）上是减函数当0x1时，y0，当x1时，y0当0x1时，y0，当x1时，y0要点诠释：关于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.以1为分界点，当a，N同侧时，logaN0；当a，N异侧时，logaN1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x

3、轴；当0a1时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴.(见下图)要点四、反函数1反函数的定义设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域要点诠释： 并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如一般说来，单调函数有反函数2反函数的性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称（2）若函数图象上

4、有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上【典型例题】类型一、函数的定义域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.例1. 求下列函数的定义域：(1)； (2).【答案】（1）；（2）【解析】由对数函数的定义知：，解出不等式就可求出定义域.(1)因为，即，所以函数；(2)因为，即，所以函数.【总结升华】与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需

5、要保证各个方面都有意义一般地，判断类似于的定义域时，应首先保证举一反三：【变式1】求下列函数的定义域.(1) y= (2) （且）.【答案】（1）(1，)(，2)；（2）略【解析】(1)因为， 所以，所以函数的定义域为(1，)(，2).（2）因为 ， 所以.当时，定义域为；当时，(i)若，则函数定义域为(，+)；(ii)若，且，则函数定义域为(-，)；(iii)若，则当时，函数定义域为；当时，此时不能构成函数，否则定义域为.【变式2】函数的定义域为-1，2，求的定义域.【答案】，16.【答案】由，可得的定义域为，4，再由得的定义域为，16.类型二、对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：

6、比较大小；解不等式；判断单调性；求单调区间；求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.例2. 比较下列各组数中的两个值大小：(1)；(2)；(3)与；(4) 与(5)（）【思路点拨】利用函数的单调性比较函数值大小。【答案】(1) ；(2) ；(4) ；(5) 略【解析】由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法1：画出对数函数的图象，横坐标为3.6的点在横坐标为8.9的点的下方，所以，；解法2：由函数在R+上是单调增函数，且3.68.9，所以； (2)与第(1)小题类似，在R+上是单调减函数，且1.93.5，

7、所以；(3)函数和的图象如图所示当时，的图象在的图象上方，这里，(4) (5) 注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.解法1：当时，在(0，+)上是增函数，且5.15.9，所以，当时，y=logax在(0，+)上是减函数，且4.24.8，所以，解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令，则，令，则当时，在R上是增函数，且4.24.8，所以，b1b2，即当时，在R上是减函数，且4.2b2，即.【总结升华】比较两个对数值的大小的基本方法是：（1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性（2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：先利用对数换底公

8、式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；利用对数函数图象的互相位置关系比较大小（3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小【高清课堂：对数函数 例3】例3比较其中0a11的大小.【答案】【解析】由0a11，得， ， ，即 【总结升华】若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小，中间变量常常用“0”和“1”用“0”和“1”把所给的数先分两组，然后组内再比较大小举一反三：【变式1】已知则（ ）ABCD【答案】C【解析】另，在同一坐标系下作出三个函数图像，由图像可得 又为单调递增函数， 故选C.【高清课堂：对数函数 例2】【变式2】比较的大小【答案】【解析

9、】例4求函数的值域和单调区间.【思路点拨】先解不等式，保证原式有意义，然后再在定义域范围内求内函数的单调区间，然后根据复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”来求解【答案】-1，+；增区间为；减区间为【解析】设，则. y=为减函数，且， ，即函数的值域为-1，+.再由：函数的定义域为，即. 在上递增而在上递减，而y=为减函数. 函数的增区间为，减区间为.【总结升华】对数型复合函数一般可分为两类：一类是对数函数为外函数，即型；另一类是内函数为对数函数，即型对于型的函数的单调性，有以下结论：函数的单调性与函数的单调性，当时相同，当时相反研究型复合函数的单调性，一般用复合法来判定即可复

10、合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则举一反三：【变式1】求函数的值域和单调区间【答案】；减区间为，增区间为【解析】设，则， y=t为增函数，的值域为再由：的定义域为在上是递增而在上递减，而y=t为增函数 函数y=的减区间为，增区间为.【变式2】求函数的单调区间 【答案】减区间是：和【解析】若则递增，且递减，而，即， 在上递减 若，则递减，且递增，而，即，在上递减综上所述，函数的单调递减区间是：和类型三、函数的奇偶性例5. 判断下列函数的奇偶性.(1) (2).【思路点拨】判断函数奇偶性的步

11、骤是：（1）先求函数的定义域，如果定义域关于原点对称，则进行（2），如果定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数。（2）求，如果，则函数是偶函数，如果，则函数是奇函数。【答案】（1）奇函数；（2）奇函数【解析】首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.(1)由所以函数的定义域为：(-2，2)关于原点对称又所以函数是奇函数；【总结升华】此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.(2)【解析】由所以函数的定义域为R关于原点对称又即f(-x)=-f(x)；所以函数.【

12、总结升华】此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.类型四、反函数例6求出下列函数的反函数（1）；（2）。【答案】（1）；（2）【解析】（1）对数函数，它的底数为，所以它的反函数是指数函数；（2）指数函数的反函数是对数函数【总结升华】反函数的定义域都由原函数的值域来确定的，特别是当反函数的定义域与由反函数解析式有意义所确定的自变量的取值范围不一致时，一定要注明反函数的定义域举一反三：【高清课堂：对数函数 例5】【变式1】 若函数是函数且a1)的反函数，且，则（ ）(A) (B) (C) (D)2 【答案】 A【解析】解法1：函数是函数且a1)的反函数 ，又

13、 ， 故选A 解法2：函数是函数且a1)的反函数，且 点（1，2）在函数的图象上， 故选A类型五、利用函数图象解不等式例7若不等式，当时恒成立，求实数a的取值范围【思路点拨】画出函数的图象与函数的图象，然后借助图象去求借。【答案】【答案】要使不等式在时恒成立，即函数的图在内恒在函数图象的上方，而图象过点由右图可知，显然这里0a1，函数递减又，即所求的a的取值范围为【总结升华】“数”是数学的特征，它精确、量化，最有说服力；而“形”则形象、直观，能简化思维过程，降低题目的难度，简化解题过程，把它们的优点集中在一起就是最佳组合本例中，利用图形的形象直观快速地得到答案，简化了解题过程正因为如此，数形结

14、合成为中学数学的四个最基本的数学思想方法之一，因此我们必须熟练地掌握这一思想方法，并能灵活地运用它来分析和解决问题在涉及方程与不等式的问题时，往往构造两个函数与，则=的实数解等价于两个函数与的图象的交点的横坐标；而的的解等价于函数的图象在的图象下方的点的横坐标的取值范围利用图象的形象性、直观性，可使问题得到顺利地解决，而且分散了问题解决的难度、简化了思维过程因此，我们要善于用数形结合的方法来解决方程与不等式的问题举一反三：【变式1】 当x（1，2）时，不等式恒成立，求a的取值范围【答案】1a2【答案】设，要使当x（1，2）时，不等式恒成立，只需在（1，2）上的图象在的下方即可当0a1时，由图象

15、知显然不成立当a1时，如图2-2-5所示，要使在（1，2）上，的图象在的下方，只需，即，1a2类型六、对数函数性质的综合应用例8（1）已知函数的定义域为，求实数的取值范围；（2）已知函数的值域为，求实数的取值范围；（3）的定义域为，求实数的取值范围【思路点拨】与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.的定义域为R，即关于的不等式的解集为R，这是不等式中的常规问题.的值域为R与恒为正值是不等价的，因为这里要求取遍一切实数，即要求取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，使能取遍一切正数的条件是.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）的定

16、义域为R，恒成立，（2）的值域为R，取遍一切正数，（3）由题意，问题可等价转化为不等式的解集为，记作图形，如图所示，只需过点，即满足，且即可，解得【总结升华】如果函数的定义域为某个区间D，则函数在这个区间D的任何子集内部都有意义；如果函数在区间E上有意义，而的定义域为D，则必有举一反三：【变式1】 已知函数.(1)若函数的定义域为R，求实数的取值范围；(2)若函数的值域为R，求实数的取值范围. 【答案】（1）a1；（2）0a1【解析】(1) 的定义域为R，即：关于x的不等式的解集为R，当a=0时，此不等式变为2x+10，其解集不是R；当a0时，有 a1. a的取值范围为a1.(2)f(x)的值

17、域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数 a=0或0a1， a的取值范围为0a1.例9已知函数（常数）（1）求的定义域；（2）在函数的图象上是否存在不同的两点，使过此两点的直线平行于轴；（3）当，满足什么关系时，在上恒取正值【思路点拨】本题为对数指数问题的综合题，求定义域首先保证对数的真数为正，再利用指数运算性质求出定义域（2）中证明是否存在要由单调性来确定，若单调递增或递减，就不存在两点两线平行于轴【答案】（1）（2）不存在（3）【解析】（1）由，得，由，得，故，即函数的定义域为（2）设， 故即，在上为增函数假设函数的图象上存在不同的两点，使直线AB平行于轴，即，这与是增函数矛盾故函数的图象上不存在不同的两点，使过这