概率论与数理统计12复习.ppt

1、,小结,1 随机现象的特征:,不确定性和统计规律性.,2. 随机现象是通过随机试验来研究的.,(1) 可以在相同的条件下重复地进行;,(2) 每次试验的可能结果不止一个, 并且能事先明确试验的所有可能结果;,(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.,随 机 试 验,3. 随机试验、样本空间与随机事件的关系,每一个随机试验相应地有一个样本空间,随机事件是样本空间的子集.,随机试验,样本空间,随机事件,必然事件不可能事件是两个特殊的 随机事件,统称随机事件,样本空间子集,事件间的运算规律,由于事件的运算对应其样本点集合的运算，因而事件有与集合相同的运算规律,2. 最简单的随机现象,古典概

2、型,古典概率,几何概型,试验结果 连续无穷,3. 概率的主要性质,用文氏图解释：,条件概率P(B|A)是在,(即投点落在A之内),问B发生的概率,(即点落在B内),确知A发生的条件下,也就是说,在已知点投在A内的条件下,点也落在B内的概率.,显然,已知点投在A内,点也落在B内,则点只能落在AB内.,AB,从而,2.2.2 乘法定理（）,根据条件概率公式：,我们有：,定理3,乘 法 定 理,定理4,若 ，则事件 与 独立的充分必要条件是,或,定理5,若事件 与事件 独立，则下面三对事件均独立：,证明：,从而 独立。,类似可以证明 的独立性。,全概率公式的文氏图解释：,A,即,从而有,将事件A分解

3、为若干个互不相容的较简单事件之和。,证明:,由(1)及(2),有,定理7,设 满足下面条件,则对任一事件,有,且,(1),(2),证毕.,(利用乘法公式),1 随机变量,2 离散型随机变量及其分布律,3 随机变量的分布函数,4 连续型随机变量及其概率密度,5 随机变量的函数的分布,主 要 内 容,一、随机变量的定义,如果对于试验的每一个可能结果，也就是一个样本点e，都对应着一个实数X(e)，而X(e)又是随试验结果的不同而变化的一个变量，则称它为随机变量。,二、离散型随机变量及其分布律,所有可能的取值只有有限个或可列无限多个。,（一）定义,（二）离散型随机变量的分布律,分布列,设随机变量X所有

4、可能的取值为,且取每一个可能值的概率为,称（*）式为随机变量X的概率分布（或称为分布律）。,（*）,（*）式也可表为,（三）几种重要的离散型随机变量,（1）,（01）分布,设随机变量X所有可能的取值为0和1，其分布律为,或写为,则称X服从参数为p的（01）分布。,则称随机变量 服从参数为 的二项分布，,记为,特别，当n =1时的二项分布为,（2）二项分布,若随机变量X的分布律为,（3） 泊松分布,若随机变量X的分布律为,则称随机变量X服从参数为 的泊松分布。记为,其中 ，,或,定理(泊松定理),1、分布函数的定义,设X为一个随机变量，x为任意实数，函数,称为随机变量X的分布函数。,三、随机变量

5、的分布函数,2、分布函数的性质,（1） 为单调不减函数。即对任意 ，都有,（3） ，即 是右连续的。,（4）,设离散型随机变量的分布律为,或,3、离散型随机变量的分布函数,则X的分布函数为,x,面积,1、定义,如果对于随机变量X的分布函数 ，存在非负函数 ，,使得对任意实数x，都有,则称X为连续型随机变量，其中 称为X的概率密度函数，,简称为密度函数、密度或概率密度。,记为,四、连续型随机变量及其密度函数,（一） 密度函数及其性质,2、密度函数的性质,（1）,（2）,（3） 是 上的连续函数。,（5）对于任意实数 ，有,（4）,（6） 若 在点x处连续，则,（二）几类重要的连续型随机变量,1、

6、 均匀分布,设连续型随机变量X具有概率密度,则称X在区间 上服从均匀分布。,记为,均匀分布的分布函数,2、 指数分布,设连续型随机变量X具有概率密度,则称X服从参数为 的指数分布。,其中 ，,指数分布的分布函数,3、正态分布,（1）定义,设连续型随机变量X具有概率密度,则称X服从参数为 的正态分布或高斯分布。,记为,密度函数的图形：,（2）标准正态分布,当 时称X服从标准正态分布。,标准正态分布的密度函数为：,标准正态分布的分布函数为：,由对称性，显然有,即有,特别地，有,（3）一般正态分布与标准正态分布的关系,（4）上 分位数,设 ，若 满足条件,则称点 为标准正态分布的上,分位点（或分位数

7、）。,对正态密度函数的对称性，有,（一）离散型随机变量函数的分布,设随机变量X的分布律为,求随机变量 的分布律。,或,（1） 求出随机变量Y所有可能的取值；,（2） 求出随机变量Y取每一个值的概率。,方 法,五、随机变量函数的分布,（二）连续型随机变量函数的分布,1、分布函数法,先求Y的分布函数，再求密度函数。,由分布函数的定义，Y的分布函数为,设连续型随机变量X的密度函数 （或分布函数 ），,求随机变量Y的密度函数 （或分布函数 ）。,于是，Y的密度函数为,2、公式法,函数 处处可导且恒有 （或恒有 ），则,是连续型随机变量，其概率密度为,其中,是 的反函数。,主要内容,一、二维随机变量的定

8、义,设E是一个随机试验，其样本空间为 ，设,是定义在S上的两个随机变量，则由它们构成的一个向量,称为二维随机向量或二维随机变量。,二、二维随机变量的分布函数,1、联合分布函数的定义,称为二维随机变量 的分布函数(或称联合分布函数).,设 是二维随机变量,对于任意实数 x, y, 二元函数,性质1,对任意的 有,且有,性质2,是变量 x 和 y 的单调非降函数;,2、联合分布函数 的性质,性质4,对任意的 x ( 或 y )都是右连续的,性质3,对任意的 总有,且,1、二维离散型随机变量的定义,如果二维随机变量 的所有可能取的值是有限对或,若 及 的全部不同的可能取值分别为,则 的全部可能取值为

9、:,2、二维离散型随机变量的联合概率分布,三、二维离散型随机变量及其分布,可列无限对,则称 是离散型随机变量.,称概率函数,为二维离散型随机变量 的(联合)概率分布(律).,或列表为,(概率分布也称为联合分布列),称概率函数,为二维离散型随机变量 的(联合)概率分布(律).,或列表为,(概率分布也称为联合分布列),(1),(2),3、概率分布的性质,4、二维离散型随机变量的分布函数,设二维离散型随机变量 的联合概率分布为,则有,进行的。,这个求和式是对满足 及 的一切下标 i 和 j,1、联合概率密度的定义,对于二维随机变量 的联合分布函数 ，,如果存在一个二元非负值函数,则称 为二维连续型随

10、机变量.,称为二维连续,型随机变量的联合概率密度函数.,（简称联合密度函数或联合密度）,四、二维连续型随机变量及其分布,2、联合密度函数的性质,（1）,（2）,具有性质(1),(2)的二元函数f (x, y),必是某个,注:,二维连续型随机变量的密度函数。,（3）,设R为xoy 平面内任一区域,则有,（4）,在 的连续点处，有,五、边缘分布,1、边缘分布函数,若二随机变量 的联合分布函数为 ，,则随机变量（X,Y）关于X的边缘分布函数为,同理有,2、边缘分布律,设二维离散型随机变量 的联合分布律为,则随机变量X的边缘分布律为,同理随机变量Y的边缘分布律为,3、边缘概率密度,设二维连续型随机变量

11、 的联合分布函数为 ,联合概率密度函数为 。,于是，随机变量X的分布函数为,得X的密度函数为,同理可得随机变量Y的分布函数为,密度函数为,1、二维离散型随机变量的条件分布,设二维离散型随机变量 的联合分布律为,六、条件分布,2、二维连续型随机变量的条件分布,在条件 下,连续型随机变量X的条件密度函数为:,条件分布函数为,在条件 下,连续型随机变量Y的条件密度函数为:,条件分布函数为,1、随机变量相互独立的定义,设 是两个随机变量,若对任意实数 都有,则称随机变量X与Y是(相互)独立的.,七、随机变量的独立性,2、二维随机变量相互独立的充要条件,X与Y相互独立,3、离散型随机变量相互独立的充要条

12、件,2、二维随机变量相互独立的充要条件,X与Y相互独立,4、连续型随机变量相互独立的充要条件,八、随机变量函数的分布,1、离散型随机变量函数的分布,方法：分两步,1、找出Z所有可能的取值；,2、求出Z取每一个可能值的概率是多大。,设二维随机变量 的联合分布律为,求随机变量 的分布律。,2、连续型随机变量函数的分布,设二维随机变量 的联合密度为 ，,求随机变量 的概率密度。,方法：,分布函数法,先求分布函数，再求概率密度。,随机变量Z的分布函数为,随机变量Z的密度函数为,3、最大最小值的分布,设相互独立的随机变量 的分布函数分别为,记,随机变量M，N的分布函数为,若 独立同分布，其分布函数为 ，

13、此时，,随机变量M，N的分布函数为,4、二维正态分布,若二维随机变量 的联合密度函数为,则称 服从参数为 的正态分布.,记为,其中 为常数，且 。,结论:,则,若,九、关于正态分布的一些重要结论,则,2、二元正态分布的条件分布仍是正态分布。,则X与Y相互独立当且仅当 。,主要内容,1、离散型随机变量的数学期望,设离散型随机变量X的分布律为,则称级数 的和为随机变,若级数 绝对收敛，,量X的数学期望。记为 。,即,数学期望简称为期望，又称为均值。,一、数学期望,2、连续型随机变量的数学期望,设连续型随机变量X的密度函数为 ,绝对收敛，,期望。记为 。,即,若积分,则称积分 的值为随机变量X的数学

14、,3、一维随机变量函数的数学期望,求随机变量Y的数学期望。,（1） 离散型,设X的分布律为,若级数 绝对收敛，,则有,（2）连续型,设随机变量X的密度为 ,若积分 绝对,收敛，则有,4、二维随机变量函数的数学期望,已知二维随机变量(X,Y)的分布，而 ，,连续函数。求随机变量Z的数学期望。,（1） 离散型,设(X,Y)的分布律为,则有,（2）连续型,设二维随机变量(X,Y)的联合密度为 ,则有,其中g为,5、数学期望的性质,性质1 设C为常数，则有 。,性质2 设X为随机变量，C为常数，则有,性质3 设X,Y为两个随机变量，则有,性质4 设X,Y为两个随机变量，a,b为常数，则有,性质5 设X,Y为两个相互独立的随机变量，则有,1、定义,设X为随机变量，若,存在，称 为随机变量X的方差。,记为,或,即,称为 随机变量X的标准差或方差根或均方差。,二、方差,2、一个重要公式,3、方差的性质,性质1 设C为常数，则有 。,性质2 设X为随机变量，C为常数，则有,性质4 设X,Y为两个随机变量，则有,特别地，若X与Y相互独立，则有,性质5 当且仅当 。,性