向量组的线性相关性

27第四章 向量组的线性相关性1设 , 求 及 .TTTvvv )04,3(,)1,0(,)1,(2 21v321v解 2T),0(31 ,2( T)2,102设 其中 , , ,求 .(5()(331 aa T)315,(1Ta)105,(2Ta)1,4(3a解 由 整理得)2(631 ),4(),0(,2(6TTTT),2(3 已知向量组A a1(0 1 2 3)T a2(3 0 1 2)T a3(2 3 0 1)T B b1(2 1 1 2)T b2(0 2 1 1)T b3(4 4 1 3)T 证明 B 组能由 A 组线性表示 但 A 组不能由 B 组线性表示 证明 由312304) ,( 9718205640 r54076 r 0342 r知 R(A)R(A B)3 所以 B 组能由 A 组线性表示 由 0121023214rr知 R(B)2 因为 R(B)R(B A) 所以 A 组不能由 B 组线性表示4 已知向量组A a1(0 1 1)T a2(1 1 0)T 28B b1(1 0 1)T b2(1 2 1)T b3(3 2 1)T 证明 A 组与 B 组等价 证明 由 01231201203) ,( rr知 R(B)R(B A)2 显然在 A 中有二阶非零子式 故 R(A)2 又 R(A)R(B A)2 所以 R(A)2 从而 R(A)R(B)R(A B) 因此 A 组与 B 组等价5 已知 R(a1 a2 a3)2 R(a2 a3 a4)3 证明(1) a1能由 a2 a3线性表示 (2) a4不能由 a1 a2 a3线性表示 证明 (1)由 R(a2 a3 a4)3 知 a2 a3 a4线性无关 故 a2 a3也线性无关 又由 R(a1 a2 a3)2 知 a1 a2 a3线性相关 故 a1能由 a2 a3线性表示 (2)假如 a4能由 a1 a2 a3线性表示 则因为 a1能由 a2 a3线性表示 故a4能由 a2 a3线性表示 从而 a2 a3 a4线性相关 矛盾 因此 a4不能由 a1 a2 a3线性表示6 判定下列向量组是线性相关还是线性无关 (1) (1 3 1)T (2 1 0)T (1 4 1)T (2) (2 3 0)T (1 4 0)T (0 0 2)T 解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为 A 因为 0120712rrA所以 R(A)2 小于向量的个数 从而所给向量组线性相关 (2)以所给向量为列向量的矩阵记为 B 因为 020431|B29所以 R(B)3 等于向量的个数 从而所给向量组线性相无关7 问 a 取什么值时下列向量组线性相关？a1(a 1 1)T a2(1 a 1)T a3(1 1 a)T 解 以所给向量为列向量的矩阵记为 A 由)(| aA知 当 a1、0、1 时 R (A)3 此时向量组线性相关 8 设 a1 a2线性无关 a1b a2b 线性相关 求向量 b 用 a1 a2线性表示的表示式 解 因为 a1b a2b 线性相关 故存在不全为零的数 1 2使1(a1b)2(a2b)0 由此得 2112 )(a设 则1cbca1(1c)a2 cR 9 设 a1 a2线性相关 b 1 b2也线性相关 问 a1b1 a2b2是否一定线性相关？试举例说明之 解 不一定 例如 当 a1(1 2)T, a2(2 4)T, b1(1 1)T, b2(0 0)T时 有a1b1(1 2)Tb1(0 1)T, a2b2(2 4)T(0 0)T(2 4)T 而 a1b1 a2b2的对应分量不成比例 是线性无关的 10举例说明下列各命题是错误的:(1) 若向量组 是线性相关的,则 可由 线性表示.ma,21 1a,2m(2) 若有不全为 0 的数 使 成立, 则,21 01mba30ma,1线性相关, 亦线性相关.mb,1(3) 若只有当 全为 0 时,等式 才能成立,则2 011 mmba线性无关, 亦线性无关.,1 1(4) 若 线性相关, 亦线性相关 ,则有不全为 0 的数, 使ma mb, m,21同时成立.0 解 (1) 设 , 满足 线性相关, 但 不能由)0,(1e32a ma,21 a线性表示.,2m(2) 有不全为零的数 使 m,1 01 mb原式可化为 0)()(1bba取 . 其中 为单位向量,则上式成立,而eaeea ,221 me,1, 均线性相关.m, b(3) 由 (仅当 )1m 1线性无关mb,21取 , 取 为线性无关组. 0 ,满足以上条件,但不能说是 线性无关的.m21(4) Ta)0,(1T),(2T)3,(T)4,0(与题设矛盾.21214b2111设 ,证明向量组 线性相关.143, abaa 4321,b证明 设有 使得4321x则043b0)()()()( 14432 xx32141 aaa(1) 若 线性相关,则存在不全为零的数 ,32,a2,k; ; ; ;xk2k3k434x由 不全为零,知 不全为零,即 线性相关.41, 421,x1,b(2) 若 线性无关, 则 4321,a0432x04321x由 知此齐次方程存在非零解. 则 线性相关.014321,b综合得证.12设 ,且向量组 线性无关,证明向量组rraabab 212121, ra,21线性无关.r,证明 设 则0rkk31 prprr akakak )()()( 2211 0rk因向量组 线性无关 ,故r,201rk 01021 rk因为 故方程组只有零解.10 则 . 所以 线性无关21rkk rb,2113求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:(1) , , ;41a0928243a(2) , , .)3(1T )65,1(2T )7,431(T解 (1) 线性相关.12由 82409321Ta 029秩为 2,一组最大线性无关组为 .21,a(2) 74316532Ta 105089301893秩为 2,最大线性无关组为 .Ta21,14利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组,并把其余列向量用最大无关组线性表示:(1) ; (2) .482035197 1401325解 (1) 482035197132r5307234r0347所以第 1、2、3 列构成一个最大无关组.(2) ，1401143r20152432r0021532所以第 1、2、3 列构成一个最大无关组15 设向量组(a 3 1)T (2 b 3)T (1 2 1)T (2 3 1)T的秩为 2 求 a b 解 设 a1(a 3 1)T a2(2 b 3)T a3(1 2 1)T a4(2 3 1)T 因为 520161031) ,( 2143 babrr而 R(a1 a2 a3 a4)2 所以 a2 b5 16设 是一组 维向量,已知 维单位坐标向量 能由它们线性表示,证明n, nne,21线性无关.,21证明 维单位向量 线性无关. 不妨设:ne,21 nnn nakkae 212121所以 TnTnTnTakke 212121两边取行列式，得由 TnnTnakke 212121 02121TnTTnae即 维向量组 所构成矩阵的秩为 . 故 线性无关.na,21 ,2117设 是 一 组 维 向 量 ,证 明 它 们 线 性 无 关 的 充 分 必 要 条 件 是 ： 任 一 维 向 量 都 可 由 它 们 线 性 表na,21示 .证明 设 为一组 维单位向量，对于任意 维向量 n则有 即任一 维向量都可由单位向量线性表示.Tnk),(21 kka21线性无关，且 能由单位向量线性表示，即必 要 性a, n, nnnkk 2122121133故 nTTnnTnTkka 21211221两边取行列式，得 TnnTnkka 21212由 00211221 nnTnTkka 令 . 由nnnkkA 211 TnTTnTTnTaAa 2112121即 都能由 线性表示，因为任一 维向量能由单位向量线性表示，故任,21 a,1一维向量都可以由 线性表示.nn,2已知任一 维向量都可由 线性表示，则单位向量组：充 分 性na,21可由 线性表示，由 8 题知 线性无关.n,21 a, na,2118 设向量组 a1 a2 am线性相关 且 a10 证明存在某个向量 ak (2km) 使 ak能由 a1 a2 ak1线性表示 证明 因为 a1 a2 am线性相关 所以存在不全为零的数 1 2 m 使1a12a2 mam0而且 2 3 m不全为零 这是因为 如若不然 则 1a10 由 a10 知10 矛盾 因此存在 k(2km) 使k0 k1k2 m0于是 1a12a2 kak0ak(1/k)(1a12a2 k1ak1)即 ak能由 a1 a2 ak1线性表示3419设向量组 能由向量组 线性表示为:Brb,1 :Asa,1，Kas),()(1 其中 为 矩阵，且 组线性无关。证明 组线性无关的充分必要条件是矩阵 的秩 .KsBKrR)(证明 若 组线性无关令 则有),(),(11 srab AK由定理知 )()(,minRARB由 组 : 线性无关知 ，故 .r,2 rr又知 为 阶矩阵则s,)(K由于向量组 : 能由向量组 : 线性表示,则rb,1 sa,21 srr,min综上所述知 即 R)(r)(若k)(令 ,其中 为实数021rbxbx ixri,21则有 ),(1r又 ,则Kabsr),(),(11 0),(11rsxa由于 线性无关,所以sa,21 2rx即 （1）002122121rsss rrr rxkxkkxk 由于 则(1)式等价于下列方程组:KR)(021221rrr rxkxk 由于 211rrrkk 所以方程组只有零解 .所以 线性无关, 证毕.021rxx rb,2120 设3513212321 nnn证明向量组 1 2 n与向量组 1 2 n等价 证明 将已知关系写成 01) , ,() , ,(2121 nn将上式记为 BAK 因为0)1(01| nK所以 K 可逆 故有 ABK 1 由 BAK 和 ABK 1可知向量组 1 2 n与向量组 1 2 n可相互线性表示 因此向量组 1 2 n与向量组1 2 n等价21 已知 3 阶矩阵 A 与 3 维列向量 x 满足 A3x3AxA2x 且向量组 x Ax A2x 线性无关 (1)记 P(x Ax A2x) 求 3 阶矩阵 B 使 APPB 解 因为APA(x Ax A2x)(Ax A2x A3x)(Ax A2x 3AxA2x) 10,所以 103B36(2)求| A| 解 由 A3x3AxA2x 得 A(3xAxA2x)0 因为 x Ax A2x 线性无关 故 3xAxA2x0 即方程 Ax0 有非零解 所以 R(A)3 |A|022求下列齐次线性方程组的基础解系:(1) (2) 0268354214321xx0367824532421xx(3) .)(1nn解 (1) 04326835420初 等 行 变 换A所以原方程组等价于 4321xx取 得 ; 取 得 .3,143x0,1 4,03x1,021x因此基础解系为 4,321(2) 0197367824532初 等 行 变 换A所以原方程组等价于 432197xx取 得 ; 取 得 .,143x0,1 19,07,2x因此基础解系为 197,21(3)原方程组即为 1)(nn xx取 得0,1321 nx取 得4 1)(n取 得,221nnx 2n37所以基础解系为 210),(121 nn23设 ,求一个 矩阵 ,使 ,且 .82593A24BA)(BR解 由于 ,所以可设 . 则由 可得)(BR43210x 0108259342x, 解此非齐次线性方程组可得唯一解5980231421x， 故所求矩阵 2154321x 2150B24求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为 .TT)0,3(,)21,0(1解 显然原方程组的通解为,( )01321432kxR2,即 消去 得 此即所求的齐次线性方程组.142321kx21,k02341x25 设四元齐次线性方程组I II 0421x04321x求 (1) 方程 I 与 II 的基础解系 (2) I 与 II 的公共解 解 (1)由方程 I 得 421取(x 3 x4)T(1 0)T 得( x1 x2)T(0 0)T 38取(x 3 x4)T(0 1)T 得( x1 x2)T(1 1)T 因此方程 I 的基础解系为1(0 0 1 0)T 2(1 1 0 1)T 由方程 II 得 43x取(x 3 x4)T(1 0)T 得( x1 x2)T(0 1)T 取(x 3 x4)T(0 1)T 得( x1 x2)T(1 1)T 因此方程 II 的基础解系为1(0 1 1 0)T 2(1 1 0 1)T (2) I 与 II 的公共解就是方程III 043212x的解 因为方程组 III 的系数矩阵 021 10rA所以与方程组 III 同解的方程组为 4321x取 x41 得(x 1 x2 x3)T(1 1 2)T 方程组 III 的基础解系为(1 1 2 1)T 因此 I 与 II 的公共解为 xc(1 1 2 1)T cR26设 阶矩阵 满足 , 为 阶单位矩阵,证明 nA2EnnEAR)()(提示:利用矩阵性质 6 和 8。)证明 0)(A所以由 21 题所证可知 nR)()又 (R由 11 题所证可知 nERAEA )()()(39由此 nEAR)()27 设 A 为 n 阶矩阵( n2) A*为 A 的伴随阵 证明2)( 011)(nR当当当证明 当 R(A)n 时 | A|0 故有|AA*|A|E|A|0 |A*|0 所以 R(A*)n当 R(A)n1 时 |A|0 故有AA*|A|E0即 A*的列向量都是方程组 Ax0 的解 因为 R(A)n1 所以方程组 Ax0的基础解系中只含一个解向量 即基础解系的秩为 1 因此 R(A*)1当 R(A)n2 时 A 中每个元素的代数余子式都为 0 故 A*O 从而R(A*)028求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系：(1) (2);3235,1254312xx.624,135431xx解 (1) 080初 等 行 变 换B01,238(2) 002179612435初 等 行 变 换B201,79,0129设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3，已知 是它的三个解向量且321,40，543214321求该方程组的通解解 由于矩阵的秩为 3， ，一维故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量，rn且由于 均为方程组的解，由非齐次线性方程组解的结构性质得21, 齐 次 解齐 次 解齐 次 解 6543)()()( 2121321 为其基础解系向量，故此方程组的通解： ，5436kx)(Rk30 设有向量组 A a1( 2 10)T a2(2 1 5)T a3(1 1 4)T 及 b(1 1)T 问 为何值时(1)向量 b 不能由向量组 A 线性表示 (2)向量 b 能由向量组 A 线性表示 且表示式唯一 (3)向量 b 能由向量组 A 线性表示 且表示式不唯一 并求一般表示式 解 10542) ,(123ba 34012 r(1)当 4 0 时 R(A)R(A b) 此时向量 b 不能由向量组 A 线性表示 (2)当 4 时 R(A)R(A b)3 此时向量组 a1 a2 a3线性无关 而向量组 a1 a2 a3 b 线性相关 故向量 b 能由向量组 A 线性表示 且表示式唯一 (3)当 4 0 时 R(A)R(A b)2 此时向量 b 能由向量组 A 线性表示 且表示式不唯一 当 4 0 时 10542) ,(123ba0132 r41方程组(a 3 a2 a1)xb 的解为 cR c13203因此 b(2c1)a3(3c1)a2ca1 即 b ca1(3c1)a2(2c1)a3 cR31 设 a(a1 a2 a3)T b(b1 b2 b3)T c(c1 c2 c3)T 证明三直线l1 a1xb1yc10 l2 a2xb2yc20 (ai2bi20 i1 2 3)l3 a3xb3yc30相交于一点的充分必要条件为 向量组 a b 线性无关 且向量组 a b c 线性相关 证明 三直线相交于一点的充分必要条件为方程组 即0332211cybxa332211cybxa有唯一解 上述方程组可写为 xaybc 因此三直线相交于一点的充分必要条件为 c 能由 a b 唯一线性表示 而 c 能由 a b 唯一线性表示的充分必要条件为向量组 a b 线性无关 且向量组 a b c 线性相关 32 设矩阵 A(a1 a2 a3 a4) 其中 a2 a3 a4线性无关 a12a2 a3 向量ba1a2a3a4 求方程 Axb 的通解 解 由 ba1a2a3a4知 (1 1 1 1)T是方程 Axb 的一个解 由 a12a2 a3得 a12a2a30 知 (1 2 1 0)T是 Ax0 的一个解 由 a2 a3 a4线性无关知 R(A)3 故方程 Axb 所对应的齐次方程 Ax0的基础解系中含一个解向量 因此 (1 2 1 0)T是方程 Ax0 的基础解系 方程 Axb 的通解为42xc(1 2 1 0)T(1 1 1 1)T cR33设 是非齐次线性方程组 的一个解, 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证bArn,1明: (1) 线性无关； (2) 线性无关。rn,1 rn证明 (1)反证法,假设 线性相关,则存在着不全为 0 的数 使得下式成立:rn1 rnC,10(1)00 rnCC其中, 否则, 线性相关,而与基础解系不是线性相关的产生矛盾。,由于 为特解， 为基础解系，故得r1 bAArn000 )( 而由(1)式可得 )(10 rn故 ，而题中,该方程组为非齐次线性方程组,得 产生矛盾,假设不成立, 故b 线性无关.rn1(2)反证法,假使 线性相关.rn,1则存在着不全为零的数 使得下式成立:C,10（2）0)()(0 rnrC即 ( 11rn1) 若 ,由于 是线性无关的一组基础解系,故0rn rn,1,由(2)式得 此时 与假设矛盾.0r 0 010rnC2) 若 由题(1)知, 线性无关,故1n r,与假设矛盾,21rnr CC综上,假设不成立,原命题得证.34.设 是非齐次线性方程组 的 个解， 为实数，满足 .证明s1 bAxssk,1 121skk也是它的解.skkx2证明 由于 是非齐次线性方程组 的 个解.s,故有 ),1(sibi 而 sAkkA 2121( bkbs)(1即 （ ）xsk21从而 也是方程的解35设非齐次线性方程组 的系数矩阵的秩为 ， 是它的 个线性无关的解(由br11,rn r题 24 知它确有 个线性无关的解)试证它的任一解可表示为rn（其中 ）.21rnkkx 1rnk证明 设 为 的任一解xA由题设知： 线性无关且均为 的解21,rn bAx取 ，则它的均为 的解1131 ,rnr bAx用反证法证： 线性无关r,反设它们线性相关，则存在不全为零的数： 使得rnll,2021rnll即 0)()()( 11321rl 43亦即 0)( 132121 rnrn llll 由 线性无关知2,rn rnrllll 矛盾，故假设不对线性无关，为 的一组基rn,21 bAx由于 均为 的解，所以 为的 解 可由 线性表出xb1x1rn,2rnkk231 )()()( 11312 kk0)( 32 rnr 令 则121n rnk, 证毕rx36设 0,),( 211211 nnTn xxRxxV 满 足 12 满 足问 是不是向量空间？为什么？1,证明 集合 成为向量空间只需满足条件：若 ，则,V若 ，则RV是向量空间，因为：1. .0),(212 nTn 0),(2121 nTn, T),21且 ()1n )( 2121n故 V),(,2R故0)(2121 nn 1V不是向量空间，因为：2)()(2n 21)()( 221 nn故 V. ),1R 1故当 时，237试证:由 所生成的向量空间就是 .TTTaa)0,1(,)0(,)0(31 3R证明 设 32A01,121)(于是 故线性无关.由于 均为三维,且秩为 3,3)(R321,a所以 为此三维空间的一组基,故由 所生成的向量空间就是 .21,a321, 3R38由 所生成的向量空间记作 ,由 所,)0,()0(TT 1L,)1,0(,),2(2TTab生成的向量空间记作 ,试证 .2L2144证明 设 , RkakxV1211,RxV1212,任取 中一向量,可写成 ,要证 ,从而得2V由 得211a1212123kk上式中,把 看成已知数,把 看成未知数1,有唯一解0D21,21V同理可证: ( ) 故1221V39验证 为 的一个基,并把TTTaaa2,3(,),)0,(213R用这个基线性表示.vv89(75解 由于 062301,321 即矩阵 的秩为 3. 故 线性无关，则为 的一个基.),(a321,a3R设 ，则321kkv70532132k故 1av设 ，则21323891231k故线性表示为 2av40 已知 R3的两个基为a1(1 1 1)T a2(1 0 1)T a3(1 0 1)Tb1(1 2 1)T b2(2 3 4)T b3(3 4 3)T求由基 a1 a2 a3到基 b1 b2 b3的过渡矩阵 P 解 设 e1 e2 e3是三维单位坐标向量组 则 10) ,() ,(32145 1321321 0) ,() ,( ae于是 4) ,() ,(321321b3120) ,(321a由基 a1 a2 a3到基 b1 b2 b3的过渡矩阵为10440P