第6章弹性薄板小挠度弯曲问题的基础变分原理(16k)

- 82 -第 6 章 弹性薄板小挠度弯曲问题的基础变分原理平分板厚度的平面称为板的中面，一般地，当板的厚度 不大于板中面最小尺寸的t时的板称为薄板，薄板的中面是一个平面。薄板在垂直于中面的载荷作用下发生弯曲时，5/1中面变形所形成的曲面称为弹性曲面或挠度面，中面内各点在未变形中面垂直方向的位移称为板的挠度。薄板弯曲的精确理论应是满足弹性力学的全部基本方程，但这在数学上将会遇到很大的困难。1850 年，G.R.基尔霍夫（Kirchhoff Gustav Robert，基尔霍夫 古斯塔夫·罗伯特，德国物理学家，1824-1887 年）除采用弹性力学的基本假设外，还提出了一些补充的假设，从而建立起了薄板小挠度弯曲的近似理论。这些假设是：第一，变形前垂直于板中面的直线，在板变形后仍为直线，并垂直于变形后的中面，而且不经受伸缩；第二，与中面平行的各面上的正应力 与应力 , 和 相比属于小量；第三，在横向载荷作用下板发zxyx生弯曲时，板的中面并不伸长，这也就是说，薄板中面内各点都没有平行于中面的位移分量。用变分法可以导出薄板弯曲问题的平衡微分方程和边界条件。当板的形状和边界条件较复杂时，直接求解偏微分方程时比较困难的，以变分法为基础的各种近似解是求解这类问题的一个重要途径。本章讨论了用于薄板小挠度弯曲问题的一些基础变分原理，这包括虚功原理、最小位能原理、最小余能原理、两类自变量广义变分原理并推广到三类自变量广义变分原理。§6.1 基本方程与边界条件回顾取坐标平面 与中面重合， 轴垂直于中面， , 和 轴构成一个右手直角笛卡儿坐oxyzxyz标系。变形后的板内各点沿 , 和 轴方向的位移分别用 , 和 表示。由 Kirchhoff 假设，uvw可以得到， ， （6-1 ）xwzu),( yzv),( ),(),(yx并利用弹性力学中位移与应变之间的关系式，可以得到薄板中任意点的应变分量为， ， （6-2 ）2x2yyxzxy2其余 3 个应变分量 , 和 根据假设都等于零，即zyz， ， （6-3 ）0xz0yz由薄板的平衡关系，可以确定板的横向分布载荷 与剪力 , 以及弯矩 ,),(yxqxQyM和扭矩 （ , , 统称为内力yM矩）与 , 之间的关系式。这里要注意，xy, , 是单位中面宽度内的内力矩，它们的因次是千克力， , 是单位中面宽xy度内的内力，它们的因次是千克力/米。弯矩、扭矩和剪力的正方向如图 6-1 所示。- 83 -平衡方程为（6-4 ）),(yxqQxMxyxy在薄板弯曲理论中，剪力 , 不产生应变，因而也不作功，因此可以从（6-4）式中消去xy, ，得到xQy（6-5 ）0),(22yxqMxyy以后凡提到薄板弯曲平衡方程，都是指（6-5）式而言。而内力 , 不再作为独立的量看Qy待。上面两组方程仅仅是力的平衡方程，它们未涉及到板的材料性质。与内力矩相对应的广义应变是挠度面的曲率 ，在小挠度弯曲理论中，它们与xyk,挠度 的关系为w， ， （6-6 ）2xwkx2kywxy2内力矩与曲率的关系可以通过应变能密度 表示出来，若将 表示为 的函数，Uxyk,则有， ， （6-7 ）xkMykxyxykM21这种关系式对于线性或非线性材料都成立。对于线性的弹性体， 是 的正定的二xy,次齐次函数。在各向同性的情况下， 的算式为U（6-8 ）)(1)(2122xyxyx kkD将（6-8）式代入（6-7）式，然后再将（6-6）式代入，得到内力矩与挠度的关系式为（6-9 ）yxwDMxyx222)1()(以上各式中 称为板的弯曲刚度，其中 为板的厚度， 为材料的泊松系数。)1(23EtDt如果我们定义 为广义应变， 为广义应力，即xyyxxyyx Mywkk 22上（6-10）则有图 6-1 弯矩、扭矩和剪力的正方向- 84 -（6- 11）DM式中的 为弯曲刚度矩阵。 （6-8）式可以写为D（6-12 ）21UT余应变能密度 看作是内力矩 , , 的函数，其值定义为*xyx（6-13 ）Ukkxy* 并且有， ， （6-14 ）xxMyy*xyxyM*2同样，对于线性的弹性体， 是 , , 的正定的二次齐次函数。*Ux如果以广义应力 表示余应变能密度，则有（6-15 ）21*CT式中 。1DC（6-12）式与（6-15）式都是以后经常要用到的表达式。注意，对于线弹性薄板，应变能密度与余应变能密度在数值上是相等的，即 。*U将（6-9）式代入（6-5）式，得到以挠度表示的各向同性薄板的平衡方程为（6-16 ）),()2(444 yxqwyxw或（6-16 /）,D在处理具体问题时，经常遇到坐标旋转而引起的变换。如果坐标由 转变为 ，如oxy图 6-2 所示，则两个坐标系中坐标的关系为（6-cossin,sincoyxyx17）对于挠度 ，有 ，从而w),()(（6-18 ）cossiniyx及二阶偏导为 sinco)sin(cosincoi2i sincsicos 22222 2222 ywyxwxwyyxx（6-19）弯矩、扭矩的变换公式为（6-20 ） i)i(si2yxyyxx MMM图 6-2 坐标转换- 85 -剪力的变换公式为（6-21 ）cossiniyxQ在板的弯曲问题中，有三种典型的边界条件，简述如下。设 为板在 平面上的定义域，板的边界为 ，令 为沿边界外向法线的方向， 为xyCs边界的切线， （ , ）的转向与（ , ）的转向是一致的，如图 6-3 所示。nsy第一种边界为固支边界 ，在这种边界上，其挠度1C与法向斜率均为给定的，即有（在 上） （6-22 ）nw, 1第二种边界为简支边界 ，在这种边界上，其挠2度与法向弯矩为给定的，即有（在 上） （6-23 ）nM, 2C第三种边界为自由边界 ，在自由边界上，作用3在边界上的力为给定的。从内力和力矩看，在边界上共有三个，即 ，但其中并不完全独立，因为从作功角度来看， 和 并不完nsnQ, nsMQ全独立。事实上，若边界上的挠度有一变分 ，则 在 上所作之功 是wnsQ,w（6-24 ）Cnsd3利用分部积分，上式又可以写成（6-25 ）33 |)(CnsnsM由（6-25）式可见，切向扭矩 可以分解为沿着周边边界 的分布载荷 及作用于ns sMn两端的集中力 ，而 两端是支座（不是固支边便是简支边） 。从实际板的受力来3C|nsM3C分析，可以看到集中力 为作用在角点上，一般是影响到支座上的力，而对板的变形无|影响。因此，分布载荷 与剪力 构成沿自由边界 上的分布力，这部分边界力的虚功为snnQ3CswsCnd)(3与 相对应的广义力为 ，自由边的边界条件应取为wnsM（在 上） (6-26)(, sqQsnn3C为已知的作用在 上的线分布载荷。)(sq3§6.2 虚功原理和功的互等定理力学上，可能位移是指满足位移连续条件的位移。在薄板弯曲问题中只有一个广义位移图 6-3 板的边界- 86 -，因此， 可能作为可能位移的条件是： 是 , 的连续可导函数，),(yxw),(yx ywx,并且在边界上满足连续条件：（6-27 ）上 ）（ 在 上 ）（ 在 21,Cwn同样，由可能位移 按式（6-10）也可得到相应的可能曲率。可能内力是指与某种外力保持平衡关系的内力。在薄板弯曲问题中，内力有 , , xMy，这三个内力组成一组可能内力的条件是：在板的内部满足平衡方程（6-5）式，在板xyM的边界上满足条件（6-28 ）上 ）（ 在 上 ）（ 在 32)(, CsqQsMnn根据能量守恒定理，外力在可能位移上所作的功等于可能内力在可能应变上所作的功，通常把这一关系叫做虚功原理。在薄板弯曲问题中，若把支座反力也看作外力，则虚功原理的数学形式是 yxwyxxwMd)2( 22（6-29 ） CnCns swMQq d(d上式中， 为可能挠度， 是可能内力，它们之间可以完全独立而彼此无任何xyx,联系。下面给出（6-29）式的数学证明。为了书写简单，引入下面符号： ),cos(),cos(ynmnl现在将 取为 的方向， 取为 的方向，则可以利用（6-18） 、 （6-20 ） 、 （6-21）式等将n等用 等表示出来，下面证明中将用到swQMsn, wxQMyxyx ,这些公式。从（6-29）式中，等号右边两个线积分可作如下化简（并引用（6-22 ） 、 （6-23）式的边界条件） ，并得到 CCnns sdd)( CCnsnn wMsd)(sywlxmMllm ymxllswQxyxy yxyxyx d)()()( 222（6-30 ）sysCyxCyx dd - 87 -再将（6-4）式的关系代入（ 6-29）式右边第一个积分项里的 中，展开后为q（6-31 ） yxwMyxxwMsmlxlsQlywMx xwyMxsml QQlyxwxyxqwyxyCCyyyCx yxyy d)2()d()(d( d)d(d2将（6-30）式和（6-31）式代入（6-29）式的右端，可以证明其左端等于右端。对于虚功原理方程（6-29）式，还可以表示为以下恒等式 yxyxxyQx )( 222（6-32 ）Cnns swd)(式中的 代表（6-4）式前两个方程的缩写。这里所谓恒等式，是指公式（6-32 ）中的yxQ,是四个可以任意选取的函数。该式要求 具有一定连续可wMwMxyx,导性质，例如要求 的一阶导数应该是连续而且是可导的。利用上面说明的虚功方程（6-29）式，我们很容易导出功的互等定理。在（6-29 ）式中，应再次指明内力 与挠度 是彼此独立的，它们之间是无任何联系的。现在有xyx,w两组载荷对同一块板作用，形成两组解，分别为第一组载荷 作用下，产生的内力与挠度为1q 1,1xyx第二组载荷 作用下，产生的内力与挠度为2 22w分别形成的虚功方程为第一组外载及内力取第二组的位移（ ）为虚位移，有yxxw22, CnCns sMsQyxwq dd)(d221 111（6-33 ） yxwyxMx )2( 22111- 88 -第二组外载及内力取第一组的位移（ ）为虚位移，有yxwxw1221, CnCns sMsQyxwq dd)(d112 222（6-34 ） yxyxMx )( 12122（6-33）式等号右边可以引用（6-11 ）式，得到下式（6-35 ）wyxyx d)( 222111 Td12考虑到 ， ，则（6-35 ）式可写成D yxDxDTTT d 211212（6-36 ）yMd1（6-36）式即是薄板的功的互等定理，还可以写成 CnCns swsQyxwq)(d2221 111（6-37 ） CnC syx dd)( 112 22由于采用了线性的应力应变关系，所以无论是外力功的互等定理（6-37）式，还是内力功的互等定理（6-36）式，都是能量守恒原理和线性性质的后果。§6.3 最小位能原理考虑板在横向分布载荷 作用下处于平衡，并假定在板的边界上三种支持都存在),(yxp的情况。整个板的总位能包括两部分，一部分为板的应变能 ，它的算式为U（6-38 ）yxUd为板的应变能密度，其算式如（6-12）式。U另一部分为外力包括分布载荷 及边界力的位能，可写为),(yxp（6-39 ）323 ddCnCswMsqwV于是，整个板的总位能 为（6-40 ）323)( nyxpU在最小位能原理中，挠度 为唯一经受变分的自变函数，称这种变分为“一个自变函数的变分问题” 。令 是精确解，与 相应的弯矩、剪力为 等，它们满足方程（6-w yxyxQ,4）式、 （6- 11）式和边界条件（ 6-22） 、 （6-23）及（6-26 ）式。令 为一个可能挠度，则最*w小位能原理指出：与精确解 相应的总位能 小于任何其它可能挠度 相应的总位能w)(*。现在令)(*- 89 -（6-41 ）ww*,满足下面的边界条件w（在 边界上）0,n1C（在 边界上） （6-42 ）2与 相应的总位能 为*)(*（6-43 ）)(),()(21ww式中 是把（6-41）式代入（ 6-38）式，以 代替 所得到的结果，即)(2w（6-44 ）yxDTd21)(2其中（6-45 ）Tyx222而 yxwMxwMwyyx d)(),(2 221（6-46 ）322ddCnCssqp根据（6-29）式的虚功方程，可以证明 0),(1这样便有（6-47 ）()2*ww从（6-44）式， 不论 为任何不全为零的组合，恒有 。因此有)(2 0)(2（6-48 ）)(这便是最小位能原理。若将最小位能原理写成变分的形式，则有（6-49 ）0利用分部积分，参考（6-30）的推导，由（ 6-40）式 可以得到 yxwpyxMx d)2(2（6-50 ）0(d)23 snsqQsCnCn§6.4 最小余能原理考虑与上节相同的薄板弯曲问题。令 为精确解。再命yxyxQw上上上为一组可能内力，它们满足下列方程syxsysxM上上00qyQxsxssysxysx （6-51）和在边界 、 上的边界条件2C3在 上： n （6-52a）- 90 -在 上： ， （6-52b ）3CnsMqQssn系统的余能 包括两部分。一部分为余应变能 ，它的算式为*U（6- 53）yxd*式中 为余应变能密度。对于线性的应力与应变关系，它可以表示为（6-15）式。*U另一部分为已知的边界位移的余功 ，它的算式为*V（6-54 ）121)(* CnCns sswQV整个板的总余能 为（6-55 ） 121 dd)(d* CnCns sMyxU总余能 为自变函数 的泛函。xM,现在取， ， ，xsxysyxysxy， Q且满足下列方程和边界条件（6-56 ）0yQxMyxyxx在 上： （6-57a ）2Cn在 上： （6-57b ）3 0,ns以上两式表示内力增量在边界上对应为零的外载荷。并有（6-58 ）Ms于是有 )(),(2)()()( 2*1* MMs （6-59 ）式中 为内力增量相应的余应变能，而中间一项代表下列算式：2 yxwyxxwyd)(),( 2221*（6-60 ） 121 d)CnCns ssQ根据（6-29）式的虚功方程，可以证明 0,(*M这样（6-59）式可以化为- 91 -（6-61 ）)()()(2* MMs 如果 不全为零，那么由（6-15 ）式可知M02于是可得到（6-62 ）)()(*s这便是最小余能原理。将最小余能原理表达成变分形式，为 yxMywxMxwxd)2( 22*（6- 63） 121 d)CnCns ssQ最小余能原理是一种条件变分原理，因为可能内力必须满足平衡条件（6-51）式。Southwell（索斯韦尔）指出，利用应力函数方法可以把以上条件变分问题化为无条件变分问题。齐次方程的解可以用两个应力函数 与 表示之，如（6-64 ）)(21 ),(21 ,000 yxQyxQMMyx xyyx再命 是平衡方程的一组特解。于是可将内力表达为PyPyx上上（6-65 ）0000 , ,yPyxPxyy yyxx将以上算式代入（6-63）式，可将余能 表示成自变量 和 的泛函。自变量 和 除满*足力的边界条件（6-52）式外，不受其它条件的限制，这就把原来的条件变分原理转化为无条件变分原理。§6.5 二类自变量广义变分原理上面所介绍的二种变分原理都是最小值原理。在最小值原理中，自变量必须事前满足一定的条件，所以称它们为条件变分原理。最小值原理虽然具有突出的优点，但用起来不够方便。而无条件广义变分原理，因为自变量可以独立自主变动，事前不受任何限制，用起来则方便多了。但也同时带来共同的缺点，就是所涉及的泛函都只取驻值，而不是极值。广义的变分原理不过是拉格朗日乘子法在组成泛函过程的具体应用而已，或对拉格朗日乘子赋以力学上的说明。继续考虑前面两节中讨论过的问题，对同一块板的弯曲定义两个泛函如下： 21 d)(d)( 22222 Cnsyxyxyx swQMpwU3213(dnCnnCsMswq（6-66）- 92 - 21 d)(d)(*2 Cnsyx wQMyxwpQU（6-67 ）3CnssqM321Cn ss利用（6-32）式，注意到边界 的条件，可以证明32（6-68 ）0*显然，当满足物理关系 ，及位移边界连续D（在 边界上）w21（在 边界上） nC的条件下， 就等于总位能 。这里 的下标“2”表示这类泛函包括有二类变量的广义2位能，一类为内力矩 、 和 ，另一类为挠度 。xMyxyw所谓二类变量广义变分原理，是指薄板弯曲问题的精确解，使二类变量广义位能和二类变量广义余能取驻值。即把 、 、 、 四个函数看作是彼此独立无关的函数，并且使它们的变分不受任何限制，那么变分式或 （6- 69）020*2相当于薄板弯曲问题中的全部方程和边界条件，即平衡方程（6-4）式，内力矩与挠度关系（6-11） ，以及边界条件（6-22） 、 （6-23） 、 （6-26 ）式。现在证明上述结论。从公式（6-66）得到 yxMUywMUxw)()( *2*22 313 2121 d)(dnd )()( dd222CnCC nsns xyyxxy MwsMwq sQQyxp（6-70 ）21n（6-32）式中将 改为 ，有 yxyxxyd)2(2（6-71 ）CnCnsyx swMsQwQ(d)将上式代入（6-70）式，经过整理后，可得- 93 - 213 d)(d)(2)()(* *2*2CnCns yxxyx sQsMwsqQMyxpUyxwU（6-72 ）132 (n因为 , , , （其中 , , 均为任意独立自变函数的组合，故也为xyxwnsn任意的）为任意的，故有第一、二、三项形成物理关系（6-14）式，第四项为平衡方程（6-4）式，最后的四个边界积分中的被积函数式分别表示了边界条件（6-22） 、 （6-23 ）及（6-26）各式。由此可知，因为由 可以导出以上各方程，故精确解能使 。0202二类变量广义变分原理既是最小位能原理的推广，也是最小余能原理的推广。从公式上来看 是 的推广表现的格外明显，在最小余能原理中，自变量内力要求满足平衡方程*2（6-4）是和有关力的边界条件。将这些方程和条件通过恰当的拉格朗日乘子 , , 并入123泛函之中，得到yxpyQxUd)(1*321 d)() 2CnsCns sqMswM（6- 73）32)dCnn根据乘子 ， ， 所满足的方程可以求出其相应的关系。对（6-73）式取变分，可得123 11 321 d)( d)()(2 211* CnCns nsns yxyxMdQMsqQswxpU（6- 74）3232 3ss对上式中右侧第一项，注意到（6-14）式和（6-10 ）式，可以展开如下 yxMywxMxwUUyxxyxyx d2d 22引用（6-32）式，其中以 , , , , , 代替原式中的 , , , xynsnQy, , 等，得到下式nsMnQ- 94 - Cnnsyx swMQQyxU d)(d)(d（6-75 ）将（6-75）式代入（6-74）式中，经过整理可得下式 13 321 d)(d)( d)()( )(2 211CnnCns nsns yxyx MwsqQMsQyxyxp（6- 76）3232 3sw因为 , , , , , , 为任意的，故由 可得到以下各项xQyns12 0*（1） 和 （在 内） ；0py（2） （在 边界上） ， （在 ， 边界上） ；w3Cnw32C3（3）满足所有边界条件（6-22） 、 （6-23 ） 、 （6-26）式。将上面求出的 , , 代回到（6- 73）式，便得到无条件广义余能泛函 。123 *2现在再举板弯曲例子，说明拉格朗日乘子法的应用。处理此类问题，关键在于灵活使用拉格朗日乘子法。在有限元分析中，诸如“杂交元素”等，其实质都是利用拉格朗日乘子法处理具体的变分问题。下面将讨论如何利用拉格朗日乘子法解决指定边界位移的薄板弯曲问题的广义变分原理泛函。有一周边简支的薄板，设简支边与板不在同一平面上，而略有差异，其差别为 。)(sw这里 就是边界上的指定位移，它属于泛函变分的约束条件。板的应变能为)(sw（6-77 ） yxywxywxDU d)()1(2)(21 222因为该板边界上位移是给定的，由此将引起板的挠度 ，即 是由边界指定位),移 引起的，板上无外载荷作用，故知板的总位能就等于其应变能，即)(s（6-78 ）U为板的周边 所围的面积，在周边 上（也包括角点 上）应满足条件CCk（6-79 ）上上上iwk ,21因为周边简支（对扭转刚度不大的支持近似地可作这一假定） ，边的转角不受限制。最小位能原理指出：在满足（6-79）式的一切 中使（6-78 ）式的势能 最小的),(yx为本题的解。这一原理是在满足（6-79）式为前提下，提出的泛函变分问题，实质),(yxw上是属于条件变分极值问题。将此条件变分极值问题，转化为无条件变分问题。为此，我们可以利用拉格朗日乘子法，组成新的泛函- 95 -（6-80 ） ikkCwsws1)(d)(其中 , 为待定的拉格朗日乘子， 为周边坐标 的函数， 为角点)(s),21ik )sk的值。将 变分， ikkCikkCs 11 )(dd(（6-81 ）对（6-81）式的变分可以作如下运算，如 可写为)(222ywxyxwD（6-82 ）yxxd)1 22 首先，利用分部积分， （6-82 ）式第一项中展开可以化为 wyxyxwyxwyx yyyy wxx )()( )()( 24232222 434322 以上四式代入（6-82）式中之第一项，可得（暂不考虑积分） )()( 2222DD（6-83 ）)(ywxyw利用第一章中的（1-48） 、 （1-52）式，并将 及 的关系代入， （6-sdcosdin82）式前一项可写为yxwywxxDyxd)()( d)(22 222 CCC swnDsnwyxwDyDsyy d)(dd)( coi)(co snd)( 22222（6-84 ）现在，再来分解（6-82）式中的第二项 xx122- 96 -yxwyxywxyxD d)1( 2222 利用第一章中的（1-48） 、 （1-51） 、 （1-52）式，上式可以化为 sxwC cosin)( 222 上式第一项中的 及 分别利用（1-51 ）式展开，并分别运算，可得下式xysxwywy ywxnDsxyy yxwnCCdco)()( sin)()(1dco)( sin)()1222 22 利用（1-51） 、 （1-52）式，上式可化为 C sswnd)1()()1( 2322（6-85 ）ik kswnD1 1将（6-84） 、 （6-85）式代入（6-82）式中，然后再代入（6-81）式，经过整理后，可得 Csyxd)(d2ikk snwDwd1)( 221C ssns 1)()(22（6-86 ）kik s)(1由于 都是独立的变量，即可得到 nw上上（1） （在 内）02（2） （在 内）wC（3） （在 内）0)1(22nD（4） （在 内）)( 2sws 01)(swDC- 97 -（5） （在角点 上）),21(0ikwkk（6） （在角点 上） （6-87 ）0)swnD上式中的各式分别表示：（1）为板的平衡方程，即是欧拉方程；（2）为边界已知的约束条件；（3）为边界上弯矩为零的自然边界条件；（4） 、 （6）分别表示了拉格朗日算子的表达式，这里的 及 分别代表了边界上的等效剪力和角点反力；（5）为角度上已知的边界)(sk条件。将（6-87）式中（4）的 及（6）的 代入（6- 80）式，即得)(sk yxwyxywxDd)()1(221 222*C sssn)(2（6-88 ） ik kks12)(1)(在利用这个广义变分原理的泛函进行变分时，边界约束条件（6-87）式中的（2） ，角点约束条件（6-87）式中的（5 ）以及（6-87 ）式中的（4）和（ 6）都是这个变分的自然边界条件。在近似计算中，这类自然边界条件是可以自动近似满足的。如果错误地使用拉格朗日乘子法，把原变分泛函中自然能满足的自然边界条件，作为约束边界条件处理时，广义变分的结果可以得到所设的拉格朗日乘子等于零。如果得到这样的结果，则就直接告诉人们，原来认为是附加条件的约束条件，在实质上是原泛函的自然边界条件，所设的拉格朗日乘子是多余的。同时，也说明拉格朗日乘子法具有自动防止错误的能力。总之，如果所给条件并非原泛函的自然边界条件，则我们就能用待定的拉格朗日乘子把这些条件吸收进入泛函表达式组成为新的泛函，然后通过变分唯一地决定这些乘子的物理意义，这样就确定了包括一切约束条件在内的泛函，这种泛函称为“广义变分问题的泛函” 。广义变分原理在实质上就是把有条件的变分泛函通过拉格朗日乘子法化为无条件的泛函变分原理。广义变分的 泛函在变分中得到的自然边界条件，有一部分是原变分原理的自然边界条件，而另一部分就是原变分原理的约束条件。在广义变分中，这些条件都按自然边界条件自然得到满足。§6.6 三类自变量广义变分原理类似于二类变量的广义变分原理，也可以推广应用于三类变量的广义变分原理。如果我们取 等七个三类彼此独立的函数，即 为一类， （曲xyxyxMkw, wxyk,率）第二类， 为第三类，同样也可以构成相应的无条件广义位能或广义余能泛函，其特点与二类广义变分原理类似。继续考虑前面两节中讨论过问题，对同一块板的弯曲定义两个泛函如下： 21 d)(d )( 2223Cns yxyx swQypwUMkkk- 99 -（6-89 ） 3213 dd)(dCnCnnC swMswMsq 3 21d)( )(2*Cns Cnsyx yxyswqQQpUkk（6-90 ）321 )(Cnn sMM式中应变能密度 看作是曲率 的函数。Uxyk,利用恒等式（6-32） ，可以证明（6-91 ）0*3称为三类变量广义位能， 称为三类变量广义余能，下标“3”表示这类泛函包括3*有三类变量（挠度、曲率和内力矩） 。所谓三类变量广义变分原理，是指薄板弯曲问题的精确解，使三类变量广义位能和三类变量广义余能取驻值。即把 七个函数看作是彼此独立无关的函xyxyxMkw,数，并且使它们的变分不受任何限制，那么变分式或 （6- 92）030*3相当于薄板弯曲问题中的全部方程和边界条件，即曲率与挠度关系（6-6） ，内力矩与曲率关系（6-7） ，平衡方程（6-4） ，以及边界条件（6-22） 、 （6-23） 、 （6-26 ） 。为了证明上述论断，从 出发比较方便。对（6-90）取变分，得到*3 13 321 dd)( )(dd)( 2)2()(*3 CnCns nsns yxyx yxy xyxyxx MswqQMswQpxMkkkUUM（6-93 ）3232 )(ns在恒等式（6-32）中把 , , 改为 , , ，有xyxxyx CnCnsxyyx sMwQMwQdds)(d)2( 22将上式代入（6-93）式，经整理后得到 13 21d)(d)( d)( )(222*3 CnCns nsyx yyxxyx yyxyxyxwsqQQp xkkk UUCnM （6-94）- 100 -由此可见，如果 是精确解，可使 ，反过来，从xyxyxMkw, 0*3也可导出薄板弯曲问题的全部方程和边界条件。0*3