第二单元：数学模型

机电一体化系统开发已知数控机床控制系统如图所示，试说明图中的各个部分属于机电一体化系统中的哪一个基本要素。 机电一体化系统开发第二单元：机电一体化系统的机械环节课题一：传动系统数学模型的建立一、数学模型的概念所谓数学模型，就是用数学的方法和形式表示和描述系统中输入（电机，转子运动）和输出（工作台运动）及各变量之间的相互关系 。二、建模的意义建模就是为了求传递函数，从而将时域变为频域进行分析。机电一体化系统开发三、传递函数在零初始条件下，线性定常系统的输出量与输入量的拉普拉斯变换之比。即：机电一体化系统开发四、常见机械系统的数学模型机械系统指的是存在机械运动的装置，它们遵循物理学的力学原理，机械运动包括直线运动（相应的位移称为线位移）和转动（相应的位移为角位移）1、直线运动的数学模型m 物体质量， KgF（ t） 物体所受到的力 .Nx（ t） 线位移t 时间机电一体化系统开发2、转动数学模型T（ t） 物体所受到的力矩J 物体的转动惯量 （ t） 角位移机电一体化系统开发3、阻尼器的数学模型C 黏性系数 初始状况机电一体化系统开发4、弹簧的数学模型K 弹簧刚度系数机电一体化系统开发五、数学模型建立的步骤建模一般分两步进行1、机械系统中各基本物理量折算到传动链中的某个元件上（一般是折算到电动机轴 上）。（折算的基本原则是能量守恒，即：稳态 P不变，动态动能不变）2、根据元件的输入和输出量的关系建立它的数学模型。机电一体化系统开发以数控机床进给传动系统 为例机电一体化系统开发六、基本物理量的折算1、转动惯量的折算（ J）把轴 、 、 上的转动惯量和工作台的质量都折算到轴 上 ,作为系统的等效转动惯量。设 T 1 、 T 2 、 T 3分别为轴 、 、 的负载转矩 , 1、 2、 3分别为轴 、 、 的角速度 ,v为工作台位移时的线速度 ,z1 , z2 , z3 , z4分别为四个齿轮的齿数。机电一体化系统开发（ 1） 、 、 轴转动惯量的折算根据动力平衡原理 , 、 、 轴的力平衡方程分别是 （ 1）（ 2）（ 3）因为轴 的输入转矩 T2是由轴 上的负载转矩获得的 ,且与它们的转速成反比 ,所以又根据传动关系有把 T2和 2值代入式 (2),整理得（ 4）同理可得（ 5）（ 2） 将工作台质量折算到 轴在工作台与丝杠间 ,T3 驱动丝杠使工作台运动。根据动力平衡关系有式中 : v 工作台的线速度； L 丝杠导程。所以丝杠转动一周所做的功等于工作台前进一个导程时其惯性力所做的功。(6)机电一体化系统开发又根据传动关系有 把 v值代入 (6)式整理后得(7)机电一体化系统开发把式（ 4）、（ 5）、（ 7）分别代入式（ 1）、消去中间变量并整理后求出电机输出的总转矩 T1为（ 3） 折算到轴 上的总转动惯量(8)机电一体化系统开发2. 粘性阻尼系数的折算当工作台匀速转动时 ,轴 的驱动转矩 T3完全用来克服粘滞阻尼力的消耗。考虑到其他各环节的摩擦损失比工作台导轨的摩擦损失小得多 ,故只计工作台导轨的粘性阻尼系数 C。根据工作台与丝杠之间的动力平衡关系有 T32 =CvL (9)即丝杠转一周 T3所作的功 ,等于工作台前进一个导程时其阻尼力所作的功。根据力学原理和传动关系有代入（ 9）式得式中 : C 工作台导轨折算到轴 上的粘性阻力系数 ,其值为 （ 10）机电一体化系统开发3. 弹性变形系数的折算机械系统中各元件在工作时受力或力矩的作用 ,将产生轴向伸长、压缩或扭转等弹性变形 ,这些变形将影响到整个系统的精度和动态特性, 建模时要将其折算成相应的扭转刚度系数或轴向刚度系数机电一体化系统开发（ 1） 轴向刚度的折算当系统承担负载后 ,丝杠螺母副和螺母座都会产生轴向弹性变形 ,下图是它的等效作用图。在丝杠左端输入转矩 T3的作用下 ,丝杠和工作台之间的弹性变形为 ,对应的丝杠附加扭转角为 3根据动力平衡原理和传动关系 ,在丝杠轴 上有： T32=KL （ 11）式中 : K 附加扭转刚度系数 ,其值为（ 12）（ 2） 扭转刚度系数的折算。设 1、 2、 3分别为轴 、 、 在输入转矩 T1、 T2、 T3的作用下产生的扭转角。根据动力平衡原理和传动关系有由于丝杠和工作台之间轴向弹性变形使轴 III附加了一个扭转角 3,因此轴 上的实际扭转角 III为 III 3 + 3将 3、 3值代入 ,则有将各轴的扭转角折算到轴 上得轴 的总扭转角为 将 1、 2、 III值代入上式有(13)(14)式中 : K 折算到轴 上的总扭转刚度系数 ,其值为 (15)机电一体化系统开发4. 建立系统的数学模型设输入量为轴 的输入转角 Xi,输出量为工作台的线位移 Xo。根据传动原理 ,可把 Xo折算成轴 的输出角位移 。 在轴 上根据动力平衡原理有 又因为(16)(17)机电一体化系统开发因此 ,动 力平衡关系可以写成下式：(18)这就是机床进给系统的数学模型 ,它是一个二阶线性微分方程。其中 , J、 C、 K均为常数。通过对式 (18)进行拉氏变换 ,可求得该系统的传递函数为机电一体化系统开发式中 : n 系统的固有频率 ,其值为 系统的阻尼比 ,其值为传递 函数机电一体化系统开发六、机械性能参数对系统性能的影响1、与那些因素有关通过以上的分析可知 ,机械传动系统的性能与系统本身的阻尼比 、 固有频率 n有关。 n 、 又与机械系统的结构参数密切相关。因此 ,机械系统的结构参数对伺服系统的性能有很大影响。2、阻尼的影响（ 1）当阻尼比 0时 ,系统处于等幅持续振荡状态（ 2） 当 1时 ,系统为临界阻尼或过阻尼系统。此时 ,过渡过程无振荡 ,但响应时间较长。 机电一体化系统开发2、阻尼的影响（ 3） 当 0 1时 ,系统为欠阻尼系统。此时 ,系统在过渡过程中处于减幅振荡状态 ,其幅值衰减的快慢 ,取决于衰减系数 n。 在 n确定以后 , 愈小 ,其振荡愈剧烈 ,过渡过程越长在系统设计时，一般取 0.4 0.8的欠阻尼系统，过渡平稳，过渡过程短，灵敏度高。最佳阻尼比：机电一体化系统开发3.摩擦的影响影响有：引起动态滞后，降低系统的响应速度，导致系统误差和低速爬行。机电一体化系统开发4. 弹性变形的影响 当伺服电动机带动机械负载按指令运动时，元件会因受力而产生弹性变形，有可能产生谐振，在设计时应避免谐振，因此电动机转子固定时的固有频率 t应大于伺服系统带宽 b的 5倍。即 式中： e 伺服精度（ ） 负载最大角加速度