有关直线与圆锥曲线的一个统一结论

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 有关直线与圆锥曲线的一个统一结 论 圆锥曲线中的椭圆、双曲线、抛 物线，不仅各具特色和内涵，而且也有 统一的定义和性质.而对于作为一个有机 整体的圆锥曲线，探求其所具有的共同 特征应该非常有用.本文探究直线与圆锥 曲线相交所得线段相等的问题，具体内 容如下： 中国论文网 /9/view-13003219.htm 一、问题提出 直线 y=kx+m 与双曲线 x2a2- y2b2=1 及其渐近线交于 A，B，C，D 四点，求证：|AC|=|BD|. 解如图 1 所示，可设双曲线及渐 近线方程为 x2a2-y2b2=（ =0 或 1） ， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 由 y=kx+m，x2a2-y2b2= ， 得 （b2-a2k2 ）x2-2kma2x-a2m2- a2b2=0， 该方程显然有实数解. x1+x22=kma2b2-a2k2， 即直线 y=kx+m 与曲线 x2a2- y2b2=（=0 或 1）的两交点的中点的 横坐标相同（与 无关）.故线段 AB 与 CD 的中点重合，即|AC|=|BD|. 二、分析 四点共线，然后求该直线上的线 段长相等，如果直接算，计算量应当很 大.本题巧妙地利用中点相同化解了 一问题，又因为渐近线方程与双曲线方 程的结构相似（只差一个常数 ） ，所以 只用一次韦达定理即解决问题，何等的 干净利索！ （一）引申 1 可以将原题中的渐近线改为双曲 线 x2a2-y2b2=k（k0 ） （如图 2 或图 3 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 所示） ，然后一直线被两组双曲线截得 的四个点仍有相同的性质，而证明过程 同刚才一样. （二）引申 2 设两椭圆的离心率相同，对称中 心重合，长短轴位置一致，则与两椭圆 相交的直线夹在椭圆间的两线段长相等. 解由已知设两椭圆方程为 x2a2+y2b2=i（i=1， 圆锥曲线中的椭圆、双曲线、抛 物线，不仅各具特色和内涵，而且也有 统一的定义和性质.而对于作为一个有机 整体的圆锥曲线，探求其所具有的共同 特征应该非常有用.本文探究直线与圆锥 曲线相交所得线段相等的问题，具体内 容如下： 一、问题提出 直线 y=kx+m 与双曲线 x2a2- y2b2=1 及其渐近线交于 A，B，C，D 四点，求证：|AC|=|BD|. 解如图 1 所示，可设双曲线及渐 近线方程为 x2a2-y2b2=（ =0 或 1） ， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 由 y=kx+m，x2a2-y2b2= ， 得 （b2-a2k2 ）x2-2kma2x-a2m2- a2b2=0， 该方程显然有实数解. x1+x22=kma2b2-a2k2， 即直线 y=kx+m 与曲线 x2a2- y2b2=（=0 或 1）的两交点的中点的 横坐标相同（与 无关）.故线段 AB 与 CD 的中点重合，即|AC|=|BD|. 二、分析 四点共线，然后求该直线上的线 段长相等，如果直接算，计算量应当很 大.本题巧妙地利用中点相同化解了这一 问题，又因为渐近线方程与双曲线方程 的结构相似（只差一个常数 ） ，所以只 用一次韦达定理即解决问题，何等的干 净利索！ （一）引申 1 可以将原题中的渐近线改为双曲 线 x2a2-y2b2=k（k0 ） （如图 2 或图 3 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 所示） ，然后一直线被两组双曲线截得 的四个点仍有相同的性质，而证明过程 同刚才一样. （二）引申 2 设两椭圆的离心率相同，对称中 心重合，长短轴位置一致，则与两椭圆 相交的直线夹在椭圆间的两线段长相等. 解由已知设两椭圆方程为 x2a2+y2b2=i（i=1，2） ，设直线方程为 y=kx+b（斜率不存在情况显然成立）. 则由 x2a2+y2b2=i，y=kx+b ， 得（b2+a2k2）x2+2a2kbx+a2b2- a2b2i=0， x1+x22=-a2kbb2+a2k2 ， 直线 y=kx+b 与椭圆的交点的 中点横坐标与 i 无关，所以两中点重合， 也即与两椭圆相交的直线夹在椭圆间的 两线段长相等. 2） ，设直线方程为 y=kx+b（斜 率不存在情况显然成立）. 则由 x2a2+y2b2=i，y=kx+b ， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 得（b2+a2k2）x2+2a2kbx+a2b2- a2b2i=0， x1+x22=-a2kbb2+a2k2 ， 直线 y=kx+b 与椭圆的交点的 中点横坐标与 i 无关，所以两中点重合， 也即与两椭圆相交的直线夹在椭圆间的 两线段长相等.