高中数学第一章不等关系与基本不等式3第2课时平均值不等式求最值学案北师大版.docx

第2课时平均值不等式求最值学习目标1.理解用平均值不等式求最值所需条件.2.会用平均值不等式求最值.3.能用平均值不等式解决简单的实际问题知识点利用平均值不等式求最值思考1不等式22中的等号能否取到？为什么？答案不能取到若等号能取到需满足，得x221，该方程无实数解，故所给不等式中的等号不能取到思考2在利用三元平均值不等式求最值时要注意满足什么条件？答案三个实数均为正数；三个正数的和(或积)为定值；三个正数可以相等梳理(1)设x，y都是正数，则有若xyS(和为定值)，则当xy时，积xy取得最大值；若xyP(积为定值)，则当xy时，和xy取得最小值2.(2)设x，y，z都是正数，则有若xyzS(和为定值)，则当xyz时，积xyz取得最大值；若xyzP(积为定值)，则当xyz时，和xyz取得最小值3.类型一利用平均值不等式求最值命题角度1二元平均值不等式的应用例1(1)设x0，y0且2xy1，求的最小值；(2)若x0，求f(x)3x的最大值解(1)×1(2xy)442448，当且仅当，即x，y时，等号成立，的最小值是8.(2)x0，x0, 故f(x)212，当且仅当3x，即x2时，等号成立，f(x)的最大值是12.反思与感悟在应用平均值不等式求最值时，分以下三步进行(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(1)变为同正(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数的单调性或导数解决跟踪训练1已知x0，y0，且x2yxy30，求x·y的最大值解由x2yxy30，得y(0x30)，所以x·y·x34.因为x2216.可得xy18，当且仅当x2，即x6，代入y，得y3时，x·y取最大值18.命题角度2三元平均值不等式的应用例2(1)求函数y(x1)2(32x)的最大值；(2)求函数yx(x1)的最小值解(1)1x，32x0，x10.又y(x1)2(32x)(x1)(x1)(32x)33，当且仅当x1x132x，即x时，ymax.(2)x1，x10，yx(x1)(x1)1314，当且仅当(x1)(x1)，即x3时等号成立，ymin4.反思与感悟(1)利用三元平均值不等式求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”(2)应用平均值不等式，要注意当三个条件“一正，二定，三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均值不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等跟踪训练2(1)求函数y(13x)2·x的最大值；解y(13x)2·x·(13x)·(13x)·6x·3，当且仅当13x13x6x，即x时，ymax.(2)已知xR，求函数yx(1x2)的最大值解yx(1x2)，y22x2(1x2)(1x2)·.2x2(1x2)(1x2)2，y23，当且仅当2x21x2，即x时取“”号y，即y的最大值为.类型二解决恒成立问题例3(1)设0<x<y，且a恒成立，则a的最小值是_(2)若不等式x2ax10对于一切x(0,2)恒成立，则a的取值范围是_答案(1)(2)2，)解析(1)显然a>0，由题意，不等式a恒成立，则a必须大于或等于的最大值方法一212，当且仅当xy时，等号成立，的最大值为，故a，a的最小值为.方法二，221，令cos，sin，则cossinsin，当时，等号成立，的最大值为.又a恒成立，a，即a的最小值为.(2)x2ax10，x(0,2)，a对于一切x(0,2)成立x22，当且仅当x1时等号成立，2，a2.反思与感悟解决某些含参数的不等式恒成立问题时，可通过分离参数的方法，使参数与变量分别位于不等式两端，从而将问题转化为求关于变量的函数的最值，进而通过平均值不等式求出参数的取值范围跟踪训练3设x>0，y>0，且xy4，要使不等式m恒成立，求实数m的取值范围解由x>0，y>0，且xy4，得1，所以·，当且仅当，且xy4，即x，y时，等号成立，所以，所以要使题中不等式恒成立，需m.类型三利用平均值不等式解决实际问题例4某森林出现火灾，火势正以每分钟100m2的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林大约损失60元问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？解设派x名消防员前去救火，用t分钟将火扑灭，总损失为y，则t，y灭火材料、劳务津贴费车辆、器械、装备费森林损失费125tx100x60(500100t)125x·100x300001250100(x22)3000031450100(x2)31450236450，当且仅当100(x2)，即当x27时，y有最小值36450.故应该派27名消防队员前去救火，才能使总损失最少，最少损失为36450元反思与感悟利用平均值不等式解决实际问题的步骤(1)分析题意，建立函数(或不等式)模型(2)化简整理使表达式出现平均值不等式的结构形式(3)考查是否具备利用平均值不等式求解的条件跟踪训练4有一块边长为36cm的正三角形铁皮，从它的三个角上剪下三个全等的四边形后做成一个无盖的正三棱柱容器，要使这个容器的容积最大，剪下的三个四边形面积之和等于多少？最大容积是多少？解剪下的三个全等的四边形如图所示，设A1F1x cm，则AF1x cm，所以A1B1F1F2(362x)cm，所以V(362x)2·x(6x)(6x)·2x.因为0x6，所以6x0.又(6x)(6x)2x12，所以当6x2x，即x2时，V有最大值，这时V最大·(4)3864(cm3)因为x·xx212(cm2)所以此时三个四边形面积之和等于36cm2.1设x0，则f(x)4x的最大值为()A4B4C不存在D.答案D解析x0，f(x)4x4434，当且仅当，即x1时，等号成立2已知x为正数，下列各选项求得的最值正确的是()Ayx22x36By2x33Cy2x4Dyx(1x)(12x)3答案C解析A，B，D在使用不等式abc3(a，b，cR)和abc3(a，b，cR)时都不能保证等号成立，最值取不到C中，x0，y2x2224，当且仅当x，即x1时取等号3某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A5千米处B4千米处C3千米处D2千米处答案A解析由已知，得y1，y20.8x(x为仓库到车站的距离)，费用之和yy1y20.8x28.当且仅当0.8x，即x5时等号成立4已知a，b为正实数，且a2b1，则的最小值为_答案32解析(a2b)122323，当且仅当ab时取等号5已知a，b为实数，且a0，b0，则的最小值为_答案9解析因为a0，b0，所以ab330，同理可得a230，由及不等式的性质，得3×39，当且仅当ab1时，等号成立1利用平均值不等式求最值，关键是对式子进行恰当的变形，合理构造“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用基本不等式注意一定要求出使“”成立的自变量的值，这也是进一步检验是否存在最值的重要依据2求形如yax2(x0，a0，b0)的函数的最小值，关键是拆为，则yax2ax23.求形如yax(x0，a0，bc0)的函数的最小值，关键是拆ax为，则yax3.一、选择题1函数yx2(15x)(0x)的最大值为()A.B.C.D.答案A解析yx2(15x)(15x)××3，当且仅当x15x，即x时等号成立2若logxy2，则xy的最小值是()A.B.C.D.答案A解析由logxy2，得y，而xyx33，当且仅当，即x时取等号3对于x，不等式16恒成立，则p的取值范围为()A(，9) B(9,9C(，9 D9，)答案D解析要使16恒成立，必有p0.又·(sin2xcos2x)1p1p2(1)2，(1)216，即14，3，p9.4设a，bR，且ab3，则ab2的最大值为()A2B3C4D6答案C解析ab24a××43434×134，当且仅当a1时，等号成立即ab2的最大值为4.5已知a，b，cR，x，y，z，则()AxyzByxzCyzxDzyx答案B解析由a，b，cR，易知，即xy.又z2，x2，且x2，x2z2，则xz，因此zxy.6设x，y，z0且xyz6，则lgxlgylgz的取值范围是()A(，lg6 B(，3lg2Clg6，) D3lg2，)答案B解析6xyz3，xyz8，lgxlgylgzlg(xyz)lg83lg2.二、填空题7已知x0，y0且满足xy6，则使不等式m恒成立的实数m的取值范围为_答案解析因为x0，y0，××(106).当且仅当时等号成立，又xy6，得x，y.所以m的取值范围是.8若a，b，c(0，)，且abc1，则的最小值为_答案解析a，b，c(0，)，(ab)(bc)(ca)·3·39，当且仅当abc时等号成立，故2(abc)·9.又abc1，.9已知a，b，cR，且满足a2b3c1，则的最小值为_答案9解析因为a，b，cR，且满足a2b3c1，所以(a2b3c)·3·39，当且仅当a2b3c时取等号因此的最小值为9.10已知关于x的不等式2x7在x(a，)上恒成立，则实数a的最小值为_答案2解析2x(xa)(xa)2a，xa0，2x32a32a，当且仅当xa，即xa1时取等号2x的最小值为32a.由题意可得32a7，得a2.三、解答题11已知a，b，c均为正数，证明a2b2c226，并确定a，b，c为何值时，等号成立解因为a，b，c均为正数，由平均值不等式，得a2b2c23(abc)，3(abc)，所以29(abc).故a2b2c2()23(abc)9(abc)，又3(abc)9(abc)26，当且仅当abc时，式和式等号成立当且仅当3(abc)9(abc)时，式等号成立，即当且仅当abc时，原式等号成立，所以原不等式成立12已知x，y，zR，xyz3.(1)求的最小值；(2)证明：3x2y2z29.(1)解因为xyz30，0，所以(xyz)9，则3，当且仅当xyz1时，等号成立，故的最小值为3.(2)证明x2y2z23.当且仅当xyz1时，等号成立，又x2y2z29x2y2z2(xyz)22(xyyzzx)0，所以3x2y2z29.13.如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB3m，AD2m.(1)要使矩形AMPN的面积大于32m2，则AN的长应在什么范围内？(2)当AN的长度为多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积；(3)若AN的长度不小于6m，则当AN的长度为多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积解(1)设ANxm(x2)，则ND(x2)m.，AM，·x32，3x232x640，(3x8)(x8)0，2x或x8.AN的长的范围为(8，)(2)由(1)知，S矩形AMPN3(x2)1221224.当且仅当x4时取等号当AN的长度为4m时，矩形AMPN的面积最小，最小面积为24m2.(3)由(2)得，S矩形AMPN3(x2)12(x6)，令x2t(t4)，则S矩形AMPN3t12(t4)设f(t)3t12(t4)，则f(t)3，当t4时，f(t)0，函数f(t)在4，)上是增加的，f(t)minf(4)27，此时x6.若AN的长度不小于6m，则当AN的长度是6m时，矩形AMPN的面积最小，最小面积为27m2.四、探究与拓展14若a2，b3，则ab的最小值为_答案8解析a2，b3，a20，b30，则ab(a2)(b3)5358，当且仅当a2b3，即a3，b4时等号成立15设0，求函数ysin(1cos)的最大值解ysin (1cos )2sin cos20(0)，y取最大值当且仅当y2取最大值y24sin2·cos44sin2·cos2·cos22·2sin2·cos2·cos22·32×3，当2sin2cos2时取等号，此时tan2，tan ±，而tan 在(0，)上有解，则y，故ymax.