日本的中小学数学教育.doc

第一章 日本的中小学数学教育 日本和我国同属东方文化系统，在数学教育方面有不少相似之处，然而近几十年来日本数学教育的改革更多地学习和借鉴了西方的改革思想和经验，并有机地融入自己传统中，形成了自己的特色和优势，受到了世界各国的重视。1998年12月，日本文部省依据中央教育课程审议会关于各类学校各科教育课程改革的基本精神，公布了新的中小学数学学习指导要领（相当于中国的数学教学大纲），并定于小学和中学从2002年、高中从2003年分别开始实施。新的数学学习指导要领反映了面向21世纪的日本中小学数学教育的基本理念和方向，故意义深远，引人注目。为此，本章将对日本新的小、中、高数学学习指导要领的基本思想和数学课程的目标、内容及教材的特点进行概要介绍与分析，以期对我国数学教育的改革和发展有所启示和借鉴。一、学制与课程设置1学制6、3、3；义务教育9年。2课程设置（1）小学：国语、社会、算术、理科、音乐、图画手工、家庭、体育。（3）中学：国语、社会、算术、数学、理科、音乐、美术、保健体育、技术·家庭、外语、德育、课外活动。二、日本的教师教育1、大学教育2、在职教育3、各种培训三、日本基础教育数学课程改革的经纬在战后的几十年中，日本大体上每十年就要对学习指导要领修订一次。以学习指导要领的修订为基准，可把战后日本基础教育数学课程的变迁过程分为以下6个时期。1单元学习时期1947年3月，日本颁布了新的教育基本法和学校教育法。同年4月实施新的学制，小学6年，中学3年，高中3年，并实行9年义务教育。同年5月公布了中、小学数学学习指导要领（试行草案），并发行了所谓“单元学习”为中心的教科书。从1948年开始，日本根据文部省学校教育局颁布的高等学校设置的基准编制了高中数学教科书，教学科目为解析、几何学、解析。1951年文部省颁布了高中数学学习指导要领（试行草案），在高中又添设了一般数学。单元学习时期中、小学数学教科书的教学内容以生活需要为主，并要求学生能自己去解决问题，本质是以儿童为中心的自学活动，其学习活动为一个所谓解决问题的过程。与中、小学数学教科书相对照，高中教科书则为纯粹的数学体系，解析为代数；解析为函数、微积分与概率统计；几何为初等几何和解析几何；一般数学是利用数学解决现实生活中的问题，可见高中的数学水平是较高的。这是因为教育革新委员会第三次会议对此有所要求，大学方面也要求高中给予较高的数学教育。2系统学习时期1958年日本数学教育已转入系统学习的新时期。这次改革明确提出以下方针：使学生理解数学的概念、原理、法则，并养成应用他们的能力；使数学建立体系，使学生理解建立此体系的想法及其意义；使学生理解数学的用语和符号的正确使用方法，并据此简洁、明确地表现出数量关系，养成处理它们的能力；使学生理解逻辑思维的必要性，并使其养成建立逻辑体系的能力和习惯；使学生了解对事物的数学的观察方法，和思考方法的意义，并据此养成对事物的正确处理能力和态度。系统学习的主要精神，并不是使学生对所学知识在形式上系统的理解，重要的是使学生在心理上进行系统的思考，提高逻辑性的同时，能自己对学习内容作出逻辑的体系，因此，这一时期被称为系统学习时期。如1960年修订的高中数学学习指导要领中不但明确指出要使学生理解数学的基本概念、原理、法则，并养成应用它们的能力，同时还要使学生理解数学体系的建立和建立此体系的思想方法、意义，理解逻辑思维的必要性，并使其养成建立逻辑体系的能力和习惯，其必修课程数学中增加了不等式、空间坐标、数学和论证等内容；在数学B和数学中增加了向量和复数平面等内容。这次改革的主要特点是为了面向学生的就职，开设了应用数学，它是数学、数学的后继课。3数学教育的现代化时期 1964年日本为了了解SMSG的改革情况，请来了E. Moise和D. E. Rickmond两位教授，在东京、京都两地召开了研究会，他们的讲演给日本的数学教育改革起了很大的推动作用。于是、日本于1969年颁布了新的小、中、高数学学习指导要领。其改革的指导思想是：“目前世界各国数学教育现代化还在进行中，与其在形式上增加新的内容，不如仍用过去的教学内容，用现代数学的新观点来阐述教材，改进教学方法，通过这种办法，向数学教育现代化的目标前进。”总目标是：“对事物取其数学侧面，养成进行逻辑思维，综合地、发展地考查和应用数学的能力和态度。”精选了对日常生活、进一步学习以及加强数学理解能力有用的题材作为教学内容，在中学导入了集合的用语和符号；用对应定义函数；强调变换，导入拓扑的基本观点；强调概率和统计。在高中增加了集合和逻辑的内容、向量、矩阵、平面几何的公理结构、计算机程序与框图等新内容。日本和欧美一些国家一样，现代化教材实行的结果，出现了意想不到的恶果。4轻松愉快的数学教育时期1978年，日本在反省了数学教育现代化的若干弊端以后，制定了“轻松愉快”的教育方针：建立有特色的学校；发展个性；轻松愉快的学校生活；重视劳动。在此方针的指导下，新颁布了小、中、高数学学习指导要领，在要领中强调：“使学生充分理解数学的基本概念和原理，进一步培养学生的数学意识和思考方法。” 在教学内容方面进行了如下的改革：恢复了一些传统内容；删去了一些新内容，如平面几何的公理结构；降低了对某些抽象理论的要求，如降低了对集合与逻辑、代数结构等内容的要求；有些内容在量上有所减少。这次修改的高中数学学习指导要领尽管比前次要求降低了，但微积分、概率统计、向量、矩阵等内容基本保持了原来的程度。修改的主要目的是减轻学生的负担，使教材更便于接受，提高教学效果。5适应多样化的数学教育时期80年代中期的临时教育审议会以后，作为基础教育重要内容的中小学课程改革，比以往任何时候都受到重视。针对日本教育面临的偏重学历、过度的考试竞争、青少年心理健康、学校教育的划一化和僵化等一系列问题，临时教育审议会提出教育应朝着尊重个性的方向改革。日本于1989年对学习指导要领进行了修订，这次修订的着眼点是三个方面：适应高度信息化的社会；适应社会和学生的多样性；适应国际化的时代。在小学低年级更加重视综合性、体验性的学习；在初中增设了“课题学习”；在高中阶段扩大了选修课的范围和比重等。如高中数学课程在适应多样化方面，对于那些将来从事的职业几乎不需要用到数学的学生，则只学习数学；对于要升入大学文科系的学生，则学习数学、数学，同时也可选修数学A、数学B、数学C中的部分内容；对于要升入大学理科系的学生则学习数学、，同时再选修数学A、数学B、数学C中的部分内容。由此可见学生对数学课程有多样选择的可能。6面向21世纪的数学教育改革1996年8月，日本中央教育审议会发表题为关于面向21世纪的我国教育的咨询报告。报告指出，面对今后日益信息化、国际化和科技迅猛发展的、不断变化的社会，教育要注重对学生基本素质和能力“生存能力”的培养，即要培养学生自己发现问题、自己学习、独立思考、判断、行动的能力，以及更好地解决问题的能力；培养学生具有健康的身心，自律意识，关心、同情他人的情感和品格以及与他人合作的能力。该报告强调，今后日本学校教育的基本任务就是培养学生的“生存能力”，必须使教育由注重灌输知识向注重培养学习能力和独立思考能力转变。因此，要从以下几方面对现有的学校课程进行改革：精简那些容易陷入死记硬背的内容，严格筛选基础和基本的教育内容，削减课时；通过加强课程的弹性化，改善教学方法，创建有特色的学校，推进个性化教育；加强道德教育，培养丰富的人格，应重视志愿服务，自然体验等活动，并开展丰富多彩的健身体育运动；适应国际理解、信息、环境、志愿服务等综合学习和课题学习的需要，设定“综合学习时间”，各学校可根据实际情况开展有特色的教育活动。根据中央教育审议会的报告精神，日本教育课程审议会从1996年8月开始，就课程改革的方针、课程体系的构建、学科教育的内容等一系列重大问题进行了研讨，并分别于1997年11月和1998年6月发表了关于教育课程标准改革的中间报告、最终审议报告，并确定了此次课程改革的目标。课程改革的总目标：培养学生具有丰富的人性和社会性、具有自立于国际社会的日本人的意识；培养学生的学习能力和独立思考的能力；通过开展宽松的教育活动，切实加强基础，充实发展个性的教育；使各个学校能够发挥主动性、创造出有特色的教育。 基于上述课程改革目标，中央教育课程审议会确定了如下的小、中、高数学教育课程改革的基本方针：（1）通过小学、中学以及高中的教育，使学生掌握关于数量和图形的基础知识和基本技能，在此基础上，培养学生多方面观察事物的能力、逻辑思维能力等创造性的基础，使学生认识到数理地考察和处理事物现象的益处，进一步培养学生发展性地运用数学知识、数学思想方法的态度；（2）为达到上述目标，要重视数学知识和现实生活中各种事物现象的联系，使学生在宽松的环境中，通过自己发现问题，积极主动地解决问题的活动，一边体验学习的乐趣和充实感一边进行学习。并且要重视教学内容的改善。文部省根据上述报告，着手修订课程标准，并于1998年11月颁布了新的学习指导要领，拉开了新一轮课程改革的序幕。下面将围绕日本课程审议会的咨询报告和文部省新颁布的学习指导要领，对日本数学教育课程改革的动向、特征及其意义做些分析。四、日本最新中小学数学学习指导要领 中学数学学习指导要领根据中央教育课程审议会制定的数学教育课程改革的基本方针，考虑到中学阶段是义务教育，数学与现实生活有着密切的联系，它不仅对人们的日常生活，而且对人类文化和社会发展具有很大的作用。因此，中学时期要使学生有充裕的时间，确实理解和掌握作为国家或社会的一员，在社会上生活所必要的关于数量和图形的基础知识和基本技能，并能积极主动地进行自己发现问题和解决问题的学习活动。改善的具体要求是：（1）数与式（代数）：加深对使用字母进行思考的必要性的认识，培养学生积极理解和说明代数式意义的基本能力和态度；（2）图形（几何）：为了使学生能够积极发现问题和解决问题，要重视论据清楚，论证合理的表达能力和逻辑思维能力的培养，特别是图形的证明；（3）数量关系（函数、概率统计）：使学生掌握分析事物变化的手段，思考方法以及对随机现象进行正确判断的基础知识和能力；（4）课题学习：使学生通过自己发现问题，积极主动地解决问题的活动，加深学生对数学思想方法的理解，促进学生思维的发展。依据上述修订的基本思想，文部省对现行的中学数学教学大纲进行了修订，修订后的中学数学教学大纲从知识和技能、能力、态度和方法等方面提出了中学数学课程的目标要求，包括中学数学课程的总目标和各领域的具体目标。总目标提出了中学数学所要达到的共同目标，各领域的目标则结合知识内容，具体提出通过完成什么样的学习内容来达到目标，也就是完成目标的途径和方法。中学数学课程的总目标：“加深学生对数量图形等基本概念、原理和法则的理解，使学生掌握数学的表达方式以及处理问题的方法，提高学生以数理地考察事物现象的能力，并使学生体会到数学学习活动的乐趣和数学思想方法的益处，进一步培养学生发展性地运用数学知识，数学思想方法等的态度。”新的目标在内容上基本上体现了现行目标的特点，比如，重视基础知识的理解、重视能力、态度和数学的思想方法的培养。并在此基础上又有所发展，增加了“使学生体会到数学学习活动的乐趣”，突出了对情感体验和学习兴趣的重视。“数学活动学习的乐趣”不是指“数学活动”本身有趣，而是通过数学活动体会到的数学学习的乐趣。学习数学不但要记住公式和法则，更重要的是理解数学结论产生、发展的认识过程，通过具体的观察、操作和实验，归纳、抽象出数学结论的活动和运用数学知识、方法解决身边的事物现象的问题解决活动，使学生体验到发现和创造数学的愉快和学习数学的乐趣，从而提高学生学习数学兴趣和动机，给学生以学习数学的动力。中学数学的教学内容仍是按年级顺序编排，每年级都包括数和式（代数）、图形（几何）和数量关系（函数与概率统计）三部分内容。但依据中央教育课程审议会的课程改革精神，现行数学教学内容的三分之一被削减或转移到高中。削减的内容有1年级的平行移动、旋转移动以及对称移动、立体的截面和投影、满足条件的图形；2年级的数的表示法（2进制、近似值）；3年级的平方根表。转移到高中的内容是1年级的数的集合；2年级的一元一次不等式、三角形的重心、3年级的有理数和无理数的用语、一元二次方程解的公式、圆的部分性质、相似图形的面积和体积的比、球的体积和表面积、资料的整理和标本的调查、各种事物现象和函数。调整后的初中数学教学内容和课时如下表1：表1 新初中数学教学大纲的教学内容和课时学年教学内容 数与式 图形 数量关系课 时新 旧一年级1、 正负数 1、平面图形 1、正反比例函数2、 字母和代数式 2、空间图形3、 一元一次方程105 105二年级1、 整式的运算 1、平行线和角 1、一次函数2、 二元一次方程组 2、全等三角形 2、概率的初步知识3、圆105 140三年级1、平方根 1、相似三角形 1、二次函数2、多项式 2、勾股定理3、一元二次方程105 140从上面的介绍可以看出，日本中学数学课程改革有以下几个特点：（1）进一步精简学习内容，使学生在宽松的学习环境中，切实掌握基础知识和基本技能。在上一轮课程改革时,根据科学技术发展和日本学生的实际情况,日本数学课程改革就较大幅度简化了学习内容。这次改革又进一步精简了一些学习内容，较大幅度降低了代数计算等技能要求。（2）增加了选择性学习。新学习指导要领增加了选修课课时,使课程具有较大的弹性,适合不同学生的需要。提倡选择性学习构成了日本中学数学课程的一大特色。学习指导要领认为,数学课程要安排多种可供学生选择的数学活动。如探究数学的某个内容或者专题、有关数学的实际活动、应用数学的活动、数学史的有关专题等课题学习都可以作为选择学习的内容。学习的程度也应有一定的弹性,在选择性学习中学生可以根据自己的实际情况选择补习、补充、发展、深化等不同程度的学习，使不同发展水平的学生都有收益,有利于学生的个别差异。（3）重视课题学习（问题解决学习）。 “课题学习”是日本在“问题解决”的影响下，结合本国实际情况提出来的，并于1989年作为中学数学教学内容写进了中学数学学习指导要领（相当中国的数学教学大纲）。现在“课题学习”几乎成为日本中学数学教育的主流，深受广大教师和学生的欢迎。根据日本数学教育学会和教育课程研究委员会对全国教师的调查表明：赞成“课题学习”的约占90。1999年，日本新颁布的中学数学学习指导要领更加重视“课题学习”，并在“课题学习”的目的、内容等方面提出了新的要求。因此，本文将结合日本新的数学学习指导要领，对日本数学教育学会会长、东京理科大学教授泽田利夫领衔主编、教育出版株式会社2001年出版的中学数学教材中的“课题学习”的内容和特点进行介绍和分析，以其对我国中学数学教育的改革和发展有所启示。一、“课题学习”的目的日本新的中学数学学习指导要领中指出：“为了促进以学生为主体的学习，培养学生的数学观点和思考方法，要设置将各部分内容综合起来的、和日常生活相联系的课题，通过操作、观察、实验、调查等活动进行课题学习，并要把这种课题学习放在各个年级教学计划的适当位置加以实施。”从以上这段文字中可以看出，日本在中学数学课程中设置课题学习的目的是多方面的，但主要目的是：促进以学生为主体的学习活动，培养学生的数学观点和思考方法。教育出版株式会社2001年出版的中学数学教材中的“课题学习”充分体现了这一点。在这套教材中共有18个课题学习的内容，每个课题学习不但给出了要解决的问题，还处处注意启发学生思考，由浅入深地给出了思考问题的方法。如二年级的“点数和面积问题”：课文：在图1中，排列着一些横竖间隔都是1cm的点，是由连接一些点构成的图形，请考察下图中图形，的面积和边上的点、内部的点具有怎样的关系？· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·A· · · · · · ·B· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·图1 · · · · · · · · （1）图1中的、是两个不规则的图形，可能不太容易思考。请求图2中这些规则图形的面积、边上的点、内部的点，并完成下表1。· · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · ·· ·A· · ·B· · ·C· · ·D· · ·E· · ·· · · · · · · · · · · · · · · · ·· · ·图2· · · · · · · · · · · · ·表1 A B C DE边上的点数内部的点数面 积（2）根据图1完成下表2。 A B边上的点数内部的点数面 积由表1和表2很难马上知道图形的面积和边上的点、内部的点之间的关系。为了容易思考，首先着眼于图形内部的点，按着顺序考虑。设图形边上的点数为X，图形的面积为Y，（3）当图形内部有1个点时（如图3），求出图形边上的点数和面积，并完成下表3，找出用X表示Y的关系式； · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · ·A· · ·B· · · ·C· · · ·D· ·图3· · 表3 A B C D边上的点数X面 积Y（4）当图形内部有2个点时，自己画一些图形，象（3）那样列表求出图形边上的点数和面积，归纳出用X表示Y的关系式； （5）当图形内部有3个点时，自己画一些图形，象（3）那样列表求出图形边上的点数和面积，归纳出用X表示Y的关系式； （6）根据前面的考察，当图形内部有N个点时，猜想X与Y的关系式。（7）在（6）中猜想的关系式是否正确？请用（1）和（2）的结果进行验证。（8）自己画一些图形，进行验证。不难看出，从问题到问题，始终注意让学生自己动脑思考，并说明怎样进行思考，使学生学会思考，学会发现问题，学会从特殊到一般、归纳、抽象的思考方法，加深对数学思想方法的理解。在课题解决的过程中，重视通过操作、观察、实验等活动，调动学生学习的主动性，提高学生独立发现问题，主动解决问题的能力。二、“课题学习”的内容日本新的中学数学学习指导要领要求在各个年级的数学教学中，都要恰当地进行课题学习。为了配合“课题学习”的实施，2001年日本出版的中学数学教科书都有课题学习的内容，选择的课题分布在中学数学的数式，图形，数量关系（包括函数和概率）几项内容之中。这些课题有的与现代信息技术有关；有的和数学应用有关；有的和数学的模型化、一般化有关；有的和数学美、数学的优越性、趣味性有关。这说明了课题的设置既考虑到了数学的需要又要考虑到教育的需要。在中学数学这套教材中设置了18个课题，这些课题可分为以下四类：应用性课题、综合性课题、发展性课题、与数学史有关的课题。1 应用性课题应用性课题是和学生的日常生活密切联系的问题。在解决这类问题的过程中，能够使学生体会到学习的愉快，解决问题的成就感和满足感，提高应用数学的意识。如一年级的“交通流量问题”： 右图是某一地区的道路图，箭头表示通行的方向， A B在各岔路口交通流量平分，那么通过A地的车辆数和通过D地的车辆数之间具有什么关系？ （1）如果通过A地是48辆车，那么通过B地、C地、D地各是多少辆？（2）设通过A地的车辆数为x，通过D地的车 C辆数为y，求出x和y之间的关系。（3）自己画一个道路图，若在各岔路口交通流量 平分，请制作一些问题。 图4此外还有三年级的“电话线问题”：准备在一个棒球队内部建立电话联系网，为了使教练的想法准确、快捷地通知给38位队员，该怎样建立电话联系网？要注意（1）如果教练自己分别通知所有队员，教练的负担太重，浪费时间。（2）如果按顺序一个人一个人往下传，最后一个人获得的信息未必正确。日本中学数学教育界十分重视通过这类题目提高学生对数学的关心和兴趣，培养学生对日常事物进行有条理的思考能力，使学生明白用数学处理问题的好处，并培养学生自觉地把数学用于日常生活的态度，以此达到日本数学课程的目标。2 综合性课题综合性课题是综合运用以前学习的知识、技能和方法能够解决的问题。如“3、4阶幻方阵的求法”等，象上面的“点数和面积问题”，为了求图形的面积和边上的点、内部的点之间的关系，必须综合运用以前学过的几何、函数等知识，具有综合解决问题的能力。综合性课题一般是综合运用若干个以前学过的内容和方法才能解决的问题，只利用一个领域或一章学过的内容是不能解决的。通过这样的课题学习，可以使学生体会到数学观点和数学思考方法的益处，培养学生综合运用知识、技能和方法解决问题的能力。3 发展性课题发展性课题是对学过内容的深入探讨。把学生关心的、感兴趣的、想进一步思考的问题作为课题，能够加深对所学内容和方法的理解，促进学生对学习内容的一般化和系统化。如学过了三角形的相似之后，教材出现了下面的课题：线段AB为10cm，在线段AB上取一点C， 图5 使AC=4cm，CB=6cm。分别以AB，AC，CB为直径作半圆（如图5），红线和蓝线哪个长？ A C B （1） 根据上面的结论，在任意线段AB上任取一点C，以AB，AC，CB为一边作等边三角形或正方形（如图6），考察一下红线和蓝线哪个长？ A C B 图6 （2）如图7，图中的有4个相似的五边形请问红线和蓝线哪个长？ 通过上面的考察，能说无论有几个相似的 图7图形，结论都成立吗？ 此外还有“求对角线的条数”“勾股定理的证明方法”“火柴棒的问题”等。4 与数学史有关的课题与数学史有关的课题是一些数学史上的著名问题。如“兰德纸草书上的问题”：将100快面包分给5个孩子，各人得到的面包按着一定的数量增加，于是，获得最少的两孩子的面包数之和是获得最多的三孩子的面包数之和的1/7，问5个孩子各获得多少面包。教材不但给出了用列方程组解决该问题的想法，还介绍了古代埃及人的解法，有关数学史的记载和论述紧扣要解决的问题。通过这类问题使学生理解数学与人类的关系，提高学生对数学的兴趣和关心，给学生以学习数学的动力和信心。综上分析，我们不难体会到日本教材对问题解决及其思考方法的重视。通过这样的课题学习，不但使学生掌握了数学的某些知识，还使学生认识到学习数学的意义，对于培养学生对日常事物进行有条理思考的能力，理解数学的用处等是十分重要。同时，这些课题能活跃学生们的思路，启发学生在课题解决的过程中去寻找条件，尝试探索，发现问题，解决问题，有利于培养以问题解决、探究活动为主的创造能力。一、中日两国初中几何课程内容难度的比较 如第四章第四节所述，我们将利用课程难度系数，对中日两国义务教育阶段几何课程的内容难度进行比较分析。选取的样本是日本1999年的指导要领及相配套的教材中学数学，我国2000年教学大纲及相配套的人教版数学教材和2001年的课程标准及相配套华东版数学教材。根据第四章第二节课程深度、课程广度和课程时间的计算方法，我们确定了日本几何课程、我国新几何课程和旧几何课程的标准知识点和辅助知识点（参考附录11和附录12），并对每个知识点的“深度水平”进行逐一鉴定，然后用公式（4.2）计算出课程深度的加权平均数，结果如表5.1所示。表5.1：中日几何课程内容难度的量化指标难度因素深度水平深度百分比深度加权平均中 国日本中国日本中国日本大纲课标大纲课标大纲课标课程广度17113382课程深度了解34.561.51920.0246.61 23.17 2.481.99 2.23理解30122617.549.0231.70掌握95.5573655.8542.8643.90灵活应用11216.431.501.21课程时间215192114*百分比及加权平均数的计算按四舍五入精确到小数点后两位。这里需要说明的是：课程时间的确定。（1）日本的数学学习指导要领明确地规定了初中数学课程的课时数，每年是105课时，三年则是315课时，其中1课时的时间和我国一样是50分钟。在日本教材中学数学的编写说明中，规定了每章的课时数，三册共18章，讲授时间为252课时，其中，几何内容占6章，课时数为91课时。这样，我们认为日本初中阶段几何课程的课时数为315×91/252114课时。这个结果，和我们按几何内容在中考试卷中所占的比重计算是相符的。在日本的中考试卷中，一般地，几何题分数占总分的35.5%左右（见下节表5.5），这样就意味着，几何内容的学习时间应占总课程时间的35.5%，即315×35.5%112，这个数字比114课时只少了2课时。（2）我国课程标准没有明确规定初中数学课程的课时数，但教育部颁布的义务教育课程设置实验方案规定义务教育阶段的数学课程的课时数应占总课时的13%15%，初中三年的总课时数为3502课时，所以初中数学课程的总课时数在455课时至525课时之间，取其平均值为490课时。在华师版教材的教师用书中81，规定了每章的课时数， 6册教材共28章，总课时数为375课时，其中10章是几何内容，课时数为147课时，因此，我们认为课程标准下的初中几何课程的学习时间是490×147/375192课时。如果我们按几何内容在中考试卷中所占的比重计算的话，在实验区的中考试卷中，几何题分数占总分的39%左右（见下节表5.5），这样，几何内容的学习时间应为490×39%191课时，这个数字比192课时仅少了1课时。（3）我国2000年的教学大纲是在1992年国家教育委员会制订的九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用）的基础上进行修改的，如在“教学目的”中增加了培养学生的创新意识一类要求，并在“教学中应该注意的几个问题”中加以呼应和强调，此外，还增加了“改进教学测试和评估”一段；在“教学内容和教学要求”中，2000年大纲增加了以下“探究性活动”：长方体和它的表面，镶嵌，这些内容成为初中阶段“研究性课程”的有机组成部分；这份大纲还首次认可教学中“要有适度的开放题”，但没有对课程时间进行修改。根据1992年国家教育委员会颁布的义务教育全日制小学、初级中学课程计划的规定82，三年制初级中学数学课程的总课时数为500课时，其中，几何课程的学习的时间是215课时，占总课时数的43%。据此，我们认为教学大纲下的几何课程的学习时间为215课时。另外，关于我国教学大纲中标有“*”的内容。教学大纲的解释是“标有*的内容为选学内容，不属于毕业考试的命题范围，但可作为升学考试的内容。” 由于是升学考试的内容，在中考试题中就会出现。如下面这道吉林省2005年中考试题，就需要用“切割线定理”求解。因此，这部分内容虽说是选学内容，事实上各个学校都是按必修内容处理的，因此，我们将这些知识也算入了教学大纲的知识含量中。题5·1 如图，PA是O的切线，切点为A，割线PCB交O于C、B两点，半径ODBC，垂足为E，AD交PB于点F。(1)求证：PA=PF；(2)若F是PB的中点，CF=1.5，求切线PA的长。（1）证明：PA是O的切线，A为切点。OPA=900FAP+OAD=900ODBC 图1DFE+D=900又OA=ODD=OADDFE=FAP=PFAPA=PF（2）PA是O的切线，PCB是O的割线，PA2=PC·PBF是PB的中点，PB=2PF=2PAD=OADPA2=（PA-CF）·2PA=（PA-1·5）·2PAPA2-3PA=0PA=3下面，我们根据上述统计的数据先对中日两国初中阶段几何课程的难度因素分别进行比较，然后在利用难度系数进行整体的分析。（一）课程广度从表1中可以看到，日本指导要领，我国课程标准和教学大纲及所含有的知识点分别是82个、133个和171个，如图5.1所示。 200 150 100 50 0 教学大纲 课程标准 指导要领 图5.1：中日几何课程广度的比较从图5.1可以看出，在“课程广度”上，我国教学大纲的几何知识含量比课程标准的几何知识含量多38个知识点，是日本几何知识含量的2倍多，我国课程标准比日本指导要领多了50个知识点。从具体知识上看，中日两国几何课程的基本内容是一样的，都包含平行线、三角形、全等三角形、相似三角形、四边形和圆。但在具体内容上，有较大的差别。我国的教学大纲比课程标准多了正多边形与圆、弦切角定理、相交弦定理、切割线定理等内容；而课程标准则增加了三视图、平移和旋转变换等内容。和日本的几何课程相比，我国的课程标准比日本的指导要领多了锐角三角函数、梯形、圆及其性质等内容；然而，在空间图形方面，日本指导要领比我国的教学大纲和课程标准都多了以下内容：确定平面的条件、直线与平面的位置关系、直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定、点到平面的距离、直线与平面平行的定义、两平面的位置关系、两平面垂直的定义、两平面平行的定义、两平面之间的距离、两平行平面与第三个平面相交的交线平行等内容。（二）课程深度统计表明，在我国教学大纲、课程标准和日本的指导要领的几何内容中，属于“了解”水平的知识的分别占20.02%、46.61%和22.89%；属于“理解”水平的知识分别占是17.54%，9.02%和32.50%；属于“掌握”水平的知识分别占55.85%、42.86%和43.34%；属于“灵活应用”水平的知识分别是6.43%、1.50%和1.20%，如图5.2所示。 图5.2：中日几何课程深度的比较从图中可以看到，在“了解”水平上的，日本指导要领中知识点的百分比和我国教学大纲接近，比我国课程标准少了24个百分点；在“理解”水平上，日本指导要领中知识点的百分比我国教学大纲多了5个百分点，比我国课程标准多了13个百分点；在“掌握”水平上，日本指导要领中知识点的百分比和我国课程标准接近，都比我国教学大纲少，少12个百分点；日本指导要领和我国课程标准很少含有“灵活应用”水平的知识，比我国的教学大纲少了5个百分点。另外，日本指导要领、我国教学大纲和课程标准的课程深度加权平均分别为2.23、1.99、2.48。综合起来说明，我国教学大纲最深，其次是日本的指导要领，相对比较，我国的课程标准最浅。其原因是我国课程标准对知识的要求，“了解”层次的多，“理解”层次的少，从而降低了课程的深度；相反地，我国教学大纲对知识的要求，“了解”层次的少，“掌握”层次的多，因此加深了课程的深度。（三）课程难度系数根据表5.1的数据，利用第四章定义的课程难度系数公式（4.1），可计算出中日两国几何课程的难度系数：N（日本）=+（1-）=0.0196+0.7192（1-）=0.7192-0.6996N（课标）=+（1-）=0.0104+0.6927（1-）=0.69270.6823N（大纲）=+（1-）=0.0115+0.7953（1-）=0.79530.7838于是有：N（日本）N（课标）=0.7192-0.6996（0.69270.6823）=0.02650.0173>0.02650.0173=0.0092>0 （1） N（大纲）N（课标）=0.79530.7838（0.69270.6823）=0.10260.1015>0.10260.1015=0.0011>0 （2） 由（1）和（2）说明，我国教学大纲的难度系数和日本指导要领的难度系数都比我国课程标准的难度系数大。由于N（大纲）N（日本）=0.79530.7838（0.7192-0.6996）=0.7610.842若令0.7610.843>0，则0<<0.904这说明，当0<<0.904时，我国教学大纲的难度系数比日本指导要领的难度系数大。由于满足0<<1，它反映了课程对于“可比深度”或者“可比广度”的侧重程度，所以若>0.904，则说明课程太侧重“可比深度”，而正是在这种情况下，日本指导要领的难度系数才比我国教学大纲的难度系数大。在这里需要说明的是：我们在前面规定了“了解、理解、掌握、灵活应用”4个水平的权重分别是“1、2、3、4”。如果，我们规定它们的权重分别为“1、1·5、2、2·5”，则我国教学大纲、我国课程标准和日本指导要领的深度加权平均数分别为1·74、1·50和1·62。此时，中日两国几何课程的难度系数分别为：N（日本）=+（1-）=0.0142+0.7192（1-）=0.7192-0.7050N（课标）=+（1-）=0.0078+0.6927（1-）=0.69270.6849N（大纲）=+（1-）=0.0081+0.7953（1-）=0.79530.7872于是有：N（日本）N（课标）=0.7192-0.7050（0.69270.6849）=0.02650.0201>0.02650.0201=0.0064>0 （3） N（大纲）N（课标）=0.79530.7872（0.69270.6849）=0.10260.1023>0.10260.1023=0.0003>0 （4） N（大纲）N（日本）=0.79530.7872（0.7192-0.7050）=0.7610.822若令0.7610.822>0，则0<<0.926由（3）和（4）说明，我国教学大纲的难度系数和日本指导要领的难度系数都比我国课程标准的难度系数大；当0<<0.926时，我国教学大纲的难度系数比日本指导要领的难度系数大。这说明，无论“了解、理解、掌握、灵活应用”4个水平权重的赋值是“1、2、3、4”还是“1，1·5、2、2·5”，对各国课程难度系数的影响不大，结论不变。综上比较说明，日本几何课程的内容“窄而深”，我国新几何课程的内容“广而浅”，我国旧几何课程的内容则“即广又深”，且课程难度系数最大。日本几何课程的“窄而深”设计模式，体现了21世纪日本数学课程改革的目标，即“精选教学内容，加强基础知识和基本技能的学习，要从为学生今后的学习和生活打基础的原则出发，严格精选教学内容，转变以知识量来衡量学生学力的学力观。”83那么，如何保持几何课程的可比广度和可比深度的平衡？几何课程的平衡点是什么？这是几何课程改革的关键问题，也是需要我们进行深入研究的问题。二、中日两国初中几何课程中习题难度的比较（一）中日两国数学教材中几何题难度的比较从上面中日几何课程内容难度的比较看，中日两国初中阶段几何课程的在课程广度、课程深度和课程时间上，有着较大的区别，反映在课程难度系数上也不一样。那么，一个自然的问题是：这种内容上的差异是否反映在教材的习题中呢？换句话说，中日两国初中数学教材中的几何习题难度是否存在差异？有哪些方面的显著差异？因此，我们对日本教材、我国华师版教材和人教版教材中几何内容与各章习题数量进行了统计，结果如表5.2所示。年人教版（原大纲）华东版（新课标）日 本级内 容题量内 容题量内 容题量一年级第一章 线段 角185第4章 图形的初步认识148第5章 平面图形62第二章 相交线 平行线173第8章 多边形75第6章 空间图形51第9章 轴对称70第11章 平行与旋转58二年级第三章 三角形372第12章 平行四边形58第4章 平行与全等61第四章 四边形244第18章 图形相似89第5章 三角形与四边形、圆71第五章 相似形167第19章 解直角三角形77三年级第六章 解直角三角形165第23章 圆87第5章 相似形57第七章 圆276第24章 图形的全等96第6章 勾股定理56第27章 证明92总复习31合计15648633895.2:中日两国中学教材中几何内容与各章习题数量在统计各章节的题量时，我们采用了以下原则：1、日本教材在习题的编号上是：大题用、编号；小题的编号是（1），（2），（3）。我国华师版教材和人教版教材在习题的编号上是一致的：大题用1、2、3、编号；小题的编号是（1），（2），（3）。我们约定，题量按照小题的个数计算。而在小题的层次上，如果有一题多问的，仍按一题记数。2、这里统计的习题包括中日两国教材中的所有的“例题”、“问”、“问题”、“习题”、“练习题”、“复习题”、“自我测验题”以及以数学问题形式出现的“想一想”、“做一做”、“试一试”和“挑战角”。这些题目所形成的教材习题系统基本上反映了教材对学生的要求，因此，我们可以通过习题系统的综合难度来反映教材的综合深度。从表5.2中可以看到，在中日两国初中教材中，不仅几何内容在各年级的分配有所不同，试题的数量差异较大。其中，日本教材习题的数量最少，其次是华师版教材，人教版教材的习题量最多，大约比华师版教材多一倍，比日本教材多两倍。这说明在训练强度上，人教版教材要高于华师版教材，华师版教材高于日本教材。例如，日本教材、华师版教材和人教版教材都含有“相似形”一章，日本教材这一章的习题总量是57题，华师版教材有89题，而人教版教材这一章习题总量却是167题。因此，如果仅仅从数量上看，在同一课题上的训练强度，人教版教材是华师版教材的两倍，日本教材的三倍。如果说，几何习题的总量可以反映中日两国教材的习题系统在数量上的水平高低，那么，我们希望通过数学题的综合难度去刻画习题系统的质量特征。为此，我们根据第四章表4·2的水平划分，对所取样本中的二年级和三年级教材中的所有几何习题逐一进行了鉴定，并利用公式（4·3）计算每个难度因素的加权平均。其结果如表5.3所示。之所以选择二、三年级教材中的几何习题进行比较，原因是中日两国初中二、三年级的几何内容基本一致，习题也具有了一定的综合性。在习题数量上，日本这两个年级教材的几何题总数为269道，我国华东版教材是499道，人教版是1224道，分别占各自教材几何习题总量的60%左右，具有一定的代表性。表5.3：中日教材几何习题各难度因素的量化指标难度因 素等级水平题 量百 分 比加 权 平 均中国日本中国日本中国日本人教华东人教华东人教华东背景无背景115945226494.6890.5898.141.091.151.04个人生活292212.364.400公共常识292132.364.201.11科学情境7410.011.640探究识记2681716221.9034.2623.041.861.771.84理解87729619371.6559.3171.74应用62795.061.403.34探究172551.385.011.85运算无运算43627211035.6254.5040.891.781.521.69数值计算65519913653.5139.8750.55简单的符号运算9923198.084.1607.06复杂的符号运算34542.771.021.48推理无推理2161033917.6420.6414.492.081.962.07简单推理68231516755.7163.1262.08复杂推理326816326.6316.2323.42知识含量1个知识点2751547522.4630.8627.882.221.992.112个知识点47320910138.6441.8837.543个知识点4071248033.2524.8429.974个以上知识点6912135.632.464.83下面，我们就根据上述统计数据首先对五个难度因素分别进行比较，然后在利用数学题的综合难度模型进行整体分析。1·背景水平统计表明，日本教材、华东版教材和人教版教材中不涉及实际背景的习题分别占98.14%、90.58%和94.68%；与“个人生活”有关的习题分别占0、4.4%和2.36%；属于“职业与公共常识”的题目分别占1.11%、4.2%和2.36%；属于“科学情境”的习题分别为0 、1.64%和0（见下面的图5.3）。图5.3：中日教材中几何题在背景水平上的比较从图中可以看到，日本教材中的几何题基本上属于“纯粹”的数学题；华东版教材与人教版教材相比，几何题在背景水平上有了较大的变化，与学生“个人生活”紧密相关的背景方面和“公共生活”方面比人教版教材的几何题目的百分比都多了2个百分点。在这里有一个值得注意的现象是，虽然目前世界各国都在提倡所谓的“数学应用”、“课题学习”、“研究性学习”、“跨学科综合活动”，但在日本教材的几何习题中，极少出现以“生活情境”“科学情境”为背景的数学题。 看来，如何在数学课程中设置有意义的“生活情境”、“科学情境”是一个需要进一步研究的课题。2· 探究水平统计表明，日本教材、人教版教材和华东版教材中几何题目在“识记”水平上的百分比分别为23.04%、34.26%和21.90%；在“理解”水平上的百分比分别为71.74%、59.31%和71.65%；在“应用”水平上的百分比分别为3.34%、1.40%和5.06%；在“探究”水平上的百分比分别为1.85%、5.01%和1.384%（见下面的图5.4）。图5.4：中日教材中几何题在探究水平上的比较从图中可以看到，日本教材和人教版教材中属于“识记”、“理解”和“探究”水平的几何题的百分比差异不大，只是在“应用”水平上人教版教材比日本教材多了3个百分点；日本教材在“识记”水平上，比华东版教材低了12个百分点，在“理解”水平上高出华东版教材11个百分点；在“应用”水平上高出华东版教材2百分点，而在“探究”水平中，华东版教材则比日本教材多了4个百分点。这说明，日本和我国人教版教材比较重视的是“理解”，而在数学“探究”水平上不如华东版教材。从具体题目上看，日本教材中属于“探究”水平的题目主要出现“挑战角”、“课题学习”中；我国人教版教材中属于“探究”水平的题目主要出现在“想一想”部分和“探究性活动”中，而极少出现在其他章节的“例题”、“练习”、“习题”部分。相比之下，我国华东版教材中属于“探究”水平的题目较为丰富，几乎所有课题都有涉及，其形式除了数学本身的探究活动外