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精品文档高考复习专题：简单的线性规划专题要点简单的线性规划：能从实际问题中抽象出二元一次不等式组。理解二元一次不等式组表示平面的区域，能够准确的画出可行域。能够将实际问题抽象概括为线性规划问题，培养应用线性规划的知识解决 实际问题的能力。线性规划等内容已成为高考的热点，在复习时要给于重视，另外，不等式的证明、繁琐的推理逐渐趋于淡化，在复习时也应是注意。考查主要有三种：一是求给定可行域的最优解；二是求给定可行域的面积；三是给出可行域的最优解，求目标函数(或者可行域)中参数的范围。多以选择填空题形式出现，不排除以解答题形式出现。考纲要求了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；了解线性规划的意义并会简单应用。典例精析线性规划是高考热点之一，考查内容设计最优解，最值，区域面积与形状等，通常通过画可行域，移线，数 形结合等方法解决问题。考点1求给定可行域的最优解 !x y -1例1. ( 2012广东文)已知变量x、y满足约束条件 x_y乞1,则2y的最小值为()x 1 _0A. 3B. 1C. -5D. -6i x -1解析:C.画出可行域，可知当代表直线过点 A时,取到最小值联立,(y = x-1(X 二1 解得，所以z二x 2y的最小值为-5 .y 2x y _ 3例2.(2009天津)设变量x,y满足约束条件：x y启1.则目标函数z=2x+3y2x - y 乞 3的最小值为(A) 6( B) 7( C) 8( D) 23x y 一3解析：画出不等式x - y _ -1表示的可行域，如右图,2x _y 乞 32x zB自目标函数取到最小值，解方程组让目标函数表示直线 y在可行域上平移，知在点33x + y = 3Nx_y =3得(2,1)，所以Zmin =43=7，故选择B.-5z =的取值范围；或者改为求x或者改为求z =x21015z =的取值范围;x 3y2的最大值；或者或者改为求2 2Z = (x +1 ) + y2的最大值。方法思路：解决线性规则问题首先要作出可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结合找出目标函数达到最值时可行域的顶点（或边界上的点），但要注意作图一定要准确,整点问题要验证解决。练习1.（ 2012天津）设变量x, y满足约束条件2x y - 2 _0x 2y + 4X0,则目标函数x 1 兰0z = 3x- 2y的最小值为A.5B. 4C. -23【解析】做出不等式对应的可行域如图 ,由z=3x-2y得y=3x-2D. 31，由图象可知当直线y过点C(0,2)时，直线y = 3 X - Z的截距最大,而此时2 2z = 3x - 2 y 最小为 z = 3x - 2 y - -4 ,选 B.|0< xw 1,练习2.在约束条件i0< y<2, 下，P（x-仃+ 的最小值为 .2y x> 1,解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，注意到二x 1 2+ y2可视为该区域内的-1 1|5.5= 5答案练习3、（2011广东文、理数）已知平面直角坐标系（x, y）为D上的动点，点A的坐标为A、3B、4C、3 :xOy上的区域D由不等式组，虫2给定.若M，则z？".，的最大值为（）D 4:点（x, y）与点（1,0）之间距离，结合图形可知，该距离的最小值等于点（1,0）到直线2y x= 1的距离，即为+z 做出l0： y= -:x,将此直线平行移动，当直线 y= - :x+z经过点z有最大值.4故选解答：解：首先做出可行域，如图所示: z= f ? !-= :打，即 y=-:xA时，直线在y轴上截距最大时，rx+ y> 2,练习4. （2011福建）已知 0是坐标原点，点上的A( 1,1)，若点M(x, y)为平面区域1,一个动点，贝U OA- 0M勺取值范围是（）A. 1,0 B . 0,1 C0,2 D【分析】 由于OA- OMk- x + y，实际上就是在线性约束条件.1,2 x+y> 2, xw 1, .yW2下，求线性目标函数z =x + y的最大值和最小值.，取目标函数 z= x+ y，即y当它经过点 C（1,1）时，z有最小值，即zmin = 1+ 1= 0;当它经过点 B（0,2）时，z有最大值，即 zmax= 0+ 2= 2.yw2 z的取值范围是0,2，即OA 0M勺取值范围是0,2，故选C.考点2:求给定可行域的面积'x王0例3 在平面直角坐标系中，不等式组x 3y _4表示的平面区域的面积为（）3x y _43243A.B.C.D. 一2334答案c精品文档精品文档精品文档考点3:给出最优解求目标函数(或者可行域)中参数例4. (2012广州一模文数)在平面直角坐标系中，若不等式组x y -20,* x - y十20,表示的xW t平面区域的面积为4,则实数t的值为A. 1B. 2答案BC.D. 4练习5. (2009福建卷文)在平面直角坐标系中，若不等式组(:-为常数)所表示的平面区域内的面积等于 2,贝U a的值为A. -5B. 1C. 2D. 3解析解析 如图可得黄色即为满足x -0与x y-1_0的可行域，而(0, 1),故看作直线绕点(0, 1)旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封闭区域，当3a=2时，面积是一；当a=3时，面积恰好为2，故选D.ax - y 1 = 0的直线恒过 a=1时，面积是1;x 2y -19 一0,x -y +8 K0,、2x + y -14 兰 0 c10x+ 2y> 0练习7.设z= x+ y,其中x、y满足x y< 00< yw k练习6.设二元一次不等式组象过区域M的a的取值范围是(A) 1,3(B)2,A.-C. 2解析意义是直线所表示的平面区域为(C) 2,9(D)若z的最大值为M使函数y = ax(a> 0, a* 1)的图10 ,96，则z的最小值为如图所示，作出不等式组所确定的可行域x+ y z= 0在y轴上的截距，由图可知,B. 3D. 2OAB,目标函数的几何当目标函数经过点 A时,|x y= 0,取得最大值，由解得A(k, k),故最大值为z= k+ k= 2k,由题意,ly= k,7Y精品文档x+ 2y= 0,得2k = 6,故k = 3.当目标函数经过点 B时，取得最小值，由解Ly= 3,得B( 6,3)，故最小值为 z= 6+ 3 = 3.故选A.答案 A练习8. (2012课标文)已知正三角形 ABC的顶点A(1,1),B(1,3), 顶点C在第一象限，若点(x, y)在厶ABC( )内部,则z = -x y的取值范围是A. （1-3,2）B. （0,2）C. （ 3-1,2）D.【命题意图】本题主要考查简单线性规划解法，是简单题【解析】有题设知C（1+ ,3 ,2）,作出直线l0： _x 0,平移直线 有图像知，直线I : z- - X 过B点时，Zmax =2,过 时，為山=1 - ；3, z - -x y取值范围为（1- .3,2）,故选A.X y -3_ 0练习9.（ 2012福建文）若直线y =2x上存在点（x, y）满足约束条件 x-2y-3乞0,则实数m的最大值Ix _ m为（ ）3A. -1B. 1C.D. 22【答案】B【解析】xy-3=0与y=2x的交点为（1,2）,所以只有m1才能符合条件,B正确.【考点定位】本题主要考查一元二次不等式表示平面区域，考查分析判断能力.逻辑推理能力和求解能力.X y - 3_ 0练习10. （2012福建理）若函数y=2x图像上存在点（x,y）满足约束条件 x-2y-30,则实数m的Ix _ m最大值为（ ）1 3A -B. 1C. D. 22 2【答案】B【解析】x y -0与y=2x的交点为（1,2）,所以只有m叨才能符合条件,B正确.【考点定位】本题主要考查一元一次不等式组表示平面区域，考查分析判断能力、逻辑推理能力和求解计算能力 考点四：实际应用与大题例5 （2009四川卷理）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨;生产每吨乙产品要用 A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是A. 12万元B. 20万元解析：设甲、乙种两种产品各需生产C. 25万元D. 27万元x、y吨，可使利润z最大，故本题即3x+y <13已知约束条件z = 5x 3y的最大值,2x +3y 兰18，求目标函数x 一0y-0可求出最优解为丿x=3，故Zmax =15+12=27，故选择DoJ =4练习11. （2012四川理）某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克. 每桶甲产品的利润是 300元，每桶乙产品的利润是 400元.公司在生产这两种产品的计划中 ，要求每天 消耗A、B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中 ，公司共 可获得的最大利润是（）A. 1800 元B. 2400 元C. 2800 元D. 3100 元答案C解析设公司每天生产甲种产品X桶，乙种产品Y桶，公司共可获得 利润为Z元/ 天，则由已知，得Z=300X+400YX +2Y <122X +Y <12且X >0Y _0画可行域如图所示，目标函数Z=300X+400Y可变形为Y=-3X 这是随Z变化的一族平行直线4400'2x + y = 12x = 4解方程组丿二丿即A（4,4） Zx + 2y = 12y = 4点评解决线性规划题目的常规步骤：一列（列出约束条件）、二画（画出可行域）、三作（作目标函数变形式的平行线）、四求（求出最优解）.练习12. （2012广州二模文数）甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表所示:食物类型甲乙丙维生素C （单位/ kg）300500300维生素D （单位/ kg）700100300成本（元/ kg ）543某工厂欲将这三种食物混合成100kg的混合食物，设所用食物甲、乙、丙的重量分别为xkg、ykg、zkg.（1）试以x, y表示混合食物的成本 P ;（2） 若混合食物至少需含 35000单位维生素C及40000单位维生素D，问x, y,z取什么值时，混合食 物的成本最少？（本小题主要考查线性规划等知识，考查数据处理能力、运算求解能力和应用意识）_Lx y z = 100,(1) 解：依题意得2分f =5x +4y +3 z.由 x y z =100，得 z=100-x-y，代入 P = 5x 4y 3z ,得 P =300 2x y. 3 分x 0, y _0,z 0,(1)解:依题意知x、y、z要满足的条件为300x 500y 30035000, 6分700x 100y 300z -40000.X AO, y X0,100 x v K 0,把Z=100X y代入方程组得 <9分2x -y 启 50,y >25.如图可行域(阴影部分)的一个顶点为A (37.5,25)10分让目标函数2x + y +300 = P在可行域上移动，由此可知P=300 +2x+y在A (37.5,25)处取得最小值.11分当 x =37.5(kg),y =25(kg),z=37.5(kg)时,混合食物的成本最少/【点评】解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为：、J 2x_y=50(1) 审题一一仔细阅读，明确有哪些限制条件，目标函数是什么？(2) 转化设元.写出约束条件和目标函数；(3) 求解一一关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系；(4) 作答一一就应用题提出的问题作出回答.体现考纲中要求会从实际问题中抽象出二元线性规划.来年需要注意简单的线性规划求最值问题