金融衍生工具计算题

套利案例套利案例 假设现有6个月即期利率为10%，一年期即期率12%，如果有人把今后6个月到1年期的远期利率定位11%，试问这样的市场行情是否产生套利机会？ 套利过程套利过程：1、套利者按10%的利率借入一笔6个月资金1000万元2、签订一份远期利率协议，该协议规定套利者可以按11%利率6个月后从市场借入资金1000 万元（1051万元）；3、按12%的利率贷出一笔一年期的款项金额1000万元4、一年后收回贷款本息1000 （1127万元），并用1051 （ 1110万元）偿还一年期债务后，交易者净赚17万元，即 1127-1110=17（万元） 0.11 0.5e0.12 1e0.100.5e一、二章无收益资产远期协议的定价无收益资产远期协议的定价 所谓无收益资产即为到期日前不产生现金流的资产。所谓无收益资产即为到期日前不产生现金流的资产。 基本思路基本思路：构建两种投资组合，让其终值相等，则其现值一定相等。 组合构建如下： A A组组：一份远期协议多头加上一笔数额为 现金 B B组组：一单位标的资产。在组合A中， 以无风险利率投资，投资期限为(T-t)，在T时刻，其金额为K。（ ).在远期协议到期时，这笔资金刚好可以用来认购一单位标的资产。即这两组合在T时刻具有相同的价值。根据无套利原理，这两组合在t时刻的价值必相等。即式中f为远期协议t时刻的价值，s为标的资产在t时刻价格。()r T tKe()r TtKe()()r Ttr TtKeeK()r T tfKeS结论：无收益资产远期协议的价值等于标的资产现货价格与交割结论：无收益资产远期协议的价值等于标的资产现货价格与交割价格现值的差额。价格现值的差额。远期合约合理价格即为合约初始价值为零的交割价远期合约合理价格即为合约初始价值为零的交割价格，即：格，即： 式中 即为远期协议无套利条件下的理论价格。例例: :假设市场上有以不支付红利的股票为标的的期货合约，合约在三个月后到期。当前股票价格为20元，3个月的无风险利率为4%，那么该合约的合理定价是多少？根据上式有：()r TtFSeF0.04 3/122020.2(Fe元）支付已知现金收益资产远期协议的定价支付已知现金收益资产远期协议的定价 一般方法：一般方法：设标的资产在（设标的资产在（0，T）期限内有）期限内有D的收益，该收益的现的收益，该收益的现值为值为首先构建如下两个组合：首先构建如下两个组合：组合组合A：购买一单位：购买一单位 的标的资产期货合约，并同时购的标的资产期货合约，并同时购买买 无风险资产；即该组合原始投入为无风险资产；即该组合原始投入为组合组合B：在：在0时刻购买一单位价格为时刻购买一单位价格为 的标的资产的标的资产 并且持有，并且持有， 借入的现金借入的现金 并用标的资产收益去偿还。并用标的资产收益去偿还。即该组合原始投入为即该组合原始投入为由于这两组合具有相同的终值由于这两组合具有相同的终值 ，其初始成本相等。，其初始成本相等。 故故 1=rtI DerTF eFSTSSI,()rTrTFeSIFSI e所 以 有 rTFeI例：例：1 1单位股票即期价格为单位股票即期价格为1010元，并且元，并且3 3个月后将有个月后将有1 1元的收益。无风险利率为元的收益。无风险利率为3%3%。那么。那么6 6个月后交割的个月后交割的此股票的合约价格是多少？此股票的合约价格是多少？ 解：据条件可知：0.03 1/40.03 1/2100.99259.15SeerT元；r=0.03; T=1/2;I=1（元）； 即求解 F=?根据公式 F=(S-I)e 得 F=(10-0.9925)（元）转换因子及其计量转换因子及其计量 转换因子：单位国债面值按标准债券率（每半年复利转换因子：单位国债面值按标准债券率（每半年复利一次）贴现到交割月第一天的价值。一次）贴现到交割月第一天的价值。 例：某长期国债息票利率为例：某长期国债息票利率为14%14%，剩余期限还有，剩余期限还有1818年。年。试问相应的转换因子是多少？试问相应的转换因子是多少？363607100163.731.041.04iizz解：设所求转换因子为,根据条件可得：（美元）即符合本题假设条件，面值为100美元长期国债的转换因子应是163.73美元。确定交割最合算的债券确定交割最合算的债券 交割最合算债券即为购买交割债券的成本与空方收到的现金之差最小的那个债券。交割最合算债券即为购买交割债券的成本与空方收到的现金之差最小的那个债券。 一般方法：一般方法：1、计算交割差距、计算交割差距C：C=债券报价债券报价+应计利息应计利息-期货报价期货报价转换因子转换因子+应计利息应计利息=债券报价债券报价-期货报价期货报价转换因子转换因子例：若期货报价为例：若期货报价为93-16，即，即93.50美元，可供空头选择用于交割的美元，可供空头选择用于交割的3种国债的报价和转换因子以种国债的报价和转换因子以及相应交割差距计算结果如下表列示：及相应交割差距计算结果如下表列示： 2、比较，选择交割差距最小者；、比较，选择交割差距最小者； 显然，交割最合算的国债是国债显然，交割最合算的国债是国债2国债报价转换因子交割差距1144.50151.86144.5-93.51.5186=2.51092120.00126.14120-93.51.2614=2.0591399.80103.8099.8-93.51.038=2.747例：设已知某国债期货最合算交割券是息票利率为例：设已知某国债期货最合算交割券是息票利率为14%14%，转换因子为，转换因子为1.36501.3650的国债现的国债现货报价是货报价是118118元，该国债期货的交割日为元，该国债期货的交割日为270270天后。该债券上一次付息是天后。该债券上一次付息是6060天前，下天前，下一次付息是在一次付息是在122122天后，再下一次付息是在天后，再下一次付息是在305305天后，市场任何期限的无风险利率均天后，市场任何期限的无风险利率均为为10%10%（连续复利），那么该国债的理论价格是多少？（连续复利），那么该国债的理论价格是多少？解：解：1、交割券现金价格为：、交割券现金价格为：118+760/182=120.308(美元）；美元）；2、先计算、先计算I.由于期货的有效期内只有一次付息，是在由于期货的有效期内只有一次付息，是在122天（天（0.3342年）后年）后支付支付7美元利息因此利息的现值为：美元利息因此利息的现值为：由于该期货合约的有效期还有由于该期货合约的有效期还有270天（天（0.7397年），那么该交割券期货的理论年），那么该交割券期货的理论上的现金价格为：上的现金价格为：3、计算交割券理论报价。由于交割时，交割券还有、计算交割券理论报价。由于交割时，交割券还有148天（天（270-122）的累）的累计利息，而该付息总天数为计利息，而该付息总天数为183天（天（305-122），故该交割券的理论报价为：），故该交割券的理论报价为： 121.178-7148/183=115.5168（美元）（美元）4、标准债券的期货报价为：、标准债券的期货报价为： 115.1568/1.3650=84.628,或或84-200.3342 0.176.770Ie（美元）0.7397 0.1(120.308-6.770121.178Fe）（美元）支付已知收益率资产远期协议的定价支付已知收益率资产远期协议的定价 首先构建以下两个组合：组合A：一份远期协议多头加上一笔数额为的 现金；组合B： 单位标的资产并且所有收入投资于该资产，其中q为该资产按复利计算的已知收益率。显然，组合A在 时刻的价值等于一单位的证券； 组合B在 时刻正好拥有一单位证券。故，在初始时刻两者的价值也应相等，即有下列等式成立：()rTtK e()()()()()(),0r Ttq Ttq Ttr TtrqTtfKeSefSeKeffFSe即为远期协议多头价值 由 ， 可得我们所需要的定价解析式： TT()q Tte已知收益率资产远期或期货合约定价方法的应用已知收益率资产远期或期货合约定价方法的应用 应用一：外汇远期或期货的定价应用一：外汇远期或期货的定价外汇属于支付已知收益率的资产，其收益率可认定是外汇发外汇属于支付已知收益率的资产，其收益率可认定是外汇发行国连续复利的无风险利率。由公式：行国连续复利的无风险利率。由公式： 上述公式即为国际金融领域著名的利率平价关系上述公式即为国际金融领域著名的利率平价关系 利差决定汇差。利差决定汇差。 ()(),r q T tFSeq其中的 可认定为外汇发行国无风险利率。显然有以下结论：若rq, 外汇的远期或期货价格价格大于或等于现汇价格若rq, 外汇的远期或期货价格小于现汇价格 指数期货定价案例指数期货定价案例 假设2007年3月1日，标准普尔股票价格指数价格是3000美元，连续红利收益率为3.5%，无风险利率为8%，那么这时一份6个月到期的股指期货的价格是多少？解：连续红利收益率可以理解为股指对应的投资组合在相应期限内的已知收益率。那么由定价公式得： (8% 3.5%)(8/12 2/12)30003068.27Fe（美元）注：时间是3月1日至9月1日，即T-t可以理解为8/12-2/12.即期利率与远期利率的关系即期利率与远期利率的关系 由无套利定价原理可得下列公式：1121()()()1111212111,r)1()()()()()r TTrTtr TteeeTT rTr Ttr TTr Ttr Ttr TtTT211（ ）其中，为(t,T)时间段内的即期利率，为（t,时间段内的即期利率，r即为所求解的远期利率。由公式（ ）可得：(2)由公式（2）整理可得：r(3)例：假设例：假设2 2年即期利率为年即期利率为10.5%,310.5%,3年即期利率为年即期利率为11%11%，本金为，本金为100100万万元元2 2年年3 3年远期利率协议的合同利率为年远期利率协议的合同利率为11%11%，请问该远期利率协，请问该远期利率协议的价值和理论上的合约利率是多少？议的价值和理论上的合约利率是多少？ 解：设所求利率为 ,由即期利率与远期理论价格关系式 得： =(0.1130.1052)/(3 2)=12.0%11()()()0.105 (2 0)(0.11 0.12)(3 2)(1)100(1)8065.31krrTTr TtfAeefee根据公式 得： （元）故该远期利率协议多头的价值是8065.31元1r1r211()()rTtr TtTT1r首先，达成互换可能性分析首先，达成互换可能性分析第三章其次，操作过程与各自所承担的利率水平其次，操作过程与各自所承担的利率水平再次，金融机构介入下的互换效益瓜分再次，金融机构介入下的互换效益瓜分浮动利率债券价值的确定：浮动利率债券价值的确定： 设一年期浮动利率债券，利息以LIBOR按季度来支付，假设每季度有90天，债券面值为1元。在0时刻90天期的LIBOR利率记为 ，90天之后，90天期的LIBOR利率记为 ， 分别是180天和270天之后的90天期的LIBOR利率。当然，只有 在一开始是知道的。 债券到期日的支付额，即第360天所得到的支付，其值为本金加最后90天按 所计的利息之和。 现在回到第270天来计算将来得到支付额的现值。我们将 用一个适当的贴现率即 来贴现，显然可得： 即，该浮动利率债券在第270天价值等于其面值。继续上面的步骤直到0时刻，可以看到浮动利率债券的价值在任意一个支付日以及初始日期都等于其面值。结论：1、如果息票率相对于LIBOR没有溢价，那么上述结果永远成立； 2、浮动利率债券可以设计成使其价值等于或接近于其面值。0(90)l90(90)l1 8 02 7 0(9 0 )(9 0 )ll和0(90)l270(90)l2 7 09 01( 9 0 )3 6 0l270(90)l270270901+(90)360270=1901+(90)360ll在第天时的债券现值例：假设某金融机构同一支付例：假设某金融机构同一支付6 6个月期个月期LIBORLIBOR，每年收取，每年收取8%8%（半年复利）的利息，名义本金为（半年复利）的利息，名义本金为100100亿美元。该互换还有亿美元。该互换还有1.251.25年时间到期。按连续复利计算的年时间到期。按连续复利计算的3 3个月期、个月期、6 6个月期及个月期及1515个月期的相关贴现率分别为个月期的相关贴现率分别为10%10%、10.5%10.5%和和11%11%。上一支付日。上一支付日6 6个月期的个月期的LIBORLIBOR为为10.2%10.2%，试问该互换的价值是多少？，试问该互换的价值是多少？ 解：*31.25 0.1110.1 0.250.105 0.750.11 1.250.1 0.254,5.14410498.24(100 5.1)102.5198.24 102.514.27i irtfixifixflfixflKKBKeLeBeeeBeBB根据已知条件可得亿美元亿美元，且有，故有（亿美元）（亿美元），因此，该互换价值为：（亿美元）运用远期利率协议对利率互换定价运用远期利率协议对利率互换定价 即将互换的价值视为一系列远期利率协议价值的贴现值之和。即只要知道组成利率互换的每笔远期利率的价值，便可计算出利率互换的价值。承接上例，前三个月现金流为8%的利率与10.2%的利率互换，对金融机构而言，交换价值为：0.1 0.250.105 0.750.5 1000.8-1.021.07911.04%90.5 1000.8-11.041.411512.102%-ee（）（亿美元）对于 个月期的交换价值，半年复利的利率为。因此，个月期的远期利率协议的价值为：（）（亿美元）同理，对于 个月期的交换价值，由于其半年复利利率为，相应的远期利率协议的价值为1.79亿美元，故其利率交换价值为：-1.07-1.41-1.79=-4.27(亿美元）请思考例题中的远期利率是如何求解的？说明：年利息率与年复利利率的关系说明：年利息率与年复利利率的关系 设 因此，根据上例条件：/(1)1(1)ccccmR nRnmmRmmmARRnAeARReRmRm e如果本金为 ，年存款利率为 ，年复利利率为，存续 年，则应由下列等式成立： 或者 若可分 次计息，则有 例：假设在美国和日本例：假设在美国和日本LIBORLIBOR利率的期限结构是水平的，在日本是利率的期限结构是水平的，在日本是4%4%而而在美国是在美国是9%9%（均是连续复利）。某一金融机构在一笔货币互换中每年收（均是连续复利）。某一金融机构在一笔货币互换中每年收入日元，利率为入日元，利率为5%5%，同时付出美元，利率为，同时付出美元，利率为8%8%。两种货币本金分别为。两种货币本金分别为10001000万美元和万美元和120000120000万日元。这笔互换还有万日元。这笔互换还有3 3年期限，即期汇率为年期限，即期汇率为1 1美元美元=110=110日元日元. .如果以美元为本币，其互换价值是多少？如果以美元为本币，其互换价值是多少？解：0.09 10.09 20.09 30.04 10.04 20.04 380801080964.4()60006000126000123055()1123055964.4154.3()110DFHBeeeBeeeV根据条件可得：万美元万日元故对收入日元支出美元一方其互换价值为：万美元显然，对支付日元收入美元一方其互换价值则为-154.3万美元。货币互换的定价货币互换的定价运用远期组合方法定价 货币互换中每一次支付都可以用一笔远期外汇协议的现金流来代替。因此货币互换定价问题可转换为分解货币互换中每一次支付都可以用一笔远期外汇协议的现金流来代替。因此货币互换定价问题可转换为分解出来的每笔远期外汇协议的价值计量问题。出来的每笔远期外汇协议的价值计量问题。 根据上例条件，即期汇率根据上例条件，即期汇率1美元美元=110日元，或日元，或1日元日元=0.009091美元。美元。) ()( 0 . 0 90 . 0 4 )1( 0 . 0 90 . 0 4 )2( 0 . 0 90 . 0 4 )30 . 0 911230 . 0 0 9 0 9 10 . 0 0 9 5 5 70 . 0 0 9 0 9 10 . 0 1 0 0 4 70 . 0 0 9 0 9 10 . 0 1 0 5 6 2( 8 06 0 0 00 . 0 0 9 5 5 7 )2 0 . 7 1 ()( 8 06 0 0 00 . 0 1 0 0 4frrTtFS eeeee根据， 年期、 年期、 年期的远期汇率分别为：对应的三份远期协议的价值分别为：万美元0 . 0 920 . 0 930 . 0 937 )1 6 . 4 7 ()( 8 06 0 0 00 . 0 1 0 5 6 2 )1 2 . 6 9 ()(1 0 0 01 2 0 0 0 00 . 0 1 0 5 6 2 )2 0 1 . 4 6 ()2 0 . 7 1 + 1 6 . 4 7 + 1 2 . 6 9 +=eee万美元万美元最终的本金交换等价的远期合约的价值为：万美元该笔收美元付日元一方互换价值为：（- 2 0 1 . 4 6 ）- 1 5 4 . 3 ( 万美元）故与运用债券组合方法定价结果一致。宝洁与信孚的两份利率互换协议宝洁与信孚的两份利率互换协议 1993年年10月宝洁与信孚商议希望能够达成具有杠杆效应的利率互换协议替代即将到期的普通标准互换。月宝洁与信孚商议希望能够达成具有杠杆效应的利率互换协议替代即将到期的普通标准互换。 第一份为美元计价的利率互换合约第一份为美元计价的利率互换合约：1993年年11月月2日双方签署了日双方签署了5年期的利率互换，此互换半年结算，名义本金年期的利率互换，此互换半年结算，名义本金2亿美元，信孚亿美元，信孚同意支付同意支付5.3%年利率，宝洁向其支付的利率为年利率，宝洁向其支付的利率为30天商业票据利率的日平均利率减去天商业票据利率的日平均利率减去75个基点再加上一个利差。利差是基于个基点再加上一个利差。利差是基于5年年期美国国债的收益率和期美国国债的收益率和30年美国国债价格的函数。即年美国国债价格的函数。即 第二份为德国马克计价的利率互换合约：第二份为德国马克计价的利率互换合约：1994年年2月月14日签订。期限为日签订。期限为4.75年（年（1994.1.161998.10.16），合约名义价值为），合约名义价值为DM162800000马克马克（约（约9300万美元）。信孚同意向宝洁支付德国马克万美元）。信孚同意向宝洁支付德国马克2年的固定期限利率，加上年的固定期限利率，加上233个基点的期权费。宝洁同意向信孚支付德国马克个基点的期权费。宝洁同意向信孚支付德国马克2年期的互换利率，加上年期的互换利率，加上133个基点期权费。该条款在个基点期权费。该条款在1995.10月以后调整为信孚支付德国马克月以后调整为信孚支付德国马克3个月个月LIBOR加上加上233个基点，宝洁向其支付德国马克个基点，宝洁向其支付德国马克3个月个月LIBOR加上利差。加上利差。设定利率设定利率r的联姻区间的联姻区间a,b,若若rb,利差为利差为0，若，若rb,则利差为则利差为10（r-a)。30=100Max年期国债收益率期美国国债价格利差