随机事件分布列

菁优网2014年3月的高中数学组卷一解答题（共9小题）1（2014咸阳一模）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时（）求甲乙两人所付的租车费用相同的概率（）设甲乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列及数学期望E2（2013辽宁）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答（I）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（II）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望3（2012重庆）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响（） 求甲获胜的概率；（） 求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望4（2011琼海一模）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核（）求从甲、乙两组各抽取的人数；（）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（）记表示抽取的3名工人中男工人数，求的数学期望5 （2010天津）某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响（）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率（）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标另外2次未击中目标的概率；（）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列6从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到频率分布直方图如下：（）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；（）以上述样本的频率作为概率，从该校高三学生中有放回地抽取3人，记抽到的学生成绩不低于90分的人数为X；求X的分布列和期望7某市统计局就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在1000，1500），（单位：元）（）估计居民月收入在1500，2000）的概率；（）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；（）若将频率视为概率，从本地随机抽取3位居民（看做有放回的抽样），求月收入在1500，2000）的居民数X的分布列8（2013烟台二模）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生5女生10合计50已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为（1）请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）；（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为，求的分布列与期望下面的临界值表供参考：P（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）9某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随即在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量值落在（495，510的产品为合格品，否则为不合格品图1是甲流水线样本的频率分布直方图，表1是乙流水线样本频数分布表（1）若以频率作为概率，试估计从甲流水线上任取5件产品，求其中合格品的件数X的数学期望；（2）从乙流水线样本的不合格品中任意取2件，求其中超过合格品重量的件数Y的分布列；（3）由以上统计数据完成下面2×2列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”甲流水线乙流水线 合计合格品a=b=不合格品c=d=合计n=P（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附：下面的临界值表供参考：（参考公式：，其中n=a+b+c+d）2014年3月张志营的高中数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共9小题）1（2014咸阳一模）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时（）求甲乙两人所付的租车费用相同的概率（）设甲乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列及数学期望E考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式1061567专题：计算题；应用题分析：（）首先求出两个人租车时间超过三小时的概率，甲乙两人所付的租车费用相同即租车时间相同：都不超过两小时、都在两小时以上且不超过三小时和都超过三小时三类求解即可（）随机变量的所有取值为0，2，4，6，8，由独立事件的概率分别求概率，列出分布列，再由期望的公式求期望即可解答：解：（）甲乙两人租车时间超过三小时的概率分别为：，甲乙两人所付的租车费用相同的概率p=（）随机变量的所有取值为0，2，4，6，8P（=0）=P（=2）=P（=4）=P（=6）=P（=8）=数学期望E=点评：本题考查独立事件、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查利用所学知识解决问题的能力2（2013辽宁）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答（I）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（II）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差1061567专题：计算题；概率与统计分析：（I）从10道试题中取出3个的所有可能结果数有，张同学至少取到1道乙类题的对立事件是：张同学取到的全为甲类题，代入古典概率的求解公式即可求解（II）先判断随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值解答：解：（I）设事件A=“张同学至少取到1道乙类题”则=张同学至少取到的全为甲类题P（A）=1P（）=1=（II）X的所有可能取值为0，1，2，3P （X=0）=P（X=1）=P（X=2）=+=P（X=3）=X的分布列为 X0123PEX=点评：本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力3（2012重庆）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响（） 求甲获胜的概率；（） 求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列1061567专题：计算题分析：设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P（Ak）=，P（Bk）=（k=1，2，3）（） 记“甲获胜”为事件C，则P（C）=P（A1）+P（）+P（），利用互斥事件的概率公式即可求解；（） 投篮结束时甲的投篮次数的可能值为1，2，3，求出相应的概率，即可得到的分布列与期望解答：解：设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P（Ak）=，P（Bk）=（k=1，2，3）（） 记“甲获胜”为事件C，则P（C）=P（A1）+P（）+P（）=×+=；（） 投篮结束时甲的投篮次数的可能值为1，2，3P（=1）=P（A1）+P（）=P（=2）=P（）+P（）=P（=3）=P（）=的分布列为 1 2 3 P期望E=1×+2×+3×=点评：本题考查互斥事件概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是确定变量的取值，理解变量取值的含义，属于中档题4（2011琼海一模）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核（）求从甲、乙两组各抽取的人数；（）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（）记表示抽取的3名工人中男工人数，求的数学期望考点：离散型随机变量及其分布列；分层抽样方法；离散型随机变量的期望与方差1061567专题：计算题；分析法分析：（I）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可另外要注意此分层抽样与性别无关（II）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难直接在男工里面抽取一人，在女工里面抽取一人，除以在总的里面抽取2人的种数即可得到答案（III）求的数学期望因为的可能取值为0，1，2，3分别求出每个取值的概率，然后根据期望公式求得结果即可得到答案解答：解：（I）因为甲组有10名工人，乙组有5名工人，从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，根据分层抽样的原理可直接得到，在甲中抽取2名，乙中抽取1名（II）因为由上问求得；在甲中抽取2名工人，故从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率（III）的可能取值为0，1，2，3，故E=点评：本题较常规，比08年的概率统计题要容易在计算P（=2）时，采用求反面的方法，用直接法也可，但较繁琐考生应增强灵活变通的能力5（2010天津）某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响（）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率（）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标另外2次未击中目标的概率；（）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率1061567专题：计算题；应用题分析：（I）由题意知每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响，设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则X利用二项分布的概率公式得到结果，（II）有3次连续击中目标另外2次未击中目标包括三种情况，即连续的三次射击在第一位，在第二位，在第三位，这三种情况是互斥的，根据独立重复试验和互斥事件的概率公式得到结果（III）为射手射击3次后的总的分数，由题意知的所有可能取值为0，1，2，3，6，结合变量对应的事件，写出变量的概率，写出分布列解答：解：（1）每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则X在5次射击中，恰有2次击中目标的概率（）设“第i次射击击中目标”为事件Ai（i=1，2，3，4，5）；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A，则=（）由题意可知，的所有可能取值为0，1，2，3，6=P（=6）=P（A1A2A3）=的分布列是点评：本题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力6从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到频率分布直方图如下：（）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；（）以上述样本的频率作为概率，从该校高三学生中有放回地抽取3人，记抽到的学生成绩不低于90分的人数为X；求X的分布列和期望考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图1061567专题：概率与统计分析：（）由题意及频率分布直方图及平均数的定义即可求估计本次考试的平均分；（）抽到的学生成绩不低于90分的人数X的取值可能为0，1，2，3，然后求出每个学生成绩低于90分的概率和不低于90分的概率，再分别求出X=0，1，2，3时的概率，列出分布列，最后利用数学期望的公式解之即可解答：解：（）由频率分布直方图，得该校高三学生本次数学考试的平均分为平均分为：=40×0.1+60×0.15+80×0.15+100×0.3+120×0.25+140×0.05=92（）抽到的学生成绩不低于90分的人数X的取值可能为0，1，2，3因为以上述样本的频率作为概率所以每个学生成绩低于90分的概率为（0.005+0.0075+0.0075）×20=，不低于90分的概率为P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=分布列如下 X 0 1 2 3 PE（X）=0×+1×+2×+3×=X的期望为点评：本题考查频率分布直方图的应用，概率的求法，离散型随机变量的期望与方差，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题7某市统计局就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在1000，1500），（单位：元）（）估计居民月收入在1500，2000）的概率；（）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；（）若将频率视为概率，从本地随机抽取3位居民（看做有放回的抽样），求月收入在1500，2000）的居民数X的分布列考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式1061567专题：概率与统计分析：（）根据直方图，可得居民月收入在1500，2000）的概率；（）根据频率分布直方图知，中位数在2000，2500），由此可算出样本数据的中位数；（）由题意知，XB（3，0.3），求出相应的概率，可得X的分布列解答：（）由题意，居民月收入在1500，2000）的概率约为1（0.0002+0.0001+0.0003+0.0005×2）×500=10.0016×500=10.8=0.2（）由频率分布直方图知，中位数在2000，2500），设中位数为x，则0.0002×500+0.2+0.0005（x2000）=0.5，解得x=2400（）居民月收入在1000，2000）的概率为0.0002×500+0.2=0.3，由题意知，XB（3，0.3），因此，P（X=0）=0.343，P（X=1）=0.441，P（X=2）=0.189，P（X=3）=0.027故随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.3430.441 0.189 0.027 点评：本题考查频率分布直方图，考查中位数的计算，考查随机变量X的分布列，考查学生的计算能力，属于中档题8（2013烟台二模）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生5女生10合计50已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为（1）请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）；（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为，求的分布列与期望下面的临界值表供参考：P（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）考点：独立性检验的应用；等可能事件的概率；离散型随机变量的期望与方差1061567专题：图表型分析：（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率，做出喜爱打篮球的人数，进而做出男生的人数，填好表格（2）根据所给的公式，代入数据求出临界值，把求得的结果同临界值表进行比较，看出有多大的把握说明打篮球和性别有关系（3）喜爱打篮球的女生人数的可能取值为0，1，2，通过列举得到事件数，分别计算出它们的概率，最后利用列出分布列，求出期望即可解答：解：（1）列联表补充如下：（3分）喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生20525女生101525合计302050（2）K2=8.3337.879（5分）在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关（6分）（3）喜爱打篮球的女生人数的可能取值为0，1，2（7分）其概率分别为P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=（10分）故的分布列为：012P（11分）的期望值为：E=0×+1×+2×=（12分）点评：本题是一个统计综合题，包含独立性检验、离散型随机变量的期望与方差和概率，本题通过创设情境激发学生学习数学的情感，帮助培养其严谨治学的态度9某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随即在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量值落在（495，510的产品为合格品，否则为不合格品图1是甲流水线样本的频率分布直方图，表1是乙流水线样本频数分布表（1）若以频率作为概率，试估计从甲流水线上任取5件产品，求其中合格品的件数X的数学期望；（2）从乙流水线样本的不合格品中任意取2件，求其中超过合格品重量的件数Y的分布列；（3）由以上统计数据完成下面2×2列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”甲流水线乙流水线 合计合格品a=b=不合格品c=d=合计n=P（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附：下面的临界值表供参考：（参考公式：，其中n=a+b+c+d）考点：独立性检验的应用1061567专题：计算题分析：（1）根据所给的每一组的频数和样本容量做出每一组的频率，在平面直角坐标系中做出频率分步直方图（2）根据所给的以样本中的合格品数，除以样本容量做出合格品的频率，可估计从乙流水线上任取一件产品该产品为合格品的概率，得到变量符合二项分布，做出概率（3）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，得到有90%的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关解答：解：（1）由图1知，甲样本中合格品数为（0.06+0.09+0.03）×5×40=36，故合格品的频率为，据此可估计从甲流水线上任取一件产品该产品为合格品的概率P=0.9，则X（5，0.9），EX=4.5（4分）（2）由表1知乙流水线样本中不合格品共10个，超过合格品重量的有4件；则Y的取值为0，1，2；且，于是有：Y的分布列为Y012P（10分）甲流水线 乙流水线 合计合格品a=36b=3066不合格品c=4d=1014合计4040n=80（3）2×2列联表如下：=2.706有90%的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关（14分）点评：本题考查频率分步直方图，考查列联表，观测值的求法，是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关©2010-2014 菁优网