数列公式汇总

人教版数学必修五第二章数列重难点解析第二早课文目录21数列的概念与简单表示法22等差数列23等差数列的前 n 项和24等比数列25等比数列前 n 项和【重点】1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。4、等差数列 n 项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。6、 等比数列的前 n 项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式【难点】1、根据数列的前n项观察、归纳数列的一个通项公式。2、理解递推公式与通项公式的关系。3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。4、灵活应用等差数列前 n 项公式解决一些简单的有关问题。5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。一、数列的概念与简单表示法1.数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做 数列注意：数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么 它们就是不同的数列；定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项各项依次叫做这个数列的第1 项(或首项)，第2 项，第 n 项，.3数列的一般形式：aa2, a3,an，或简记为其中an是数列的第 n 项4.数列的通项公式：如果数列、an的第 n 项an与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式 就叫做这个数列的通项公式 注意：并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列；一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1, 0, 1, 0, 1 , 0,它的通项公式可以是1+(-1)n4tn+1an，也可以是an=|cos|2 2数列通项公式的作用：求数列中任意一项；检验某数是否是该数列中的一项数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可 求出数列的每一项.5.数列与函数的关系：数列可以看成以正整数集N (或它的有限子集1 , 2, 3,，n)为定义域的函数an= f(n)，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)(i=1、2、3、4)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、f、f(3)、f(4)，f(n)，6 数列的分类：1)根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列例如数列 1, 2, 3, 4, 5, 6。是有穷数列无穷数列：项数无限的数列例如数列 1, 2, 3, 4, 5 , 6是无穷数列2 )根据数列项的大小分：递增数列：从第 2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列。递减数列：从第 2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列。常数数列：各项相等的数列。摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列7 .数列的表示方法(1) 通项公式法如果数列況:的第 n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的 通项公式。如数列 I的通项公式为 X丹；1 田尸刃:1,卜的通项公式为 仃 1(让，心;(2) 图象法启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形具体方法是以项数标，即以 亠，为坐标在平面直角坐标系中做出点(以前面提到的数列为例，做出一个数列的图象)，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在-轴的右侧,而点的个数取决于数列的项数从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.(3) 递推公式法 ”如果已知数列an，的第 1 项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an/(或前 n 项)间的关系可 以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。递推公式也是给出数列的一种方法。如下数字排列的一个数列：3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55, 89为横坐标，相应的项5 为纵坐递推公式为：a1=3,a2=5,an= an4，anj(3二n二8)4、列表法a 曲角厂也厂.简记为綽.典型例题：解:二、等差数列1 等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示)。.公差 d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；.对于数列an,若anan/=d (与 n 无关的数或字母)，n2, n，则此数列是等差数列， d 为公差。2 .等差数列的通项公式：an= a1- (n - 1)d【或an= am (n - m)d】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列On，的首项是a1，公差是 d,则据其定义可得：a?- a0, d0,且an d0，求得 n 的值+当an0，前 n 项和有最小值.可由an 0，求得 n 的值+(2)利用Sn:-J由Sn r n21 - )n利用二次函数配方法求得最值时n 的值2 2典型例题：例 2：等差数列一 10, 6, - 2, 2,. 前 9 项的和多少？解：例 3：等差数列前 10 项的和为 140,其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第 6 项.解例 6：已知等差数列an中，S3=21, S6=64,求数列 |an| 的前 n 项和 Tn.例 7：在等差数列an中，已知 a6 + ag+ a2 + a5= 34,求前 20 项之和.例 8 已知等差数列an的公差是正数，且 a3 a7= 12, a4+ a6= 4，求它的前 20 项的和 S20的值.即an=Si(n =1)SnSn A(n-2)例 9：等差数列an、bn的前 n 项和分别为 Sn和 Tn,若Sn2n，则亟等于b100Tn3n 11992992B -3200 D 301分析该题是将 亟与蛍込发生联系，可用等差数列的前 n 项b100Tn3nH和公式 Sn=n(a1 +an)把前 n 项和的值与项的值进行联系.n2例 10：解答下列各题：(1) 已知：等差数列an中 a2= 3, a6=- 17,求 a9;(2) 在 19 与 89 中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和 为1350,求这几个数；(3) 已知：等差数列an中，a4 + a6 + a5+玄仃玄仃=50,求 S20；(4) 已知：等差数列an中，an=33-3n,求 Sn的最大值.四、等比数列1.等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(0), 即: -=q(0)an一1 “从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)an成等比数列an+/c、=q(n N,q 0)2 隐含：任一项an= 0 且 q = 0“an工 0 ”是数列an成等比数列的必要非充分条件.3 q= 1 时，an为常数。2等比数列的通项公式 1：an= a1qnl(a1q 0)由等比数列的定义，有：a2=aiq；a3二a?q十丽二ae；a4=a3q =(aiq2)q二ag3；n ian二anN二aiq他q = 0)3等比数列的通项公式 2：an= amqmJ(a1q 0)4 既是等差又是等比数列的数列：非零常数列5 等比数列与指数函数的关系：等比数列an的通项公式aa1qn J(a1q 0),它的图象是分布在曲线y二旦qx(q0)上q的一些孤立的点。当a10, q 1 时，等比数列an是递增数列；当a1：0 ,0 : q：1，等比数列a.是递增数列；当a10,0 : q：1 时，等比数列a.是递减数列；当a1=0, q 1 时，等比数列an是递减数列；当q 1,a10 或 0q1,a11,a10,或 0q0时,an是递减数列；当 q=1 时,an是常数列；当 q0,则 Iga1,lga2,lga3成等差注(1)an成等比-lg an成等差(2)an成等差：二aan成等比典型例题：例1：求和：丨； I1: I- :丁1解:等差数列等比数列一般地,如果一个数列从第 2 项起，每一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项疋一项与它的前一项的差等于冋一个常数，那与它的前一项的比等于冋一个常数，那么这个数么这个数列就叫做等差数列 . 这个常数叫公列就叫等比数列. 这个常数叫公比.义差.递an寺_an =a2 _a1(nN*)an卅a2(n N*)*ana1an卅 一an =d(nEN)推 关an4t _an =an-务4益円an(q式0, n N*)系(n 2,n N*)时an(n 2, n壬N*)anan4通an=印+(n - 1)d(N N*)anV(N*)项an= pn +q(p,q 为常数，n乏N*)an = p qn公*(p,q是常数，q0, p式0,nN)式a qnqn阳2(仁q)求 和公 式2Sn=门(印+an)(n = N*)5 a“q =11Sn = 3 (1_qn)(n- - 狞 1 1-qFn a!,q = 1*Sn = n(n = N，A-Aq ,q 1* N )AHO)2Sn= na；+n(n_ d(n23Sn= An2+ Bn(A, B 是常数,n e*N)*N)若 p+q=s+r, p 、 q、 s、 r N*,贝H若 p+q=s+r, p 、 q、 s、 r N*,则ap *aq =asapaq =asar主对任意 cO,c 式 1,can为等比数列对任意 c0,cH1,若邱恒大于 0，则logcan*an屮+an1=2an,nN ,n 2 .为等差数列.要2若an、 分别为两等差数列， 则an卅an=an,nN：nK2.an+bn为等差数列.若a,、bj 为两等比数列，则右nS为等若bn为正项等差自然数列， 则a为比数列.性等差数列.若bn为正项等差自然数列，则abn为等比Sn,S2n Sn,S3n S2n,为等差数列.数列.质Sn,S2n- Sn,S3n- S2n,为等比数列.