圆的方程-阳光学习网课件

问题问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？具有什么性质的点的轨迹称为圆？平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆.问题问题2：图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？ 圆心圆心C是定点，圆周上的点是定点，圆周上的点M是是动点，它们到圆心距离等于定长动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小的位置和大小问题问题3：求曲线的方程的一般步骤求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可是什么？其中哪几个步骤必不可少？少？（1）建立适当的坐标系，用有序实数对）建立适当的坐标系，用有序实数对 (x,y)表表示曲线上任意一点示曲线上任意一点M的坐标；的坐标；（2）写出适合条件）写出适合条件 p(M)；（3）用坐标翻译条件）用坐标翻译条件p(M)，列出方程，列出方程f(x,y)=0； （4）化简方程）化简方程f(x,y)=0； （5）证明化简后的方程为所求曲线的方程）证明化简后的方程为所求曲线的方程 其中步骤其中步骤(1)(3)(4)必不可少必不可少用求曲线方程的一般方法来建立圆的标准方程：用求曲线方程的一般方法来建立圆的标准方程：( , )C a br求圆心是，半径是 的圆的方程。解：设解：设M(x,y)是圆上任意一点，是圆上任意一点，xyOrM据圆的定义有据圆的定义有 |MC|=rC由距离公式，得由距离公式，得22xaybr两边平方，得两边平方，得222x ay br说明：说明：1.特点：明确给出了特点：明确给出了圆心圆心和和半径半径；2.确定圆的方程必须具备确定圆的方程必须具备三个三个独立的条件。独立的条件。练习练习 1.写出下列各圆的方程：写出下列各圆的方程： （1）圆心在圆点，半径是）圆心在圆点，半径是3；（3）经过点）经过点P(5,1)，圆心在点，圆心在点C(8,-3)229xy22345xy（2）圆心在点）圆心在点C(3,4)，半径是，半径是 ；5228325xy练习练习2.写出下列各圆的圆心坐标和半径写出下列各圆的圆心坐标和半径（1）2216xy ；（2）22129xy ；（3）222.xaya1,06（-1，2） 3,0|aa例例1.求以求以C(1,3)为圆心，并且和直线为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。相切的圆的方程。解：因圆解：因圆C和直线和直线3x-4y-7=0相切，相切，所以圆心到直线的距离等于半径所以圆心到直线的距离等于半径r，CxyOr223 14371653( 4)r 因此，所求的圆的方程是因此，所求的圆的方程是222561325xy练习练习3.已知一个圆的圆心在原点，并与直线已知一个圆的圆心在原点，并与直线4x+3y-70=0相切，求圆的方程。相切，求圆的方程。22196xy例例2.已知圆的方程是已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点，求经过圆上一点M(x0,y0) 的切线的方程。的切线的方程。分析分析(一一)：设切线斜率为：设切线斜率为k，OM斜率为斜率为k1，则：，则：0101xkkky 即所以切线方程为：所以切线方程为： x0 x+y0y=r2xOMyP分析分析(二二)：设：设P为为切线上任意一切线上任意一点，点，则则OMMP，所以：，所以：0OM MP (x0，y0)(x-x0，y-y0)=0所以切线方程为：所以切线方程为：x0 x+y0y=r2.当当M在坐标轴上时，上面方程仍适用。在坐标轴上时，上面方程仍适用。P(x , y ),(00yxM 由勾股定理：由勾股定理：|OM|2+|MP|2=|OP|2分析分析(三三)： 在直角三角形在直角三角形OMP中中yxOx0 x +y0 y = r2例例2.已知圆的方程是已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点，求经过圆上一点M(x0,y0) 的切线的方程。的切线的方程。总结：过一点求圆的切线的方程总结：过一点求圆的切线的方程 1、求经过圆上一点、求经过圆上一点M（x0,y0）的切线的方程）的切线的方程 ：（1）圆）圆C的方程为：的方程为：222ryx200ryyxx切线方程为：222)()(rbyax（2）圆）圆C的方程为：的方程为：200)()(rbybyaxax切线方程为：2、求经过圆外一点求经过圆外一点M（x0,y0）的切线的方程）的切线的方程 。常用求法简介：常用求法简介：001(),().yyk xxk法 ：设直线为化为一般式，由圆心到该直线的距离等于半径,求注意k不存在的情况002(),0().yyk xxk法 ：设直线为代入圆的方程，消元为一元二次方程，由,求出注意k不存在的情况练习练习4.写出过圆写出过圆x2+y2=10上一点上一点M 的切线的方程的切线的方程 2, 6练习练习5.已知圆的方程是已知圆的方程是x2+y2=1，求求（1）斜率等于）斜率等于1的切线的方程；的切线的方程；（2）在）在y轴上截距是轴上截距是 的切线的方程。的切线的方程。2例例3：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度该圆拱跨度AB=20m，拱高，拱高OP=4m，在建造，在建造时每隔时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到的长度（精确到0.01m)yx解：如图建立坐标系，设圆的方程是解：如图建立坐标系，设圆的方程是x2+(y-b)2=r2 (r0)。yx把P(0,4)、 B(10,0)代入圆的方程得方程组：02+(4-b)2= r2102+(0-b)2=r2解得：b= -10.5 r2=14.52所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52因为y0,所以y=14.52-(-2)2 -10.514.36-10.5=3.86(m)答：支柱答：支柱A2P2的长度约为的长度约为3.86m。小结小结 (1) 圆心为圆心为C(a,b)，半径为，半径为r 的圆的标准方程为的圆的标准方程为 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 当圆心在原点时当圆心在原点时 a=b=0，圆的标准方程为：，圆的标准方程为：x2 + y2 = r2 (2) 由于圆的标准方程中含有由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数，三个参数，因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程。心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程。 2.以点以点(3,1)和和( 1, 5)为直径端点的圆的方程是为直径端点的圆的方程是_(x 1)2+(y+2)2=13x2+y2 2x+4y 8=0标准方程标准方程一般方程一般方程1.什么是圆的标准方程？其圆心和半径分别是什么？什么是圆的标准方程？其圆心和半径分别是什么？222xaybr怎样化标准方程为一般方程？怎样化标准方程为一般方程？(x a)2+(y b)2=r2 x2+y2 2ax 2by +a2+b2 r 2=0 x2+y2+Dx+Ey+F=0 把把 x2+y2+Dx+Ey+F=0 配方法，得配方法，得22224224DEDEFxy 22ED，1)当当D2+E2 4F0时，时，表示以表示以为圆心、为圆心、FED42122 以以为半径的圆为半径的圆3)当当D2+E2 4F0时，方程时，方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0称为称为圆的一般方程圆的一般方程怎样化一般方程为标准方程？怎样化一般方程为标准方程？结论：结论：(1) x2, y2系数相同，且不等于零；系数相同，且不等于零； (2) 没有没有xy这样的二次项；这样的二次项； (3) D2+E2 4F0。圆的一般方程的特点圆的一般方程的特点:比较；比较；二元二次方程的一般形式：二元二次方程的一般形式：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0圆的一般方程圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F0)可得出什么结论？可得出什么结论？ 注意：注意：1.条件条件(1)、(2)是二元二次方程表示圆的是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件；必要条件，但不是充分条件； 2.条件条件(1)、(2)和和(3)合起来是二元二次方合起来是二元二次方程表示圆的充要条件程表示圆的充要条件圆的一般方程：圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2 4F0) 与圆的标准方程与圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2一样一样,方程方程x2 +y2+Dx+Ey+F=0 也含有三个系数也含有三个系数D、E、F，因此必具备三个独立的条件因此必具备三个独立的条件,才能确定一个圆才能确定一个圆.例例1.求下列圆的半径和圆心坐标：求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x2+y2-8x+6y=0，(2)x2+y2+2by=0(1)圆心为圆心为(4，-3)，半径为，半径为5；(2)圆心为圆心为(0，-b)，半径为，半径为|b|(半径不为半径不为b ).练习练习1.下列方程各表示什么图形下列方程各表示什么图形(1)x2+y2=0(2)x2+y2 2x+4y 6=0(3)x2+y2+2ax b2=0点点(0,0)以以(1,-2)为圆心为圆心, 为半径的圆为半径的圆.1122(,0),aab以为圆心为半径的圆圆的一般方程：圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2 4F0) 例例2. 求过三点求过三点O(0,0)，M1(1,1), M2(4,2)的圆的方的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标程，并求这个圆的半径和圆心坐标 解：设所求的圆的方程为解：设所求的圆的方程为 x2y2十十DxEyF0因为因为O、M1、M2在圆上在圆上, 02024020FEDFEDF解得解得F0，D 8，E6圆的方程为圆的方程为x2+y2 8x+6y0，圆心，圆心 (4，3) ，22DE4F52r半径例例2小结：小结：1用待定系数法求圆的方程的步骤：用待定系数法求圆的方程的步骤：(1) 设所求圆的方程为标准式或一般式；设所求圆的方程为标准式或一般式；(2)列出关于列出关于a、b、r或或D、E、F的方程组；的方程组；(3)解方程组，求出解方程组，求出a、b、r或或D、E、F的值，代入的值，代入所设方程，就得要求的方程所设方程，就得要求的方程2关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程无直接关系，往往设圆的一般方程例例3. 已知一曲线是与定点已知一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的比是距离的比是21求此曲线的轨迹方程，并画出曲线求此曲线的轨迹方程，并画出曲线 .的点的轨迹，的点的轨迹， 解：设点解：设点M(x,y)是曲线上的任意一点，所以是曲线上的任意一点，所以|1|2OMAM由两点间的距离公式，得由两点间的距离公式，得21)3(2222 yxyxx2+y2+2x 30这就是所求的曲线方程这就是所求的曲线方程配方，得配方，得(x+1)2+y24所以曲线是以所以曲线是以C( 1，0)为圆心，为圆心，2为半径的圆为半径的圆xyMAOC 1.对于圆的方程对于圆的方程(x a)2+(y b)2=r2和和x2+y2+Dx+Ey+F=0，针对圆的不，针对圆的不同位置，请把相应的标准方程和一般方程填入下表：同位置，请把相应的标准方程和一般方程填入下表： 圆的位置 圆的标准方程 圆的一般方程以原点为圆心的圆过原点的圆圆心在x轴上的圆圆心在y轴上的圆圆心在x轴上且与y轴相切的圆圆心在y轴上且与x轴相切的圆x2+y2=r2x2+y2+F=0(x-a)2+(y-b)2=a2+b2x2+y2+Dx+Ey=0(x-a)2+y2=r2x2+y2+Dx+F=0 x2+(y-b)2=r2x2+y2+Ey+F=0(x-a)2+y2=a2x2+y2+Dx=0 x2+(y-b)2=b2x2+y2+Ey=0小结小结:1圆的一般方程的定义及特点；圆的一般方程的定义及特点；2用配方法求出圆的圆心坐标和半径；用配方法求出圆的圆心坐标和半径；3用待定系数法，导出圆的方程用待定系数法，导出圆的方程 1.圆的标准方程是圆的标准方程是_,它表示的它表示的是是(x-a)2+(y-b)2=r2_的圆的圆。以以C(a，b)为圆心为圆心,r为半径为半径2.圆的一般方程是圆的一般方程是_,它表示的是它表示的是_以以C( )为为2,2EDx2+y2+Dx+Ey+F=0，(其中其中3.当当D2+E2-4F=0时时,方程方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示表示一个点一个点( )2,2ED_;当当D2+E2-4F0)_的圆的圆。FED42122圆心圆心,以以 为半径为半径1. 下列方程中下列方程中，表示圆的是表示圆的是( )A. x2+y2-2x+2y+2=0B. x2+y2-2xy+y+1=0C. x2+2y2-2x+4y+3=0D.2x2+2y2+4x-12y+9=0D(x-3)2+(y-2)2=162. 圆圆x2+y2=16按向量按向量a=(3,2)平移后平移后,所得所得曲线的方程是曲线的方程是_. 如图如图,设设 O的圆心在原点的圆心在原点,半径是半径是r,与与x轴正轴正半轴的交点为半轴的交点为P0,圆上任取一点圆上任取一点P,若若OP0按逆时按逆时针方向旋转到针方向旋转到OP位置所形成的角位置所形成的角P0OP=,求求P点的坐标点的坐标。xyOP(x,y)P0r解解:点点P在在P0OP的终边上的终边上rxcosrysinx =rcosy =rsinP点坐标为点坐标为根据三角函数的定义得根据三角函数的定义得x =rcosy =rsin方程组方程组 叫做叫做圆心为原点圆心为原点、半径为半径为r的的圆的圆的参数方程参数方程 如图如图,设设 O的圆心在原点的圆心在原点,半径是半径是r,与与x轴正轴正半轴的交点为半轴的交点为P0,圆上任取一点圆上任取一点P,若若OP0按逆时按逆时针方向旋转到针方向旋转到OP位置所形成的角位置所形成的角P0OP=,求求P点的坐标点的坐标。xyOP(x,y)P0rP0P(x,y)x =a+rcosy =b+rsin O的参数方程为的参数方程为 O1的参数方程是的参数方程是 求圆心为求圆心为O1(a,b),半径为半径为r 的圆的参数方程的圆的参数方程。P(x,y)O1Oxyx =rcosy =rsinx=x+ay=y+b 解解: 以以O为圆心为圆心r为半径作圆为半径作圆, 则则 O1是是 O按向量按向量OO1=(a,b) 平移后得到的平移后得到的。则平移公式为则平移公式为将式代入式得将式代入式得x=a+rcosy=b+rsin圆心为圆心为(a,b)、半径为半径为r的的圆的参数方程圆的参数方程为为x =a+rcosy =b+rsin(为参数为参数)1.圆的参数方程有什么特点圆的参数方程有什么特点？2.怎样把圆的普通方程和参数方程互化怎样把圆的普通方程和参数方程互化？参数参数方程方程普通普通方程方程设参数设参数消去参数消去参数1.写出下列圆的参数方程写出下列圆的参数方程:(1)圆心在原点圆心在原点,半径为半径为 :_;3(2)圆心为圆心为(-2,-3),半径为半径为1: _.3x = cosy = sin3x =-2+cosy =-3+sin2.若若圆的参数方程为圆的参数方程为 ,则其标准则其标准方程为方程为:_.x =5cos+1y =5sin-1(x-1)2+(y+1)2=253.已知圆的方程是已知圆的方程是x2+y2-2x+6y+6=0,则它的则它的参数方程为参数方程为_.x =1+2cosy =-3+2sin定义定义: :一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标意一点的坐标x,yx,y都是某个变数都是某个变数t t的函数，即的函数，即y=g(t)x=f(t) 并且对于并且对于t t的每一个允许值，由方程组所确定的的每一个允许值，由方程组所确定的点点 M M（x,y)x,y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条 曲线的曲线的参数方程参数方程, ,联系联系x,yx,y之间关系的变数之间关系的变数t t叫做叫做参变参变数，数，简称简称参数参数. . （参数方程中的参数可以是有物理、几何意义（参数方程中的参数可以是有物理、几何意义 的变数，也可以是没有明显意义的变数。）的变数，也可以是没有明显意义的变数。）xMPAyO解解:设设M的坐标为的坐标为(x,y),可设点可设点P坐标为坐标为(4cos,4sin)点点M的轨迹是以的轨迹是以(6,0)为圆心、为圆心、2为半径的圆。为半径的圆。由中点公式得由中点公式得:点点M的轨迹方程为的轨迹方程为x =6+2cosy =2sinx =4cosy =4sin 圆圆x2+y2=16的参数方程为的参数方程为例例1. 如图如图,已知点已知点P是圆是圆x2+y2=16上的一个动点上的一个动点, 点点A是是x轴上的定点轴上的定点,坐标为坐标为(12,0).当点当点P在圆在圆 上运动时上运动时,线段线段PA中点中点M的轨迹是什么的轨迹是什么?解解:设设M的坐标为的坐标为(x,y),点点M的轨迹是以的轨迹是以(6,0)为圆心为圆心、2为半径的圆为半径的圆。由中点坐标公式得由中点坐标公式得: 点点P的坐标为的坐标为(2x-12,2y)(2x-12)2+(2y)2=16即即 M的轨迹方程为的轨迹方程为(x-6)2+y2=4点点P在圆在圆x2+y2=16上上xMPAyO例例1. 如图如图,已知点已知点P是圆是圆x2+y2=16上的一个动点上的一个动点,点点A是是x轴上的定点轴上的定点,坐标为坐标为(12,0).当点当点P在圆上运动时在圆上运动时,线段线段PA中点中点M的轨迹是什么的轨迹是什么?解解:(1)圆圆x2+y2+2x-2 y=0的参数方程为的参数方程为3x = -1+2cosy = +2sin3x+y= -1+2(sin+cos)3= -1+2 sin(+ )32432(x+y)min= -1-2 当当sin(+ )=-1时时,4 sin(+ ) -1,14例例2. 已知点已知点P(x,y)是圆是圆x2+y2+2x-2 y=0上的一个动点上的一个动点求求:(1)x+y的最小值的最小值; (2) x2+y2的最大值的最大值。3x = -1+2cosy = +2sin3 当当sin( )=1时时,6 sin( ) -1,16(2)2222(14cos4cos)(34 3sin4sin)xy43sincos88sin8622max16xy例例2. 已知点已知点P(x,y)是圆是圆x2+y2+2x-2 y=0上的一个动点上的一个动点求求:(1)x+y的最小值的最小值; (2) x2+y2的最大值的最大值。3