【优秀硕士博士论文】高中数学问题系统的设计研究-王金梅2007

硕士学位论文论文题目高中立体几何问题系统的设计研究作者王金梅导师杨开城教授系别年级教育技术学院2007级学号0711220020学科专业教育技术学完成日期2010年4月北京师范大学研究生院学位论文作者签名日期年月日导师签名日期北京师范大学学位论文原创性声明本人郑重声明所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。关于论文使用授权的说明学位论文作者完全了解北京师范大学有关保留和使用学位论文的规定，即研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北京师范大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。（保密的学位论文在解密后遵守此规定）保密论文注释本学位论文属于保密在年解密后适用本授权书。非保密论文注释本学位论文不属于保密范围，适用本授权书。学位论文全文电子版同意提交后一年二年在校园网上发布，供校内师生浏览。本人签名日期高中立体几何问题系统的设计研究摘要本研究是在围绕“以学习活动为中心的教学设计”理论基础上的展开，属于学科化教学设计的研究，所选内容为高中数学立体几何部分。由于数学问题解决主要是一个推理过程，因此便可以在问题的知识推理路径的基础上进行操作，通过改变知识推理路径来从而设计出新改变问题，进而形成问题系统。问题系统设计的其操作过程主要是首先是寻找问题原型，画出问题原型的知识推理路径；再，根据知识网络图改变条件或改变结论,产生新的知识推理路径；然后修改问题描述从而产生多个新的题目；，最后将设计的问题划分为不同的问题系统。由于立体几何部分的特殊性，有一些特殊的方法如条件和结论倒置及确定几何形状的方法，这些方法有助于设计出更多新颖的题目。本研究所确定的操作技术，不但是一线教师提供问题设计的基础，而且也是教学设计理论的深入发展。本研究采用的方法是缺陷分析法，通过向专家教师发放问卷来调查技术产物即问题系统的缺陷，从而探寻分析问题系统的缺陷是否是技术的缺陷造成的，从而对问题系统设计的技术进行进一步的改进。本研究属于学科化教学设计的范畴，能进一步发展教学设计理论，并能为教师提供问题设计的技术。通过该技术，教师还能设计出复杂度不同的题目，从而为不同的学生提供不同的训练题目，有助于分层教学的开展。本研究主要包括以下三部分1高中数学知识建模规范。该部分就高中数学学科的知识点类型、知识点间的关系类型构建了高中数学学科建模的规范。知识建模规范用于绘制知识建模图，一种知识网络图。2问题系统设计技术。在已研究的基础上，重点探索了立体几何部分问题系统设计的技术。3问题系统设计技术的缺陷分析。技术人造物缺陷分析法是本研究最主要的研究方法。在该部分，主要根据问卷调查的结果，总结缺陷中与技术环节相关的方面，并进行进一步的改进。关键词问题，问题设计，问题系统，教学设计，知识建模网络图，知识推理路径，立体几何ASTUDYONTHEPROBLEMSYSTEMSDESIGNOFSOLIDGEOMETRYFORSENIORMIDDLESCHOOLSTUDENTABSTRACTTHESTUDYISBASEDONLEARNINGACTIVITYCENTEREDINSTRUCTIONALDESIGN,ANDITISTHESUBJECTOFINSTRUCTIONALDESIGNWESELECTEDTHESOLIDGEOMETRY,PARTOFSENIORMIDDLESCHOOLMATHASTHEPROBLEMSOLVINGINMATHISAREASONINGPROCESS,SOWECANDESIGNANEWPROBLEMWHENWECHANGETHEKNOWLEDGERATIOCINATIONROUTESOFONEPROBLEMTHEPROCEDUREOFTHEPROBLEMSYSTEMDESIGNISMAINLYFIRST,FINDTHEPROTOTYPE,ANDDRAWTHEKNOWLEDGERATIOCINATIONROUTESTHENCHANGETHECONDITIONANDTHECONCLUSIONSOFTHEPROBLEM,ANDMODIFYTHEDESCRIPTIONOFTHEPROBLEMFINALLY,YOUSHOULDDIVIDETHEPROBLEMSINTODIFFERENTPROBLEMSYSTEMSASASPECIALPARTOFMATH,THEREARESOMESPECIALMETHODSINPROBLEMSYSTEMDESIGN,SUCHASINVERTTHECONDITIONANDTHECONCLUSIONANDDETERMINETHEGEOMETRICSHAPEANDTHESEMETHODSCANHELPTOGETMOREINNOVATIVETOPICSLIMITATIONANALYSISOFTECHNOLOGICALARTIFACTSISUSEDINTHISSTUDYTHISISAKINDOFRESEARCHMETHODSONECANANALYZETHELIMITATIONOFTHETECHNOLOGYTHROUGHINVESTIGATINGTHELIMITATIONOFTHETECHNOLOGICALARTIFACTSINTHESTUDYWEGAVEAQUESTIONNAIRETOGETTHELIMITATIONOFTHEPROBLEMS，THENANALYZEDTHELIMITATIONOFTHETECHNOLOGYOFTHEPROBLEMSYSTEMSDESIGNSOTHATWECANIMPROVETHETECHNOLOGYOFTHEPROBLEMSYSTEMSDESIGNTHESTUDYISSUBJECTOFINSTRUCTIONALDESIGN,SOITCANFURTHERTHEDEVELOPMENTOFINSTRUCTIONALDESIGNTHEORYITCANALSOPROVIDETHETECHNOLOGYOFPROBLEMSDESIGNTEACHERCANDESIGNALOTOFPROBLEMSBYTHISTECHNOLOGY,SOTHATTHESTUDENTCANSOLVEDIFFERENTPROBLEMSANDITCANALSOHELPCARRYOUTHIERARCHICALTEACHINGTHESTUDYINCLUDESTHEFOLLOWINGTHREEPARTS1KNOWLEDGEMODELINGRULESFORHIGHMIDDLESCHOOLMATHEMATICSINTHISPART,WEESTABLISHEDTHEKNOWLEDGEMODELINGRULESFROMTWODIMENSIONSTHETYPEOFTHEKNOWLEDGEPOINTANDTHERELATIONSHIPBETWEENKNOWLEDGEPOINTS2THETECHNOLOGYOFTHEPROBLEMSYSTEMSDESIGNWEEXPLOREDTHETECHNOLOGYOFPROBLEMSYSTEMSDESIGNBASEDONTHEEXISTINGRESEARCH3THEANALYSISOFTHETECHNOLOGYOFTHEPROBLEMSYSTEMDESIGNLIMITATIONANALYSISOFTECHNOLOGICALARTIFACTSISTHEMOSTIMPORTANTRESEARCHMETHODUSEDINTHISSTUDYINTHISPART,WEMADEASUMMARYOFTECHNOLOGICALPROCESSRELATEDPROBLEMSINTHELIMITATIONANALYSISAFTERTHEQUESTIONNAIREANDIMPROVEDTHETECHNOLOGYOFTHEPROBLEMSYSTEMDESIGNONTHEBASISOFTHISKEYWORDSINSTRUCTIONALDESIGN,PROBLEM,PROBLEMDESIGN,PROBLEMSYSTEM,INSTRUCTIONALDESIGN,KNOWLEDGENETWORK,KNOWLEDGERATIOCINATIONROUTES,SOLIDGEOMETRY目录高中立体几何问题系统的设计研究IASTUDYONTHEPROBLEMSYSTEMDESIGNOFSOLIDGEOMETRYFORSENIORHIGHSCHOOLSTUDENTII目录11研究的意义211研究的理论意义212本研究的实践意义22国内外研究现状综述321国外研究现状322国内研究现状423立体几何教学研究724总结73研究概述831什么是问题832什么是问题系统833问题系统的教学价值934研究的整体设计104问题系统设计1141立体几何特点1142知识建模1243知识推理路径1544问题系统设计的操作165缺陷分析2751第一轮调查问卷分析2752第二轮调查问卷分析3253缺陷分析总结336小结及反思33参考文献35附录361研究的意义11研究的理论意义教育、科技和人才，是国家强盛、民族振兴的基石，也是综合国力的核心，而科技的进步和人才的积累都需要教育去实现，因此随着社会的发展，人们对教育的要求也越来越高，教学设计作为理论和实践的桥梁也得到人们的重视。教学设计是为教学服务的，而教学实际上是学习活动的序列。一个完整意义上的学习活动是由学习目标、活动任务、学习方式方法及操作步骤、组织形式、交互方式、学习成果形式、活动监管规则、角色和职责规划、学习评价规则和评价标准等构成的1。因此，我们进行教学设计，核心就是进行学习活动的设计，而在对学习活动的设计中最为关键也最为困难的就是活动任务的设计。任务与学习目标是紧密相连的。根据学习目标的层次可以将任务分为两类一类是意义建构类活动任务，主要目的是获取目标知识点的意义；另一类是能力生成类活动任务，主要目的是训练学生知识的运用能力。问题解决则是学生获得能力的重要形式，人类掌握知识的目的在于解决面临的新问题，问题解决是高级形式的学习活动。加涅认为，“教育有一个重要的终极目标，那就是培养学生解决问题的能力无论数学问题、物理问题、健康问题、社会问题，还是个人适应的问题，都是如此”2。很显然，问题解决的能力的高低是衡量个人素质的标准，也是衡量个体能否适应社会的标准。在我国，学校教育是个人一生中所受教育最重要的组成部分，个人在学校里能系统地学习各种知识和技能。学生的问题解决能力也成为学校教育的重要目标，学生能否拥有较高的问题解决能力也是衡量学校教育的重要标准。因此在教学设计中需要着重对问题解决类任务进行设计，通过此任务训练学生的问题解决能力。而在问题解决类任务中，问题是最为关键和核心的部分，好的问题才能对学生有好的训练。因此，问题设计成为教学设计中最重要的部分。本研究选定高中立体几何部分知识点，从目标知识点出发，探究问题系统设计的技术，从而发展教学设计的理论。12本研究的实践意义1为教师的问题设计提供技术问题是数学的心脏，因此问题设计在数学学科的教学设计中是非常重要的。在对教师的访谈中发现，有些学校有专门的命题教师，命题教师的职责就是通过各种渠道寻找题目。但是教师所寻找的题目并不总是能完全适合教学的需要，在这种情况下就需要对问题进行进一步设计。但是目前很多教师缺少对这些问题进行再设计的技术。本研究就是提供给这些教师对问题进行再设计的技术。教学中所使用的题目是一些有经验的教师设计出来的，这些教师对知识和教学都比较了解，因此在设计的时候便可以根据自己的经验进行设计。而经验的背后必定存在理性的因素，本研究就是探讨这种理性的要素，为教师进行问题设计提供可操作的技术。2为问题系统设计的自动化提供操作规范技术的一个重要作用便是将人们从繁重的负担中解放出来，让人们能有更多的时间去做其他事情。一线教师的大多数时间紧、任务重，没有太多的时间进行问题设计。同时，如果将问题设计仅仅归于教师的经验，需要教师花费大量的时间去积累。如果要节省教师的时间，就需要探寻问题设计的规范，从而使问题设计能采用自动化的形式实现。本研究试图研究问题系统设计的规范，为问题系统设计的自动化做铺垫。2国内外研究现状综述21国外研究现状国外关注问题解决（PROBLEMSOLVING）教学和PBL（PROBLEMBASEDLEARNING）的研究。问题解决比较关注对所学规则的进一步应用。问题解决一般是指形成一个新的答案，超越过去对所学规则的简单应用而产生一个新的解决方案。很多专家学者都比较关注问题解决的过程。对问题解决研究最多的是美国的乔纳森。乔纳森受建构主义的影响，认为当前教育应该关注学生的问题解决能力，我们应该为学生创设一个问题解决的环境，让学生在真实情境下进行问题解决。他认为学生遇到的问题是一个连续统，这个连续统上的问题可以分为谜问题、良构问题、劣构问题等几类，谜问题式实际上是一种非常良构的问题。这些问题的描述依次变得越来越含混不清，解决问题所需要的知识也越来越综合，问题的答案由唯一到多个。他还分别为良构问题和劣构问题提供了不同的教学设计模式。34PBL叫做基于问题解决的学习，主要关注如何让学生在问题情境中进行学习。PBL的教学是基于现实世界的教学模式，由加拿大MCMASTER大学霍华德教师在20世纪60年代最先提出的。让学生围绕着解决一些结构不良的、真实的问题而进行有针对性的、实践性的学习。PBL以问题为学习的起点，因此好的问题对于PBL来说是非常重要的。国外很多专家对用来进行PBL教学的问题做了很多的研究。他们认为进行PBL教学的问题要能引起学生的兴趣，并能维持学生的动机，应该是复杂的，开放性的，没有唯一正确答案的，并且问题的情景要与当前发生的一些事件或学生的日常生活有关5。而具有这些特征的问题该如何设计，专家们没有过多的研究。PBL和问题解决都是以问题为核心的，不同的是PBL是通过问题来达到学习的目的，类似于中国的探究学习，而问题解决关注的是应用知识去解决问题，这种应用可以是简单应用，也可以是创造性的应用。实际上在PBL中也是在解决问题。国外更多的关注问题解决的实质，如试误说、顿悟说等，都是关注学生的问题解决到底是什么样的。也有学者关注问题解决的过程，如基克等人提出的问题解决的过程，还有学者关注问题解决能力的培养。而对问题解决中问题的关注也只是局限在对问题的特征和分类的研究，而没有研究如何设计出这样的问题。实际上，问题解决是对知识技能的应用，好的问题必然是对知识的外化训练。因此，在问题解决中要关注问题所涉及到的知识点，而这正需要对问题进行设计。22国内研究现状基于对问题解决重要性的考虑，国内的很多人都对相关领域进行了研究和总结。在国内，对该领域进行研究的主要是一线教师和教学设计专家。1、一线教师的研究一线教师的研究主要是经验的总结，主要侧重于对问题设计原则的研究6和问题设计策略的研究78，如朱志国提出在设计数学问题时，要考虑可行性、渐进性、应用性等方面，但是这些原则和策略并不具有可操作性。也有教师提出来一些问题设计的方法，如逆向法、条件改变法、直观法、微积分法、归纳的方法9，但是并未指出这些方法使用的条件，同时，这些方法并不是特别系统。一线教师对教学实际情况比较了解，在教学中也积累了一定的问题设计的经验，因此其研究的成果可作为本研究的基础。2、专家学者的研究（1）祝智庭、胡小勇等人的研究在MCCARTHY的4MAT10模式中四何（是何、为何、如何、若何）问题分类方法的基础上祝智庭、胡小勇等人提出了“五何”问题分类方法是何、为何、如何、若何、由何。11他们在研究中提到教学过程不应该只有一个问题，而应该拥有一个教学问题集。在此基础上他们提出了教学问题的设计支架，这种支架实际上就是设计模板表格。他们设计了三种问题设计模板面向人文领域的教学问题设计模板；面向理科领域的教学问题设计模板；面向各科的教学引导问题设计模板。图1祝智庭，胡小勇提出的面向理工科课程的教学问题设计模板从上述偏向理工科课程教学问题设计模板中可以看到其构造原理包含两个维度横向维度（是何如何为何若何）；纵向维度（内容单元基本；老新难；识记理解应用分析综合评价）分别达标知识的认知程度；斜方向切入的“由何”则为整个教学问题集的设计提供了情景化的导向。12虽然这个问题设计模板是为理工科提供的，但是在理工科特别是数学中，问题一般都是综合性的题目，仅使用“五何”是无法描述这些题目的。而纵向的老问题新问题疑难问题也不能为问题设计提供可操作性的规范。但是，从这个问题设计模板中可以看出，祝智庭、胡小勇等学者比较注重老问题，即注重已学知识点，在老问题的基础上进行新问题的设计。（2）朱德全等人的研究朱德全在他的博士论文问题系统教学设计探究中提到“数学教学过程实质上是数学问题的教学过程，数学教学系统就应当同构于数学问题系统”，“教学问题系统是根据教学材料及其知识发生系统的一般规律，依照学生认知结构及其认识发展的一般规律，数学教师应当编制的目的明确、难易适当、数量相宜的有效问题体系”。他认为问题设计应着眼于“真实性”、“开放性”、“挑战性”与“系统性”四大指标的有效体现。他将问题系统分为横向问题系统以及纵向问题系统。横向问题系统是指构建反映数学知识网络活构建反映“知识树”的问题体系。它包括五个方面的具体问题体系，即操作式问题、多变式问题、类化式问题、目标式问题以及挑战式问题。纵向问题系统是指在教学过程的每一环节构建螺旋性数学问题体系。纵向问题系统包含迁移性问题、过渡性问题、反馈性问题、强化性问题和延伸性问题。13朱德全所提出的教学问题系统是比较接近本研究的思路的，但是其仅仅提供了教学系统中应该包含那些问题，并没有提供具体的问题设计的思路和方法。但是其所提出的问题系统设计的定义是本研究应该参考的。（3）杨开城等人的研究杨开城等人多年致力于问题设计的研究，探索了一种问题设计的技术，即以知识网络图为基础，利用知识推理路径采用ADM操作设计问题。知识网络图是对教学内容进行分析之后所绘制成的，绘制知识网络图又被称为知识建模分析法，是一种学习内容的分析技术。知识网络图是对知识点的客观表征。知识推理路径是指“在实例中所蕴含的知识以及这些知识之间的逻辑推理关系”，是对问题的一种表征。采用此方法进行问题设计的操作大致如下。第一步，对本章内容进行内容分析，画出该章知识网络图。但是该章知识网络图中的知识点并不全是目标知识点，因此我们需要对目标知识点做标注。第二步，选择问题原型。选择问题原型有一个前提就是要知道要考察的目标知识点是什么，我们在这里界定要考察的目标知识点之间是有联系的，包括直接联系和间接联系，这样我们只要选择包含一个或几个目标知识点的问题原型即可，但注意问题原型所包含的知识点不能超越学生已有认知水平。第三步，画出该问题原型的知识推理路径。第四步，根据知识网络图中知识点之间的联系，向知识推理路径中添加目标知识点。并根据所添加的目标知识点对问题进行描述。刘亚萍在其硕士论文中学数学教学设计研究中探索出了高中数学代数部分的问题设计的方法14，她主要研究代数部分的问题设计。首先选择一些比较适合进行ADM操作的知识点（概念节点），然后选择与这些概念节点有关系的TA类知识点，并对这些知识点进行组合，根据组合结果进行问题设计。这种设计方式并不系统，仅仅是选择了一些特殊的适合进行ADM操作的知识点。张润芝也在其硕士论文中学物理教学设计研究中探索出了高中物理力学部分的问题设计的方法15。这些方法也是以知识网络图为基础，通过对问题原型的知识推理路径进行进一步操作得出新问题。但是她的问题设计主要是针对物理学科，物理学科比较强调从情境中抽象出知识点，但是对于数学立体几何来说在重要的空间的点、线、面的关系，因此需要对其进行专门研究。杨开城等人从目标知识点出发进行问题设计，而不仅仅是提出一系列的方法。从目标出发通过一系列的操作进行问题设计有利于保障目标与知识点的对应性，使设计出的题目能涵盖目标知识点。目标是的，只有瞄准的，从的出发，才不会使我们的问题设计迷失方向，而方法则使我们更快更好地到达目的地。这种设计思路还提供了可使用的操作工具知识网络图和知识推理路径，可操作的技术ADM操作，减少了教师经验对问题设计的影响。23立体几何教学研究由于本研究试图针对立体几何进行问题系统的设计，因此我们必须保证我们设计出来的问题系统与新课程改革接轨，并能在问题设计中体现立体几何部分所要培养的能力和数学思想。在普通高中数学标准中，对于几何部分要培养的能力和数学思想做了规定，要求“培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力”，着重培养学生的数形结合的数学思想。当前国内对立体几何部分的研究主要集中以下几个方面。数学思想的研究，如立体几何要着重培养学生的划归思想、分类讨论思想、整体思想、函数思想和方程思想16。解题策略的研究，如点线面关系的转化、向量法、隔离法、体积法、割补法、图形变化法17。这些思想和方法可以作为我们进行立体几何部分的问题系统设计的基础。24总结综上所述，问题解决已经得到社会的广泛关注，学校教育中也越来越注重对学生问题解决能力的培养。在问题解决中，问题是最为关键和最为核心的部分，国外主要关注问题解决教学实施部分的研究，对问题的设计也只关注问题的情景方面，关注情景是否真实，是否能激发学生兴趣。在国内，虽然有些教师总结出了问题设计的方法，但这些方法主要决定于教师的经验，并且不具有普适性和可操作性。一些学者将注意力转移到了问题系统的设计，但是他们只是关注问题系统应该包含哪些题目类型，或者关注某个教学环节所需要哪些题目，虽然提出了一些问题设计的模板，但是这些模板也关注教学层次，没有具体可操作的方法。杨开城等人的研究，将问题设计发展为一种可操作的技术，这种技术从目标知识点出发，以知识网络图和知识推理路径为依据，根据一系列的规则进行操作，从而更具有普适性。3研究概述31什么是问题问题通常是未知事物，它来源于人们为满足某种需要或完成某个目标所处的任何情景18。MAYER总结了问题的三个特点给定条件、目标状态和障碍。由当前的给定条件向目标状态的转化是有一定难度的，而不是凭简单的记忆就能解决的。格式塔心理学家KARLDUNKER在1945年对问题的定义是当一个有机体有个目标，但是又不知道如何达到目标时，就产生了问题，问题是一种相对存在。大多数心里学家都赞同NEWELL和SIMON对问题所下的定义，他们认为问题是一种情景，包括三个主要成分当前状态、目标状态和从当前状态到目标状态转化所需要的一系列的操作19。JONASSEN指出，问题具有两个关键特征问题是某种情境下的一个未知实体，所寻找的或解决的那些未知的东西要有一定的社会的、文化的或技术的价值。JONASSEN曾经区分出11种典型的问题，其中引起人们广泛讨论的有两类结构良好和结构不良的问题20。学习者在学科学习中遇到的绝大多数问题都是结构良好问题，其初始状态、目标状态和操作都是具体明确的，甚至其问题解决的方法也是具体明确的。结构不良问题没有明确的结构或解决途径，大多数与真实生活相关，并且需要综合各学科的知识。PBL和问题解决教学大部分都比较关注结构不良问题，认为结构不良问题是来自真实生活情景的，可以训练学生的问题解决能力。但是要成功解决问题，必须要掌握必要的知识，结构良好的问题可以让学生熟练掌握知识，同时结构良好问题的解决并不仅仅是对规则的简单应用，也需要对规则进行重新组合，并形成新的规则。实际上，对于数学学科，很多定理都是在简单定理的基础上进行进一步推理得到的。因此，结构良好问题也能训练学生的问题解决能力。本研究中的问题设计也主要是良构问题的设计。32什么是问题系统认知心理学家认为人是在一定的认知结构基础上进行学习的，认知结构是指学习者头脑中的知识结构，是他们已有的全部观念的内容和组织。知识结构在大脑中不是以一个一个独立的节点存储，而是组成知识网络，形成认知结构。学生学习便是将新学习的知识与已有的认知结构建立联系的过程，这个过程就是有意义的建构，也称有意义学习。奥苏贝尔认为有意义学习是指在学习过程中，符号所代表的新知识能够与学习者认知结构中已有的适当观念（如表象、有意义的符号、概念或命题等）建立实质性的、非人为的联系21。学生只有在有意义的建构的基础上才能运用新知识解决问题。学生在解决问题时所应用的知识点也不是独立的，是对认知结构中某一部分知识网络的应用。因此在教学中需要注意知识点之间的联系。知识点之间的联系可以是人为建立的机械联系，也可以是学习者在文字描述和表象经验以及原有联系的基础上建立起来的知识点内在的联系。机械联系一般只有助于记忆，而无助于理解。只有内在的联系才蕴含着知识点的意义，而只有建立知识点之间的实质的非人为的联系才有助于问题解决。在某一章中包含许多知识点，但是仅仅通过一个题目并不能考查该章的全部知识点，因此，我们便提出了问题系统的概念。问题系统包含一系列的具有知识点的内在联系的题目。33问题系统的教学价值学生是存在差异的，中国自从古代的孔子就开始有因材施教的思想，这种思想也是千百年来永恒的教育主题。学生不是一个抽象的概念，而是具有差异的活生生的个体。当前很多教育家都在注重学生个体的自我发展，呼吁教学方式和学习方式的改革，实际上这都是在关注学生的差异。在学校环境中，学生的个别差异主要表现为智力、学习能力、先前的知识经验、家庭文化背景、性别、志向水平、成就动机以及学习风格等方面的差异，所有这些差异都直接或间接地影响着教育教学活动及其效果。在这些差异中，学生的先前的知识经验对当前知识的学习影响是最大的，因此在学校教学中要注重学生先前知识经验的影响。实际上学生的先前经验影响的便是学生认知结构的建构，如果学生缺乏相关知识经验，在教学中便无法发生有意义学习，而有意义学习是进行问题解决的前提。教学归根到底是让学生学到一些知识并能去解决一些问题，但是在解决问题的同时也是为了训练学生，让学生更好地掌握知识。学生个体差异的不同便要求在在教学中对其的训练也应该是不同的，不同的学生应该使用不同的训练题目，并且不同的题目也针对不同知识点。但是不同的题目之间也是有一定联系，这种联系使得学生在问题解决的同时也获得了系统的知识，完善了认知结构。在刘亚萍的研究中，很多教师都指出设计出的问题不能照顾到个体差异，因此，如果设计出的问题系统能包含各种知识点并且也能照顾到个体差异，那对于教育和教学都将是一个进步。34研究的整体设计本研究主要采用技术人造物缺陷分析法来分析技术缺陷。技术人造物是一种产物，是运用某种技术之后生成的，这种产物的好坏在一定程度上可以反映技术的缺陷。技术的进化是一个长期的过程，因此，在开始阶段，技术肯定会存在一些缺陷，但是由于研究者自身的局限性使得在技术的研究过程中并不能完全避免这些缺陷，因此需要考察技术的产物的缺陷的方法来分析技术的缺陷。当然，技术人造物的缺陷并不一定完全是由技术的缺陷造成的，也有可能是其他技术不能解决的问题造成的。这需要研究者仔细分析。在本研究中，问题设计的理论即为技术，而其产物问题系统则是相应的技术人造物。显然，问题系统作为一种技术人造物也一定是不完美的。因此，当我们使用问题系统设计技术得到问题系统后，就要分析问题系统的缺陷，并探究产生缺陷的原因。考查这种缺陷是设计者的设计失误所致，还是设计者经验不足所致，亦或是该技术自身引发的必然结果。通过这种分析，试图找到问题系统设计理论的缺陷并进行改进。下面是运用技术人造物缺陷分析法研究的流程图设计问题系统缺陷分析问卷设计发放问卷进行缺陷分析对缺陷分析结果进行归因修改探索知识网络图绘制规范探索知识推理路径绘制规范探索问题原型的选择规范问题设计技术规范图2技术人造物缺陷分析法流程图4问题系统设计在进行问题系统设计之前，我们需要探究知识建模规范。本研究所使用的知识建模规范是在刘亚萍的中学数学教学设计研究基础上进行的探索，进一步发展和规范了数学的知识建模规范。进行问题系统设计的第一步是要绘制并提炼知识网络图。知识网络图表现的是当前所学知识之间的内在联系，这种联系是根据教材确定的，对于有些概念知识点，简单理解即可，不需要对其进行运用，因此这样的知识点可以删掉。问题解决不仅仅是对当前知识点的运用，还会涉及到以前所学知识点，因此需要增加相关知识点。这样的知识网络图便可以作为问题设计的依据。其次是进行问题系统设计。问题系统设计一般是在问题原型的基础上进行的。问题原型是指某个与目标知识点有直接或间接联系的旧问题。对于数学问题的解决过程，一般都是一个从已知条件得到未知结论的推理过程，如果我们将这种推理过程用规范化的形式表示出来，便是该问题的知识推理路径。通过该知识推理路径，我们可以直观地看到问题的求解过程，也可以看到该问题所考察的知识点。每个问题的知识推理路径都是由条件得出中间结论，再得出最终结论。在立体几何中，条件为边角关系，结论也为边角关系。因此，某个问题的条件可作为结论，由其他条件推出，某个问题的中间结论或最后结论也可作为得出其他结论的条件。这样，通过改变条件或结论可以可得出许多题目。同时，立体几何中的题目无非就是由条件来确定几何形状（即封闭几何体中点的关系）的过程，只要确定几何形状，便可以得知任意点、直线、平面的位置关系。所以，我们可以先寻找任意问题原型的几何图形，给出一定的条件来确定几何形状，然后可以通过改变条件或结论得出其他题目。最后是根据目标知识点划分问题系统。41立体几何特点中学数学主要分为两大部分内容代数和几何，这两部分内容之间具有一定的联系，代数问题可以采用几何学的知识解决，几何问题也可转化为代数问题。但是在具体的数学课程中，这两部分的内容是分开的，因此需要专门对几何部分的教学进行进一步的研究。立体几何主要研究空间点、线、面关系，给定的条件也是为了确定出点、线、面的关系。这就决定了在立体几何中，问题解决更多的就是由一定的点、线、面的关系得出其他点、线、面的关系的过程，这种过程是理性的，是以一定的公理、定理或推论为依据的。42知识建模知识建模是一种对知识进行归类，用网络图的形式清晰表达出知识点之间的各种联系，并为以后进行教学设计以及问题设计做准备的一种知识分析和表征的技术。采用知识建模的分析方法的前提是我们必须要鉴别出各种类型的知识点，然后再鉴别出各种知识点之间的关系。知识建模分析方法需要下面3个步骤。阅读教材以及大纲，鉴别出知识点。按照知识网络图的绘制规范，绘制出知识网络图。检查并确保知识网络图的规范性。首先要鉴别知识点的类型，知识点的内容主要包括符号、名称、式子及其图像表征SM（SYMBOL），在知识网络图中用表示。例如符号“”表示积分运算，可表示为。式子一般是数学运算过程、数学结论或命题的符号化表征，如一次函数的表达式为，可表示为。图像指的是一些函数图像，如一次函数,0的图像表示。概念CN（CONCEPT），在知识网络图中用表示。例如“函数”是个概念，可以表示为。概念类知识点是每个学科知识系统的最小构成单元。在函数这里概念不仅仅指的是名词，而且包含带有修饰性的名词，如“点到平面的距离”，也包含一些描述性的知识点，如“直线与平面平行”。如果该知识点表示一类事物或事物的状态，我们都可以称之为概念。定理和公理TA（包括公式）（THEOREMANDAXIOM），在知识网络图中用表示。例如“平行于同一条直线的两条直线平行”是一条公理，可以表示为。平行于同一条直线的两条直线平行过程步骤类PS（PROCESSANDSTEPS），在知识网络图中用表示。TA类知识点延用了基础理论中的原理和公式PF（PRINCIPLEANDFORMULA）类知识点的含义。例如“因式分解”就是一个过程类的知识点，可以表示为。因式分解数学方法和思想（MATHEMATICALTHINKINGSTRATEGY），在知识网络图中用表示。MTS类知识点延用了基础理论中的认知策略CS（COGNITIVESTRATEGY）类知识点。在现代学习理论中，认知策略是一种“控制过程”，因此，认知策略是普遍被认为是一些程序，是学生赖以选择和调整他们的注意、学习、记忆和思维的内部过程（GAGNE，1985）。目前，有些学者也列举出了一些策略如复述策略、精加工策略等等，而在数学中，问题则是最关键的。因此在数学中，我们所指的认知策略只要是指问题解决中的策略，具体来讲就是高中数学思想和方法。这些数学思想和方法主要包括化归与转化的思想方法、数形结合的思想方法、函数与方程的思想方法、分类整合的思想方法、特殊与一般的思想方法等22。例如数形结合的思想方法，可以表示为。数形结合在数学学科中，知识点之间的关系主要如下所示。符号、名称、式子以及图像表征SM与其他类型知识点之间的关系类型举例SMCN代表垂直代表概念CN与其它类型知识点之间的关系类型举例CNCN是一种二面角角是一种CNCN具有属性向量方向具有属性CNCN并列平行垂直并列CNCN组成直线角组成CNCN等价于平方根二次方根等价于CNTA定义公式正弦SINAA/C定义公式定理和公理TA与其他类型知识点之间的关系类型举例CNTA条件包含垂直垂直于同一条直线的两条直线平行条件包含CNTA结论包含平行垂直于同一条直线的两条直线平行结论包含CNTA包含平行平行于同一条直线的两条直线平行包含TA是前提TA一条弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半是前提同弧或等弧所对的圆周角相等TA互逆TA三垂线定理的逆定理互逆三垂线定理TA并列TAMABMBA并列MABMAMB过程步骤PS与其他类型知识点之间的关系类型举例PSCN包含求二面角二面角包含PS包含TA求二面角是前提12COSPS包含PS画函数图像列表描点连线包含包含包含PS是前提PS多项式乘以单项式多项式乘以多项式是前提PS并列PS用分子的积作为积的分子用分母的积作为积的分母是前提PS互逆PS整式乘法是前提因式分解PS等价于PS证明两直线垂直等价于证明两直线夹角为90°PSMTS包含求二面角转化包含在这里，最后一个关系是笔者自己添加的。为什么会有这种关系呢在数学中，PS类的知识点一般都是教师进行的总结，如“求解二面角”。而在求解二面角的过程中，需要用到一些认知策略类的知识点，如在求解二面角的时候，需要运用转化的思想，将二面角转化为平面角。因此在学习过程步骤类知识点时肯定要学习一定的数学思想。数学思维策略MTS与其他类型知识点之间的关系类型举例MTS包含SMCNTAPSMTS数形结合函数解析式坐标系包含包含换元法包含整体思想43知识推理路径数学中存在很多公理、定理或推论，而各种问题的解决也必须在掌握这些公理、定理或推论的基础之上。这种形式也决定了数学的问题解决更多的是一种推理过程。因此，我们可以用推理过程来描述一个问题的解决过程，如果把这种推理过程以规范化的形式表示出来，就是知识推理路径。立体几何中，知识推理路径的形式无非就是由已知边角关系得出未知边角关系的过程。在知识推理路径中，我们规定用来表示问题情景，来表示操作子，来表示节点，来表示推理的方向，来表示某个操作应用的定理。例如，有如下问题。原型一如右图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面PAG，交平面BDM于GH，求证PAGH。PABCDMHG我们得出该问题的知识推理路径如下所示。ABCD为平行四边形M为PC的中点MO/PAPA/BDMPA/GHO为AC的中点直线与平面平行判定定理直线与平面平行性质定理连接MO图3问题原型的知识推理路径从上图可以看到该问题的推理过程，由条件到中间结论再到最后结论，其中任何一个节点都是展示的边角关系。44问题系统设计的操作高中立体几何部分主要考察空间点、线、面的位置关系，通过给定点、线、面的关系来得出所求点、线、面的关系。下面便是高中立体几何部分的问题系统设计流程图。根据教材绘制知识网络图提炼知识网络图删除无意义节点增加已学相关节点寻找问题原型绘制问题原型的问题推理路径改变结论改变条件添加其他知识点条件和结论倒置确定几何形状划分题系统图4高中立体几何问题系统设计流程图1绘制知识网络图知识网络图是包含目标知识点的知识网络图，将所要考察的目标知识点按照知识建模中的规则绘制知识网络图，尽量表现知识点之间的联系。如下图所示知识网络图。如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行平行平面直线平行于同一条直线的两条直线平行一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直垂直于同一个平面的两条直线平行垂直一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直射影二面角的平面角异面直线所成的角组成异面直线组成组成角是一种是一种二面角组成二面角的棱二面角的面组成组成具有属性直线与平面所成的角是一种异面直线所成的角是一种具有属性组成如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线空间如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补包含直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直结论包含条件包含结论包含条件包含包含条件包含结论包含结论包含条件包含包含包含具有属性具有属性具有属性条件包含结论包含条件包含结论包含结论包含条件包含包含包含条件包含具有属性具有属性具有属性具有属性点到直线的距离点到平面的举例直线到直线的距离直线到平面的距离具有属性具有属性具有属性具有属性平面到平面的距离具有属性图5高中立体几何部分知识网络图2简化知识网络图知识网络图表现的仅仅是知识点之间的关系，其绘制的依据是教材，知识网络图中的每个节点都是目标知识点。但是有些知识点如概念类的知识点仅仅是解释性的，要求学生理解其意义即可，在问题解决中并不发挥主要作用。在问题解决中发挥重要作用的则是定理或公理等。因此需要对根据教材绘制的知识网络图进行进一步的简化，删除需要学生了解的知识点和一些独立的知识点。在删除无关知识点后，我们发现一些公理或定理是独立的，不能与其他知识点产生联系，而本章的问题设计是根据问题所蕴含的知识点之间的联系来设计题目，因此，这种无法与其他知识点产生联系的知识点可以删除掉。总之，该操作的主要目的是鉴定出用于问题解决的知识点。此章的知识网络图提炼如下所示。平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行推出条件包含一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行条件包含结论包含一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行条件包含结论包含如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行条件包含包含一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直条件包含结论包含垂直于同一个平面的两条直线平行结论包含一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直条件包含结论包含两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直条件包含结论包含平行于同一条直线的两条直线平行结论包含结论包含具有属性具有属性具有属性具有属性条件包含具有属性具有属性条件包含条件包含点到直线的距离点到平面的距离直线到平面的距离平面到平面的距离直线到直线的距离二面角的平面角的角度异面直线所成的角的角度直线与平面所成的角的角度平面与平面平行直线与直线平行直线与平面平行直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直空间如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补条件包含图6简化后的知识网络图一般情况下，我们会选择至少包含一个目标知识点的问题原型。在此问题原型的基础上进行问题系统设计。在这里，选用原型一作为问题原型进行问题设计。原型一如下图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面PAG，交平面BDM于GH，求证PAGH。ABCD为平行四边形M为PC的中点MO/PAPA/BDMPA/GHO为AC的中点直线与平面平行判定定理直线与平面平行性质定理连接MOPABCDMHG其知识推理路径上图所示的知识推理路径便是该问题由条件到结论的推理过程。而问题的条件可以作为由其他条件得出的结论，而问题的最终结论也可以作为推出其他结论的条件。因此，根据问题原型进行问题设计便可以有两种操作方法一是可以改变问题的条件，二是改变问题的结论。3改变结论首先是减少路径长度。减少路径长度的含义即从问题原型的知识推理路径中找出一个中间结论作为最终结论。由此，我们得到变形1和变形2变形1如右图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，O为AC与BD的交线，求证MO/PA。PABCDMO变形2如右图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，求证PA/平面BDM。PABCDM其次可以增加路径长度。增加路径长度的含义是将最终结论作为条件，使用公理、定理或推论推出下一步的结论。该问题的结论是“PA/GH”，在知识网络图中寻找“条件包含”“直线与直线平行”的定理，可以找到有三个定理，如下图所示。平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行条件包含包含平行于同一条直线的两条直线平行直线与直线平行条件包含空间如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补找出可行的两个定理，即“平行于同一条直线的两条直线平行”和“平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。”对题目进行修改得出变形3和变形4变形3如右图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面PAG，交平面BDM于GH，求证GH/MO。PABCDMHGO变形4如右图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面PAG，交平面BDM于GH，求证GH/平面PAC。PABCDMHGO当然也可由变形1或变形3通过增加路径操作得出下列题目。变形5如右图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面PAG，交平面BDM于GH，求证MO/平面PAGH。PABCDMHGO变形6如右图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，O为AC与BD的交线，求证PA/平面BDM。PABCDMO4改变条件改变条件即从问题原型的条件出发，将问题原型的条件当作中间结论，通过其他条件来得出这个中间结论。原型一如下图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面PAG，交平面BDM于GH，求证PAGH。PABCDMHGABCD为平行四边形M为PC的中点MO/PAPA/BDMPA/GHO为AC的中点直线与平面平行判定定理直线与平面平行性质定理连接MO其知识推理路径参看原型一的知识推理路径，该题目的条件是“四边形ABCD为平行四边形”和“M为PC的中点”，则可以对条件进行修改，通过其他条件得出“四边形ABCD为平行四边形”和“M为PC的中点”。首先修改“四边形ABCD为平行四边形”这个条件。“四边形ABCD为平行四边形”的条件是“线线平行”，然后在知识网络图中寻找“结论包含”“线线平行的条件”，则可以找出的四条定理或推论（1）一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任意一个平面与此平面的交线与该直线平行；（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；（3）平行于同一条直线的两条直线平行；（4）垂直于同一条直线的两条直线平行。如果我们使用第一条定理来推出“四边形ABCD为平行四边形”，则必须要存在直线AB、CD、AD或BD所在的平面。可以对问题原型进行修改得出变形7变形7如右图，已知A、B、C、D在一个平面内，BCADP，ABCDP，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面PAG，交平面BDM于GH，求证PAGH。PABCDMHG使用第二条定理则需要构造出直线AB、CD或直线AD、BC所在的平面。则可以对问题原型进行改造得出变形8。变形8如右图，在五面体ABCDPE中，平面ABE/平面CDP，AD/BC，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA做平面PAG，交平面BDM于GH，求证PA/GH。PABCDMGEH使用第三条定理则需要构造出与直线AB、CD或直线AD、BC平行的直线。对问题原型进行改造得出变形9变形9如右图，在五面体ABCDPE中，EP/平面ABCD，ADBC，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA做平面PAG，交平面BDM于GH，求证PA/GH。PABCDMGEH使用第四条定理则需要构造出垂直的要素，需要证明直线AB、CD、AD或BC垂直于某个平面，则需要添加的条件比较多，会使图形变得非常复杂，因此可不再应用这个定理。对“M为PC的中点”进行修改，可以通过中位线或等腰三角形的高等来实现证明。则可以对问题原型进行修改得出变形10和变形11变形10如图，在五面体ABCDPE中，M是PC上的一点，EM/平面ABCD，ADBC，E为PB的中点，在DM上取一点G，过G和PA做平面PAG，交平面BDM于GH，求证PA/GH。PABCDMGEH变形11如图，在五面体ABCDPE中，E、M分别为PB、PC上一点，EM/平面ABCD，ADBC，PECE，在DM上取一点G，过G和PA做平面PAG，交平面BDM于GH，求证PA/GH。PABCDMGEH5添加其他知识点在知识网络图中将已经运用到的知识点画出，构造出能应用其他知识点的题目。从知识网络图中可以看出如果一个题目中只有平行的要素而没有垂直的要素或边长、角等信息，是无法得出垂直的，因此如果我们要设计出应用垂直知识点的题目，必须向题目中添加垂直或边长或角等信息。对问题原型添加“垂直”要素得出变形12变形12如右图，四边形ABCD是正方形，点P是平面ABCD外一点，M是PC上的一点，且MBMD，求证直线BD平面PAC。PABCDM参看知识网络图，直线垂直于某个平面当然也垂直于这个平面内的任意一条直线，则我们还可以对题目进行改造构造出变形13变形13如右图，四边形ABCD是正方形，点P是平面ABCD外一点，M是PC上的一点，且MBMD，求证PABD。PABCDM参考知识网络图继续添加知识点，可以采用改变条件或改变结论的方法进行。通过上述操作，会设计出覆盖全部知识网络图的问题。当然也可采用一些其他的比较适合立体几何部分知识特点的方法来设计出更加新颖的题目。如条件和结论倒置和确定几何形状的方法。6条件和结论倒置在立体几何中，大部分的题目条件和结论都是唯一的，在知识推理路径中不会出现选择结构，即一般不会出现如果条件是这样的，则结论是这样的情况。因此，条件和结论是一种一一对应的关系。这就意味着我们可以将某些条件和结论对换进行问题设计。原型二如右图，四边形ABCD是正方形，点P是平面ABCD外一点，PA平面ABCD，M是PC上的一点，且MBMD，MAMC，求证PA/MO。PABCDMO对原型二采用将某些条件和结论倒置则可设计出新的题目，如将条件中的PA平面ABCD这个条件变为结论，PA/MO（等同于M是PC上的中点）作为条件，则可以设计出新的题目变形14变形14如右图，四边形ABCD是正方形，点P是平面ABCD外一点，M是PC上的中点，且MBMD，MAMC，求证PA平面ABCD。PABCDM7确定几何形状对于计算类的题目，不但要给出垂直或平行的关系，还要给出边长之间或角度之间的关系。一般情况下，如果题目中涉及到计算角度或边长，