新课标高二数学归纳法(经典总结)

数学归纳法、极限（一）第一数学归纳法一般地，证明一个与自然数N有关的命题PN），有如下步骤（1）证明当N取第一个值N0时命题成立。N0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；（2）假设当NK（KN0，K为自然数）时命题成立，证明当NK1时命题也成立。综合（1）（2），对一切自然数N（N0），命题PN）都成立。（二）第二数学归纳法对于某个与自然数有关的命题PN），（1）验证NN0时PN）成立；（2）假设N0NN0）成立，能推出QK）成立，假设QK）成立，能推出PK1）成立；综合（1）（2），对一切自然数N（N0），PN），QN）都成立。1数学归纳法用于证明一个“关于正自然数N的命题对于从正自然数N0开始的所有正自然数N都成立”的问题。2能根据FK正确写出FK1,并能指出FK与FK1之间的关系，这往往是运用数学归纳法的最关键的一步。举例1已知，则NNF213211FA，B，NF21FCDFNF12N解析是从N1开始的N个连续自然数的倒数和，故是从NF1FN2开始的N1个连续自然数的倒数和，即1F11312NN2NNF211故选D。NF21N举例2用数学归纳法证明“5N2N能被3整除”的第二步中，NK1时，为了使用归纳假设，应将5K12K1变形为解析假设NK时命题成立即5K2K被3整除当NK1时，5K12K155K22K55K2K52K22K55K2K32K巩固1用数学归纳法证明11时，由1NNKK1不等式成立，推证NK1时，左边应增加的代数式的个数是_。A2B21C2D21K1KK巩固2用数学归纳法证明命题N1N2NN2N132N13数学归纳法公理如果关于自然数N的一个命题PN满足下列条件1PN0成立,即当NN0时,命题成立，2假设PK成立,则PK1也成立；根据12知命题PN对NN0的所有自然数N都成立。用数学归纳法证明问题的过程实质上是一个递推的过程，（1）是递推的基础，（2）是递推的条件；二者缺一不可。4数学归纳法通常用于证明关于自然数N的等式、不等式、整除性等。用“归纳假设”即命题PK成立证明命题PK1成立（已知PK成立，求证PK1成立）是数学归纳法证明中最关键的一步；而明晰命题PK与命题PK1之间的关系又是实现这一步的前提。举例1已知为正整数，用数学归纳法证明当时，M1X；1MX解析视为关于的不等式，为参数，以下用数学1XX归纳法证明（）当时，原不等式成立；当时，左边，右2M21X边，12X因为，所以左边右边，原不等式成立；0（）假设当时，不等式成立，即，则当MK1KX时，1K，于是在不等式两边同乘以X0XK得，21111KKXKX所以即当时，不等式也成立XXMK综合（）（）知，对一切正整数，不等式都成立举例2设正整数数列满足，且对于任何，有NA24NN；（1）求，；（2）求数列的通1122NNAA13ANA项N（07高考江西理22）解析（1）据条件得1122NNNAAA当时，由，即有N2121，1124A解得因为为正整数，故837A1A当时，由，解得，所以2N3362443810A39A（2）由，猜想12A392NA下面用数学归纳法证明1当，时，由（1）知均成立；N2N2假设成立，则，则时2KKA1K由得2211KKA21K222111KKAK因为时，所以220210K，所以又，所以1K，1KAN221KA故，即时，成立由1，2知，对任意21KN2N，NNN巩固1已知数列，；S813225812N为其前N项和，求S、S、S、S，推测S，并用数学归纳法证明。N1234N巩固2已知各项均为正数的数列的前项和满足，且NAN1S，（）求的通项公式；612NNSAN（）设数列满足，并记为的前项和，求证B1NBANTB（07高考重庆理21）231LOG3NNT，5若存在，则，若0，则一CFLIMXFCCFGLIMXGFC般“约分”（约去含的因式）后再求极限。若A、LIFCXCXLIB，则±A±B,AB,XGCXLIMFXGCXLIMFXGCXLIMB0FBA举例（07高考陕西理13）12LI1XX解析，221X1LIM21XXLIMX3巩固1下列四个命题中，不正确的是（）A若函数在处连续，则F000LILIMXXFFB函数的不连续点是和24X2C若函数，满足，则FGLIXFGLIMLIXXD（07高考湖南理7）1LI2X巩固2_241LIXX6若|1或1,则QNMQNLIQ不存在。NLILIC为常数；“”型的式子极限为0；“”型、“”型的极限CC不存在；“”型和“”型，一般分子、分母“同除以”一个式子0（包括“约分”）后再求极限；含有根式的和（差）的式子一般有理化后11LIMLIMLIM12NNNAAA再求极限。若A、B，则±A±B,NLIMANLIBNLIMANBNLIMAB,B0NABNLI举例1若LI,N则常数解析分母有理化举例2已知和是两个不相等的正整数，且，则PQ2Q（）1LIMQNA0B1CD（07PQ1PQ高考湖北理5）解析LIM1PQN111LI22QQPPNNCQQPPNNC1LI22，选C。1232LIMQQPPN巩固1把展开成关于的多项式，其211NXXX各项系数和为，则等于（）NALIMNABCD214121巩固2等于NLIM12NRN21RN21A1BCD01214迁移设正数满足，则（AB，2LI4XAB1LIM2NNAB）（07高考重庆理8）014217无穷数列的前N项和为SN，称为数列的无穷多项和ANLINA或所有项和。求时，切不可分别求各项的极限后再求和；必须先NLIM求SN，再求极限。若为等比数列，公比为Q且|Q|1，则NSLIM。QA1举例1若数列满足,且对任意正整数都有NA31AN,则MNA（07高考湖南理2）LI21NABC323D解析数列满足,且对任意正整数都有，NA31NM,NMNAP1P2PN1Q1Q2QN1PN2OABC，数列是首项为，公比为的等比数列。113NNAAN31，选ALIM21NN12Q巩固2如图，抛物线与轴的正半轴交YX于点，将线段的等分点从左至右依次记为AO，过这些分点分别作轴的垂线，121NP，与抛物线的交点依次为，从而得到个直角三角形121NQ，1N当时，这些三角形的面积1Q，21NP，之和的极限为解析，；，0,1NP,20,1N1,21NQ，记的面积为2,21QNP1SN，则S1，S2，SN12212NLIM11NN22LI2N312LIM1NN613巩固1数列的前N项和为SN，则SN_241LI巩固2如图，等边三角形ABC的面积等于1，连结这个三角形各边的中点得到一个小三角形，又连结这个小三角形各边的中点得到一个更小的三角形，如此无限继续下去，求所有这些三角形的面积的和巩固3_246465757LIMNN答案2、巩固1C；4、巩固1S，巩固2，N21231NA5、巩固1C，巩固2；6、巩固1D，巩固2B，迁移B；7、巩1固1，12巩固2，巩固3134