北京工业大学高等数学

北京工业大学高等数学Tag内容描述：<p>1、第三章： 微分中值定理及其应用,3.1 费尔马引理与函数最值 3.2 罗尔中值定理及其应用 3.3 拉格朗日中值定理及其应用 3.4 极值与凹凸性 3.5单调性与不等式 3.6柯西中值定理与洛必达法则 3.7 泰勒公式,定理3.1 (费尔马引理),3.1 费尔马引理与函数最值,设 在点 的某邻域 内有定义，,并且在 处可导点,如果对于任意,证,不妨设,有,根据函数的可导条件及极限的保号性, 有,所以,推论 (最值的必要条件),的点称为函数的驻点.,设,如果 存在,如果 在a, b上连续, 则 在a, b上一,定有最大值和最小值.,由最值的必要条件, 最大、最小值点只可能 是驻点、不。</p><p>2、第二章 导数与微分,习 题 课,1、导数的定义,右导数:,左导数:,返回,2、基本导数公式,（常数和基本初等函数的导数公式）,返回,返回,3、求导法则,(1) 函数的和、差、积、商的求导法则,(2) 反函数的求导法则,返回,(3) 复合函数的求导法则,(4) 对数求导法,先在方程两边取对数,再利用隐函数的求导,方法求导.,返回,(5) 隐函数求导法则,用复合函数求导法则直接对方程两边求导,(6) 参变量函数的求导法则,得到含有导数的线性方程,再解出导数.,返回,4、高阶导数,记作,(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数),二阶导数,返回,5、微分的定义,(微分的实质)。</p><p>3、5.5 广义积分,5.5.1 无限区间的广义积分 5.5.2 无界函数的广义积分,5.5.1 无限区间的广义积分 5.5.2 无界函数的广义积分,当极限存在时, 也称广义积分收敛; 若极限不存在, 则称广义积分发散, 此时无数值意义.,定义5.2 设函数 在区间 上有定义,如果极限 存在,在无穷区间上 的广义积分,并定义,5.5.1 无限区间的广义积分,则称此极限为函数,当极限存在时, 称广义积分收敛; 若极限不存在, 则称广义积分发散.,类似地, 设函数 在区间 上有定义,如果极限 存在,则称此极限为,并定义,设函数 在区间 上有定义,则称上述两个广义积分之和为,在无穷区间 。</p><p>4、3.3.1 拉格朗日中值定理,定理3.3 (拉格朗日中值定理),(1) 在闭区间a, b上连续;,(2) 在开区间(a, b)内可导;,使得,3.3 拉格朗日中值定理及其应用,若函数 f (x) 满足:,几何解释:,分析:,化为罗尔定理的结论形式,在曲线弧AB上至少 有一点C, 在该点处的切 线平行于弦AB.,证 作辅助函数,拉格朗日中值公式,即,或,如缺少定理两个条件的任一个, 结论可能不成立 .,(1)类似地定理的条件是充分的, 且 点不唯一.,(2) 定理的结论有几种等价写法:,5,推论3.3,有限增量公式,证,不妨设,例1 证明当,证,而,故,例2 证明,证,令,故,证,命题得证.,例3 证明当,推论3.。</p><p>5、5.2 定积分的性质,说明: 在下面的性质中, 假设所涉及的函数都是 可积分的.,对定积分的补充规定,性质5.1,性质5.2,性质5.3 (积分区间的可加性),设 则,性质5.1和性质5.2称为定积分的线性性质,补充: 无论 a, b, c 的相对位置如何, 上式总成立.,例 若,则,性质5.4,性质5.5,推论5.1 (定积分的保序性),推论5.2,则,则,如果在区间 a, b 上,如果在区间a, b 上,证,性质5.6 (定积分的估值定理),证,则,即,解,于是,例1 比较积分值 和 的大小.,解,例2 估计定积分 的值的范围.,故,证,性质5.7 (定积分中值定理),使得,则在积分区间 上至少存在一个点,由闭区间。</p>