初等函数的导数

初等函数的导数Tag内容描述：<p>1、2-4初等函数的求导问题、 双曲函数与反双曲函数的求导 初等函数的导数 双曲函数的导数 反双曲函数的导数 教学要点 1 初等函数的求导 1、常数和基本初等函数的求导 2、函数的和、差、积、商的求导法则 3、复合函数的求导法则 2 常数和基本初等函数的求导 一、常数求导 二、三角函数求导 三、反三角函数求导 3 四、幂函数求导 五、指数函数求导 六、对数函数求导 4 函数的和、差、积、商的求导法则 设都可导，则 5 双曲函数的导数 由双曲函数的定义： 可得 6 反双曲函数的导数 由反双曲函数的定义： 可得 7 8。</p><p>2、2.3复合函数与初等函数的导数 一、复合函数的微分法 定理 1 此法则又称为复合函数求导的链式法则 可导，则 设 或复合函数的导数为 推论 设 y = f (u) ， u = (v)， v = (x) 均 可导，则复合函数 y = f ( (x) 也可导，且 说明： 1、利用复合函数的求导法则，关键是弄清复合 函数的复合关系即由哪些基本初等函数或简单函 数复合而成。 2、熟练地掌握了复合函数的分解及链式法则后 ，可以不写出中间变量，采用逐层求导的方式计 算复合函数的导数。 例 1 设 y = (2x + 1)5，求 y . 解 把 2x + 1 看成中间变量 u， y = u5，u = 2x + 1 复合而成。</p><p>3、医用高等数学,第二节 初等函数的导数,一、按定义求导数,三、反函数的求导法则,四、复合函数的导数,二、函数四则运算的求导法则,五、隐函数的求导法则,六、对数求导法,七、初等函数的导数,八、高阶导数,一、按定义求导数,常数的导数,2幂函数的导数,所以,3. 正弦函数和余弦函数的导数,即,=,4对数函数的导数,即,二、函数四则运算的求导法则,证(1),证(3),推论,解,解,解,例2-7 已知函数 ,求,同理可得,即,解,同理可得,即,三、反函数的求导法则,定理2-1,即：反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,于是有,证明,即,例2-10,解,特别地,当 时,解,同理。</p><p>4、42.1几个幂函数的导数42.2一些初等函数的导数表一、基础达标1下列结论中正确的个数为()yln 2，则y；y，则y|x3；y2x，则y2xln 2；ylog2x，则y.A0 B1 C2 D3答案D解析yln 2为常数，所以y0.错正确2过曲线y上一点P的切线的斜率为4，则点P的坐标为()A. B.或C. D.答案B解析y4，x，故选B.3已知f(x)xa，若f(1)4，则a的值等于()A4 B4 C5 D5答案A解析f(x)axa1，f(1)a(1)a14，a4.4函数f(x)x3的斜率等于1的切线有()A1条 B2条 C3条 D不确定答案B解析f(x)3x2，设切点为(x0，y0)，则3x1，得x0，即在点和点处有斜率为。</p><p>5、42.1几个幂函数的导数42.2一些初等函数的导数表1已知f(x)x2，则f(3)()A0 B2x C6 D9答案C解析f(x)x2，f(x)2x，f(3)6.2函数f(x)，则f(3)等于()A. B0 C. D.答案A解析f(x)()，f(3).3设正弦曲线ysin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是()A. B0，)C. D.答案A解析(sin x)cos x，klcos x，1kl1，l.4曲线yex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________答案e2解析y(ex)ex，ke2，曲线在点(2，e2)处的切线方程为ye2e2(x2)，即ye2xe2.当x0时，ye2，当y0时，x1.S。</p><p>6、2.4 反函数的导数与复合 函数的导数,一、反函数的导数,二、复合函数的求导法则,返 回,反函数的导数,定理,即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,(1),返 回,证,于是有,返 回,例1,解,同理可得,返 回,例2,解,特别地,返 回,例3,返 回,例4,返 回,复合函数的求导法则,定理,即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则),返 回,证,则,（7）,返 回,例5,解,例6,解,返 回,例7,所以,返 回,例8,解,例9,返 回,推广,返 回,例10,解,例11,解,例12,解,返 回,例14,解,例13,解,返 回,已学求导运算的知识的回顾,1.常。</p><p>7、第二节 初等函数的导数,一、和、差、积、商的求导法则,定理,证(1),证(3),推论,例题分析,例1,解,例2,解,例3,解,同理可得,例4,解,同理可得,例5,解,小结,注意:,分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求.,思考题,求曲线 上与 轴平行的切线方程.,思考题解答,令,切点为,所求切线方程为,和,（一）反函数的导数,定理,即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,二、 反函数的导数、复合函数的求导法则,证,于是有,例1,解,同理可得,例2,解,特别地,（二）复合函数的求导法则,定理,即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量。</p><p>8、一、初等函数的求导问题,1.常数和基本初等函数的导数公式,2.函数的和、差、积、商的求导法则,3.复合函数的求导法则,利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.,注意:初等函数的导数仍为初等函数.,例1,解,例2,解,二、双曲函数与反双曲函数的导数,即,同理,例3,解,三、小结,任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出.,关键: 正确分解初等函数的复合结构.,思考题,幂函数在其定义域内（ ）.,思考题解答,正确地选择是（3）,例,在 处不可导，,在定义域内处处可导，,练 习 题,练习题答案。</p><p>9、初等函数的求导法则,求导数的方法称为微分法。用定义只能求出一些较简单的函数的导数（常函数、幂函数、正、余弦函数、指数函数、对数函数），对于比较复杂的函数则往往很困难。本节我们就来建立求导数的基本公式和基本法则，借助于这些公式和法则就能比较方便地求出常见的函数初等函数的导数，从而是初等函数的求导问题系统化，简单化。,一、和、差、积、商的求导法则,定理,法则（1）和（2）可以推广到有限个可导函数的情况。</p><p>10、医用高等数学,第二节 初等函数的导数,一、按定义求导数,三、反函数的求导法则,四、复合函数的导数,二、函数四则运算的求导法则,五、隐函数的求导法则,六、对数求导法,七、初等函数的导数,八、高阶导数,一、按定义求导数,常数的导数,2幂函数的导数,所以,3. 正弦函数和余弦函数的导数,即,=,4对数函数的导数,即,二、函数四则运算的求导法则,证(1),证(3),推论,解,解,解,例2-7 已知函数。</p><p>11、第二节 初等函数的导数,一、和、差、积、商的求导法则,定理,证(1),证(3),推论,例题分析,例1,解,例2,解,例3,解,同理可得,例4,解,同理可得,定理,即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,二、 反函数的导数,证,于是有,例1,解,特别地,例2 y=arcsinx (1<x<1), 求y,解：它是x=siny,故,而,于是,例3.,解：它是x=cosy,故,例4 设。</p><p>12、医用高等数学,第二节 初等函数的导数,一、按定义求导数,三、反函数的求导法则,四、复合函数的导数,二、函数四则运算的求导法则,五、隐函数的求导法则,六、对数求导法,七、初等函数的导数,八、高阶导数,一、按定义求导数,常数的导数,2幂函数的导数,所以,3. 正弦函数和余弦函数的导数,即,=,4对数函数的导数,即,二、函数四则运算的求导法则,证(1),证(3),推论,解,解,解,例2-7 已知函数。</p>