初等函数的导数.ppt

,第二节 初等函数的导数,一、和、差、积、商的求导法则,定理,证(1),证(3),推论,例题分析,例1,解,例2,解,例3,解,同理可得,例4,解,同理可得,例5,解,小结,注意:,分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求.,思考题,求曲线 上与 轴平行的切线方程.,思考题解答,令,切点为,所求切线方程为,和,（一）反函数的导数,定理,即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,二、 反函数的导数、复合函数的求导法则,证,于是有,例1,解,同理可得,例2,解,特别地,（二）复合函数的求导法则,定理,即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则),证,推广,例3,解,例4,解,例5,解,例6,解,例7,解,例8,解,小结,反函数的求导法则（注意成立条件）;,复合函数的求导法则 （注意函数的复合过程,合理分解正确使用链导法）;,已能求导的函数:可分解成基本初等函数,或常数与基本初等函数的和、差、积、商.,初等函数的求导问题,1.常数和基本初等函数的导数公式,小结,2.函数的和、差、积、商的求导法则,例1,解,例2,解,思考题,幂函数在其定义域内（ ）.,思考题解答,正确地选择是（3）,例,在 处不可导，,在定义域内处处可导，,3.复合函数的求导法则,利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.,注意:初等函数的导数仍为初等函数.,任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出.,（一）隐函数的导数,定义:,隐函数的显化,三、隐函数的导数 对数求导方法 高阶导数,（不能显化）,隐函数求导法则:,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?,例1,解,解得,例2,解,所求切线方程为,显然通过原点.,（二）对数求导法,观察函数,方法:,先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数.,-对数求导法,适用范围:,例4,解,等式两边取对数得,例5,解,等式两边取对数得,一般地,1.高阶导数的定义,问题:变速直线运动的加速度.,定义,（三）高阶导数,记作,三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.,二阶导数的导数称为三阶导数,2. 高阶导数求法举例,例1,解,直接法:,由高阶导数的定义逐步求高阶导数.,例2,解,例3,解,例4,解,同理可得,例5,解,求 导 法 则,基本公式,导 数,高阶导数,一、主要内容,习题课,1、导数的定义,定义,2.右导数:,单侧导数,1.左导数:,2、基本导数公式,（常数和基本初等函数的导数公式）,3、求导法则,(1) 函数的和、差、积、商的求导法则,(2) 反函数的求导法则,(3) 复合函数的求导法则,(4) 对数求导法,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.,适用范围:,(5) 隐函数求导法则,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,4、高阶导数,记作,二阶导数的导数称为三阶导数,(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数),函数和、差、积、商的微分法则,8、 微分的基本法则,微分形式的不变性,二、典型例题,