存在唯一性定理

存在唯一性定理Tag内容描述：<p>1、Picard存在和唯一性定理本节利用逐次逼近法，来证明微分方程 (2.1) 的初值问题 (2.2) 的解的存在与唯一性定理. 定理2.2 (存在与唯一性定理)如果方程(2.1)的右端函数 在闭矩形域 上满足如下条件： (1) 在R上连续; (2) 在R上关于变量y满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数N，使对于R上任何一对点 和 有不等式：则初值问题(2.2)在区间 上存在唯一解其中 在证明定理之前，我们先对定理的条件与结论作些说明: 1. 在实际应用时，李普希兹条件的检验是比较费事的.然而，我们能够用一个较强的，但却易于验证的条件来代替它.即如果函数 在闭矩。</p><p>2、存在与唯一性定理的证明 定义：设函数在闭区域上有定义，如果存在常数，使对任何均满足不等式，则称在上关于满足条件，称为常数定理：设在闭矩形域：上连续，且关于满足条件，则初值问题在区间上有且只有一个解，其中证明：整个证明过程分成如下五个部分，首先证明求初值的解等价于求积分方程的连续解。事实上，若是初值问题的解，则有由此，在上连续，从而可积，于是对恒等式积分并利用初始条件，得到即，是积分方程的解反之，设是方程的连续解，即有恒等式因为在上连续，故右端是积分上限的可微函数，从而在可微于是将两边对求导，得恒。</p><p>3、第三章 一阶微分方程解的 存在唯一性定理,Existence & Uniqueness Theorem of First-Order ODE,2019/5/3,1,常微分方程-重庆科技学院-李可人,第三章 一阶微分方程解的存在唯一性定理 /Existence & Uniqueness Theorem of First-Order ODE/, 解的存在唯一性定理与逐步逼近法, 解的一般性质, 奇解*, 近似计算和误差估计,2019/5/3,2,常微分方程-重庆科技学院-李可人,研究对象,主要问题,存在性，存在区间？ 唯一性？ 延拓性，最大存在区间？ 初值微小变动时，解的变化情况？,本章要求, 掌握逐步逼近方法的基本思想 会用解的存在唯一性和延拓定。</p><p>4、一阶 微分方程的解法,=,=,-,-,-,可化为变量可分离方程,齐次方程,全微分方程,用线积分求解,不定积分求解,用积分法,一阶方程,),(,),(,dx,dy,:,:,.,x,y,y,x,f,j,9-3 微分方程解的存在唯一性定理,可化为可分离变量的方程的几种类型,微分方程解的存在唯一性定理,初值问题,上述初值问题与以下积分方程等价,事实上，设 是初值问题的特解，,则有,将上式两端积分得,由初值条件 ，并移项得,这说明 是积分方程(9.49)的解.,由(4.49)式,即可看出 满足初值条件 .再将 代入,(4.49)式后对 (4.49）式两边求导，即可看出 满足,(9.47)中的微分方程.所以 是初。</p><p>5、第五章 线性微分方程组,5.1 存在唯一性定理,一、线性微分方程组的有关概念,1 线性微分方程组的定义,定义,形如,的微分方程组,称为一阶线性微分方程组.,称为(5.1)的通解.,2 函数向量和函数矩阵的有关定义,(1),n维函数列向量定义为,注:,对向量或矩阵的代数运算的性质,对于以函数作为元素的矩阵同样成立.,(2 )函数向量和矩阵的连续,微分和积分的概念,可微函数,可微,可积函数,可积,此时,它们的导数与积分分别定义为,注:,关于函数向量与矩阵的微分,积分运算法则,和普通数值函数类似.,(3 ) 矩阵向量的范数,定义,(4 ) 向量或矩阵序列的敛散性,(一。</p>