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文档简介

第五章 线性微分方程组,5.1 存在唯一性定理,一、线性微分方程组的有关概念,1 线性微分方程组的定义,定义,形如,的微分方程组,称为一阶线性微分方程组.,称为(5.1)的通解.,2 函数向量和函数矩阵的有关定义,(1),n维函数列向量定义为,注:,对向量或矩阵的代数运算的性质,对于以函数作为元素的矩阵同样成立.,(2 )函数向量和矩阵的连续,微分和积分的概念,可微函数,可微,可积函数,可积,此时,它们的导数与积分分别定义为,注:,关于函数向量与矩阵的微分,积分运算法则,和普通数值函数类似.,(3 ) 矩阵向量的范数,定义,(4 ) 向量或矩阵序列的敛散性,(一致收敛),(一致收敛).,(一致收敛),(一致收敛).,如果,上一致收敛.,3 一阶线性微分方程组的向量表示,对一阶线性微分方程组:,则(5.1)可写成,(1)定义1,(2)定义2,初值问题,解:,显然,4 n阶线性微分方程的初值问题与一阶线性微分方程 组的初值问题关系,对n阶线性微分方程的初值问题,若令:,则有:,而且:,即方程(5.6)可化为,显然:,且:,事实上,由,知,即,且,即初值问题(5.6)与(5.7)的解等价,即给出其中一个初问题的解,可构造另一个初值问题的解.,化为与之等价的一阶微分方程组的初值问题.,解:,设,则有,即有,也即,注:,每一个n阶线性微分方程可化为n个一阶线性微 分方程构成方程组,反之却不成立.,如:,方程组,不能化为一个二阶微分方程.,二、存在唯一性定理,1 存在唯一性定理,2 存在唯一性定理的证明,证明共分五步完成,第一步,第二步,命题,第三步,由,考虑向量函数项级数：,设,则,第四步,设,即,证明积分方程的连续解的唯一性.,第五步, n阶
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